基于改進MRAS的永磁同步電機滑模速度控制設計

摘" 要： 針對傳統MRAS觀測器在外部干擾和運行工況變化時觀測精度差的問題，提出一種改進型MRAS觀測器。通過對傳統MRAS中的自適應律重新推導，考慮參數分布理論，引入電阻自適應律來進一步提升觀測器的性能。為解決傳統PI速度控制器無法滿足高精度控制的要求，提出一種新型趨近率，設計相應的滑模速度控制器取代傳統PI速度控制器。仿真結果表明，與傳統的PI控制器和滑模控制器相比，改進后的滑模速度控制器和MRAS觀測器具有更優越的控制性能和觀測性能，穩定性高、抗負載擾動能力強。

關鍵詞： 永磁同步電機； MRAS觀測器； 滑模速度控制器； 矢量控制； 無位置控制； 波波夫超穩定性

中圖分類號： TN712?34； TM341" " " " " " " " " "文獻標識碼： A" " " " " " " " " " 文章編號： 1004?373X（2024）14?0063?07

Design of improved MRAS based sliding mode speed control of permanent

magnet synchronous motor

LI Guanghui， JIAO Ticao， JI Chuansheng， WANG Hanqing

（School of Electrical and Electronic Engineering， Shandong University of Technology， Zibo 255000， China）

Abstract： In allusion to the diminished observation accuracy in traditional model reference adaptive system （MRAS） observers under external interference and operational variations， an improved MRAS observer is proposed. The performance of the observer is further improved by rederiving the adaptive law in the traditional MRAS， considering the parameter distribution theory and introducing the resistive adaptive law. In order to solve the problem that traditional PI speed controllers cannot meet the requirements of high?precision control， a new approach rate is proposed， and a corresponding sliding mode speed controller is designed to replace the traditional PI speed controller. The simulation results demonstrate that， in comparison with the conventional PI controllers and sliding?mode controllers， the improved sliding?mode velocity controller and MRAS observer can exhibit superior control and observation performance， showing high stability and robust resistance to load disturbances.

Keywords： permanent magnet synchronous motor; MRAS observer; sliding mode speed controller; vector control; without position control; Popov metastability

0" 引" 言

與無刷直流電機相比，永磁同步電機（PMSM）具有結構簡單、運行效率高、控制性能好等優點，被廣泛應用于電力驅動、可再生能源和現代伺服系統中[1?3]。傳統的PMSM調速系統大多基于閉環控制，機械式位置傳感器的使用會增加調速系統的成本和占用調速系統的空間[4]。眾多學者致力于研究PMSM無位置傳感器控制方法，但目前還沒有一種方法能夠在全部轉速范圍內實現無傳感器控制。因此，針對PMSM的無傳感器控制研究已成為現代電力系統中的一個熱門課題[5]。

近年來，國內外對PMSM的控制策略進行了廣泛的研究，這些控制策略包括高頻注入法[6?7]、滑模觀測器算法[8?10]、擴展卡爾曼濾波法[11?13]以及模型參考自適應法[14?15]等。目前， PMSM的無位置傳感器控制策略按照速度范圍可以分為兩類：第一類是基于電機凸極效應的無位置控制策略，適用于低速范圍；第二類是基于反電動勢的位置和速度估計策略，適用于中高速范圍。第一類控制策略的優勢在于：電機在低速范圍時有著良好的控制性能，能夠實現無位置傳感器的控制，不需要額外的位置傳感器，可以簡化系統設計，減少成本。但對于一些復雜的電機控制場景，這種簡化的策略可能無法滿足要求。第二類控制策略優勢在于：中高速范圍時能夠提供精確的位置和速度估計，適用于多種電機類型和應用場景。但該方法在低速運行時，由于反電動勢較小，估計精度較低。

基于MRAS的PMSM無位置控制是一種先進的電機控制策略，通過自適應調整模型參數，實現對永磁同步電機的精準控制，特別適用于要求高性能和高效率的場景[16]。文獻[17]建立了基于MRAS的PMSM無位置傳感器矢量控制系統，實現了對電機的無位置控制。文獻[18]進一步研究了MRAS無傳感器控制，并采用自適三階PI控制方法實現了速度和位置的精確估計。文獻[19?20]將基于分數階符號函數的滑模控制方法應用于PMSM控制系統中，該方法能夠實現對期望信號的快速跟蹤，并對外部干擾表現出較強的魯棒性。

