雙新雙減背景下“雞兔同籠”問題的教學探索

基于雙新雙減背景，“雞兔同籠”這一經典問題作為數學廣角的內容，應如何講？講到何種程度？筆者認為教師需要對眾多方法進行甄別和全面的考量，分清楚哪些思想方法才是最重要的，魚與漁哪個更重要。本文通過分析枚舉法、假設法、方程法、畫圖法、砍腳法、吹哨法的優劣與不足，倡導：重要且能遷移來解決其他問題的的思維方法要重點講，對全體學生講；適用面不廣但巧妙的方法，不應重點講，可作為課外拓展內容對學有余力的學生講。同時教師要引導學生分析雞兔同籠問題的本質，建立“雞兔同籠”問題模型，實現知識的遷移。

一、“雞兔同籠”問題的出處

數學名著《孫子算經》中記載了一道趣題——今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？這道題翻譯過來的意思是：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳。雞和兔各有幾只？為了更容易找到解決雞兔同籠問題的方法和規律，不妨把數字改小一點。這種化繁為簡，從簡單入手的方法也是數學學習的一個重要方法，更是解決問題的一種常用策略。把數字改小后的題目：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？

二、“雞兔同籠”問題的解法分析

“雞兔同籠”問題非常經典和有趣，解法也非常之豐富，通法巧法都有。歸納起來，至少有枚舉法、假設法、方程法、畫圖法、砍腳法、吹哨法6種方法。

方法一：列表法（枚舉法）

按雞的只數從大到小的順序列表：

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此方法是將可能的情況全部列舉出來，再從中找到正確的答案。此方法的優點是易理解，不易出錯。缺點是當數字很大時，列舉的情況會很多。雖然如此，但這種方法還是要教給學生。枚舉法確實是一種能找到答案的方法。當學生沒辦法用其它較便捷的方法解出此題時，用枚舉法找到答案，我們同樣要給予肯定。這種方法，容易理解，全員都會。枚舉法在解決其它問題時，往往也適用。

方法二：假設法

課本也是用了假設的方法。如果是純算式解答，學生會看不懂或自己做著做著都搞不清自己求出來的是雞的只數還是兔的只數。但如果配上文字，那就容易看懂了，也清楚求出來的是誰的只數了。假設全是雞，那么腳一共有2×8=16（只），比實際少了26-16=10（只）腳。為什么會這樣呢？因為我們將兔當雞來算了。每只兔少算了2只腳。所以兔數量：10÷（4-2）=5（只），雞的數量：8-5=3（只）。假設法也可以假設全是兔，方法類似上面。之所以要教會學生假設法，主要是因為假設法也是一種很重要、很常用的數學方法。此方法除了能解決雞兔同籠問題，它還能用于解決其它問題。比如可以用于解決很多推理題。

方法三：方程法

解：設雞有x只，那么兔有8-x只。依題意列得方程2x+（8-x）×4=26，整理得32-2x=26，x=3 兔：8-3=5（只）。只要學生會方程，就能夠掌握此方法。此方法比較容易理解，容易掌握。求出來的是雞的只數還是兔的只數，只要根據設來看一目了然。此方法對于“雞兔同籠”問題百分之百適用。此外，方程法還能用于解決很多其它問題。

方法四：畫圖法

方法是先假設全是雞，全都畫出來，再根據相差的腳數，為“雞”補上腳，變成“兔”，直到與題目一致，便得出正確的答案。此方法易理解，較為直觀，不用畫得過于復雜，簡單示意就行。但此方法對于數字很大時，畫起來比較耗時，也很難將此方法用于解決其它問題。

方法五：砍腳法

《孫子算經》中記載的“砍足法”新穎且奇妙，令古今中外的數學家贊嘆不已。該方法是：讓每一只雞和兔都“砍去”一半的腳，則每只雞只有一只腳，每只兔則成為“雙腳兔”。這樣，雞的腳數與頭數一致，兔的腳數是頭數的2倍。兩者腳的總數比頭數多出來的數量即為兔的頭數。此方法很奇妙地將復雜問題簡單化。將繁化簡是個好的思路，但每一種題各不同，從繁到簡很顯然會非常不同從而導致此方法比較難推廣。

方法六：吹哨法

方法是假設每吹一次哨，雞和兔都抬起一只腳。兩次吹哨后，雞就沒有腳著地，每只兔有2只腳著地，此時地面剩下的腳數即是兔子數量的2倍。從而可求出兔的數量。此方法很妙，也很有趣。但此方法對很多題目應用不上。

三、“雞兔同籠”問題的教學“組合拳”

那是不是6種方法都對學生講呢？顯然不是。雖然6種方法各有優點，但6種方法都講的話時間上不允許。估計多數學生也難以消化6種方法。那么應該怎樣來講呢？對于“雞兔同籠”問題的眾多解法，教師一定要站得高，看得遠，分清楚哪些思想方法才是最重要的，“魚”與“漁”哪個更重要。