本文在傳統模型參考自適應算法的基礎上，對MRAS中的自適應律重新推導；其次，考慮到電機內部參數的變化可能影響MRAS的觀測精度，引入電阻自適應律，設計了一種改進型MRAS觀測器。

針對傳統PI速度控制器無法滿足高精度控制的需求，本文提出了一種新型趨近率，設計了相應的滑模速度控制器取代傳統的PI速度控制器，并搭建PMSM無位置傳感器矢量控制仿真模型，驗證所提控制策略在電機啟動、轉速改變和轉矩突變等情況下的系統性能。仿真結果表明，改進后的滑模速度控制器和MRAS觀測器相較于傳統的PI控制器和滑模控制器，具有更優越的控制性能和觀測性能，能夠準確地估算出電機的轉速以及轉子的位置，有著較高的穩定性和較強的抗擾性。

1" PMSM的數學模型

考慮到永磁同步電機內部錯綜復雜的電磁關系，為便于對永磁同步電機進行分析，通常給出以下假設。

1） 電機鐵心的磁導率是常數，不考慮鐵心在高磁通密度下的飽和效應。

2） 定子電感在運行過程中基本保持不變，不考慮由于電流變化引起的定子電感變化。

3） 永磁磁場的方向是恒定的，不隨運行條件改變。

4） 忽略鐵心繞組和轉子上沒有阻尼繞組。

基于上述假設，在兩相旋轉d?q坐標系中建立了一個完全解耦的數學模型。

定子電壓方程如下：

[ud=idRs+Lddiddt-ωrψquq=iqRs+Lqdiqdt+ωrψd] （1）

電磁轉矩方程為：

[Te=32pniqψd-idψq] （2）

機械運動方程為：

[Te-TL=Jdωrdt+Bωr] （3）

式中：[ωr]是電機的轉子角速度；[Rs]表示定子電阻，[id]和[iq]分別表示電流沿d軸和q軸的分量；[Ld]和[Lq]分別代表電機的d、q軸上的電感；[ψd]和[ψq]表示電機轉子的d軸和q軸上的磁通量；[ud]和[uq]分別代表沿d軸和q軸的電壓分量；[pn]是電機的磁極對數；[Te]和[TL]分別為電磁轉矩和負載轉矩；[J]是電機的轉動慣量；[B]是電機的阻尼系數。

磁鏈方程為：

[ψd=Lsid+ψfψq=Lsiq] （4）

式中[ψf]表示永磁體磁鏈。本文采用的是表貼式永磁同步電機，即[Ld=Lq=Ls]。

2" MRAS系統的設計

MRAS是一種閉環控制系統，其基本原理是：通過比較參考模型和可調模型的輸出之間的差異來實現參數自適應。控制系統的基準響應由控制器設計者設定，代表閉環控制系統對基準輸入的期望響應。可調模型具有需要估計的參數，其輸出與參考模型輸出之間的差異用于動態調整可調模型的參數，以確保其輸出緊密跟隨參考模型。

并聯型MRAS原理圖如圖1所示。

2.1" 參考模型和可調模型的設計

將式（4）代入到式（1）可得：

[ddtid+ψfLs=-RsLsid+ψfLs+1Lsud+RsψfLs+ωeiqddtiq=-RLiq-ωid+ψfLs+1Lsuq] （5）

令：

[i′d=id+ψfLsi′q=iqu′d=ud+RLsψfu′q=uq] （6）

將式（6）代入式（5），式（5）可以轉換為：

[ddti′d=-RsLsi′d+ωi′q+1Lsu′dddti′q=-RsLsi′q-ωi′d+1Lsu′q] （7）

為了便于分析，通常將式（7）轉為空間狀態表達式：

[ddti=Ai+Bu] （8）

式中：

[i=i′di′q，" u=u′du′qA=-RsLsωrωr-RsLs，" B=1Ls001Ls]

當電機運行穩定時，定子電阻和電感的改變會影響電流回路的控制，因此，在設計控制器時，需考慮不同電機參數對環境變化的敏感性。如果控制器保持靜態和不變的參數，最終可能導致估計速度的顯著差異，從而降低控制系統的整體精度。隨著高性能永磁材料的發展和改進，保持恒定的轉子磁通量已成為一種可行的方法。然而，在PMSM的啟動階段，轉子磁通量可能會波動，電機長時間運行會導致溫度升高，電阻對溫度比較敏感。由于PMSM在啟動時有著較大的啟動電流，定子電流也會對電阻產生影響，因此，在電機啟動和持續穩態運行過程中，定子電阻都存在變化。