（一）有些方法要重點講，對全體學生講

枚舉法、假設法、方程法都是非常重要的思維方法，就像三把鋒利的寶劍，能把很多的數學問題斬下；又像三把萬能鑰匙，能把許許多多的數學問題解鎖。這三種方法是通法，學生掌握了這三種方法，不但能輕松解決掉“雞兔同籠”問題，還能遷移應用來解決許許多多的其它問題。這三種方法要講，要重點講，對全體學生講。

（二）有些方法不應重點講，可對學有余力的學生講

畫圖法、砍腳法、吹哨法，這三種方法不是通法，適用范圍存在很大的局限性，比較難遷移到其它題目上面來。因此，在課時比較緊的情況下，畫圖法、砍腳法、吹哨法不適合對全體學生講。但這三種方法還是比較巧妙和有趣，還是有它們的存在價值。可以把這三種方法當成課外拓展的內容傳授給學有余力的學生。

（三）引導學生分析問題的本質，上升到問題模型

“雞兔同籠”問題其實是一類問題，也就是說，很多兩個未知量混在一起，通過兩個數量關系來表達的問題都可以轉化為“雞兔同籠”問題。例如車輪問題、租船問題等問題都可以轉化為“雞兔同籠”問題。又如和尚吃面包、答題扣分、勾兌溶液、貨船載重和容積等問題也都可以轉化為“雞兔同籠”問題。

以上6個問題分析如下：

題目1：兩輪車和三輪車共13輛，車輪一共28個，求兩輪車和三輪車各有多少輛？分析：兩輪車看成雞，三輪車看成兔。這時每只雞2只腳，每只兔3只腳。雞和兔的數量之和是13，雞腳和兔腳數量之和是28。

題目2：44人坐船去游玩，一共乘坐9艘船，小船每艘坐4人，大船每艘坐6人，求小船和大船各有多少艘？分析：小船看成雞，大船看成兔。這時每只雞4只腳，每只兔6只腳。雞和兔的數量之和是9，雞腳和兔腳數量之和是44。

題目3：一百個和尚吃一百個面包，其中大和尚每人吃三個面包，小和尚每三人共吃一個面包，求大和尚和小和尚各有多少人？分析：小和尚看成雞，大和尚看成兔。這時每只雞三分之一只腳，每只兔三只腳。雞和兔的數量之和是100，雞腳和兔腳數量之和是100。

題目4：答對一題得10分，答錯一題扣6分，小明一共答了10道題，但只得到68分，求小明答對多少題？分析：答錯看成雞，答對看成兔。這時每只雞6只腳，每只兔10只腳。雞和兔的數量之和是10，雞腳和兔腳數量之和是68。

題目5：現有濃度為20%和濃度為50%的酒精若干，現要配制濃度為27.5%的酒精2000毫升，求兩種酒精各需多少毫升？分析：濃度為20%的酒精看成雞，濃度為50%的酒精看成兔。這時每只雞0.2只腳，每只兔0.5只腳。雞和兔的數量之和是2000，雞腳和兔腳數量之和是2000×27.5%。

題目6：一艘貨船最大載重700噸，最大載貨容積900立方米，現有甲乙兩種貨物需要航運，甲貨物每噸占空間1.2立方米，乙貨物每噸占空間1.5立方米，求甲乙貨物各多少噸才能最大限度利用貨船的最大載重和最大容積？分析：甲貨物看成雞，乙貨物看成兔。這時每只雞1.2只腳，每只兔1.5只腳。雞和兔的數量之和是700，雞腳和兔腳數量之和是900。

以上這些題目，都涉及兩個未知量，把其中一個未知量看成雞，另一個未知量看成兔。這時候雞的腳不一定是2只了，可以是廣義上的數（分數，小數，負數等）；同樣，兔的腳不一定是4只了，可以是廣義上的數（分數，小數，負數等）。如此看來，這些題目確實屬于“雞兔同籠”型問題。

這些題目雖然披著各種各樣的“外衣”，但它們都有一個共同的“內核”——都是涉及兩個未知量。這兩個未知量以“頭”的形式有一個數量關系，同時，這兩個未知量以“腳”的形式有一個數量關系。雞兔同籠問題的本質是數學中的二元一次方程組問題。雞兔同籠問題，它涉及到的是如何通過已知條件建立方程組并求解其中的未知數。二元一次方程組的求解是初中的內容，很多小學生不會，但二元一次方程組能轉化成一元一次方程來求解。不管是用二元一次方程組來求解還是用一元一次方程來求解，此類題目的本質都沒有變。雞兔同籠問題的本質搞清楚了，相應的模型也就出來了。

雙新雙減背景下，“雞兔同籠”問題的教學不要僅盯著方法的量，更需要關注方法的質，還要將題目上升到模型，實現授人以漁。要引導學生分析雞兔同籠問題的本質，建立“雞兔同籠”問題模型，實現知識的遷移。

責任編輯" 龍建剛