式（8）中的狀態矩陣A中包含轉子速度和定子電阻信息，[ωr]和[Rs]為待辨識的參數。因此，將式（8）中待辨識的參數以及狀態變量分別以估計值表示，則可調模型的狀態空間方程可以表示為：

[ddti=Ai+Bu] （9）

式中：

[i=i′di′q，" A=-RsLsωr-ωr-RsLs]

定義廣義誤差[e=i'-i']，則誤差公式為：

[ddtedeq=-RLsωrωr-RLsedeq-Jsωr-ωri′di′q-" " " " " " " " "IRs-RsLsi′di′q] （10）

式中：

[Js=01-10，" I=1001]

將上述方程寫為狀態空間表達式：

[dedt=Ae-ωr-ωrJsi-Rs-RsLsIi=Ae-W] （11）

式（11）建立的誤差系統可表示為狀態方程形式：

[e=Ae-Wv=ξe] （12）

式中，矩陣[ξ]為線性補償器，選擇線性前向通道是為了確保系統的穩定性。由式（12）得到的誤差系統圖如圖2所示。

2.2" 自適應律選擇與穩定性分析

自適應法則模塊的作用是在系統穩定的基礎上，確保參數估計的快速收斂，逐步調整誤差。因此，合適的自適應律在維持系統穩定性和確保收斂性方面發揮著至關重要的作用。本文采用基于波波夫超穩定理論的設計方法，該理論旨在通過對系統狀態方程進行設計，確保自適應控制系統具備波波夫超穩定性，以提高控制系統的性能和魯棒性。因此，式（12）中的非線性時變反饋環節需要滿足以下條件。

1） 傳遞函數矩陣[G（s）=C（sI-A）-1B]是一個嚴格正實矩陣。

2） 非線性時變反饋環節滿足波波夫積分不等式：

[λ0，t1=0t1vTWdt≥-η20] （13）

式中[η0]為有限正常數。

根據正實引理，對于一線性定常系統：

[x（t）=Ax（t）+Bu（t）y（t）=Cx（t）] （14）

其傳遞函數[G（s）=C（sI-A）-1B]為正實的充要條件為存在對稱的正定矩陣P和Q滿足：

[PA+ATP=-QP=ξ] （15）

對于表貼式PMSM，由于[Ld=Lq=Ls]，故矩陣[ξ]的選取為：

[ξ=1001] （16）

根據式（12）可知式（14）中的矩陣B為單位陣，將矩陣P和矩陣A代入式（15）得：

[Q=-PA+ATP=2RsLq002RsLd] （17）

故矩陣Q為對陣正定矩陣，線性前向反饋通道矩陣[G（s）]嚴格正實。

將式（12）中系統輸出v和W的值代入式（13）中可得：

[λ0，t1=0t1vTWdt=λ10，t1+λ20，t1≥-η20] （18）

式中：

[λ10，t1=0t1eTξTωr-ωriJsdt] （19）

[λ20，t1=0t1eTξTRs-RsI'iLsiJsdt] （20）

假設MRAS速度估算系統的自適應定律方程為如下形式：

[ωr=0tφ1（v，t，τ）dτ+φ2（v，t）+ωr（0）] （21）

將式（21）代入式（19）中得到：

[λ10，t1=λ1s+λ2s] （22）

式中：

[λ1s=0t1eTξTJsi0tφ1（v，t，τ）dτ+ωr（0）-ωrdt] （23）

[λ2s=0t1eTξTJsiφ2（v，t）dt] （24）

假設：

[f（t）=eTξTJsi'kf（t）=0tφ1（v，t，τ）dτ+ωr（0）-ωr] （25）

式中[kgt;0]。

把式（25）代入到式（23）得：

[λ1s0，t1=0t1df（t）dtkf（t）dt≥-12kf2（0）≥-η20] （26）

[φ1（v，t，τ）=kiωeTξTJsiφ2（v，t）=kpωeTξTJsi] （27）

式中[kpω，kiωgt;0]，則[λ2s]也一定大于等于0。

將式（27）代入式（23）得：

[ωr（s）=kpω+kiωsi′di′q-i′qi′d+ωr（0）] （28）

用同樣的方法可以證得：

[Rs（s）Ls=kpR+kiRsi′di′q-i′qi′d+Rs（0）] （29）

轉子位置由速度積分得：

[θ=0tωrdt] （30）

3" 滑模速度觀測器的設計

滑模控制具備系統結構隨時間切換的特性，滿足以下三個條件的控制稱為滑模變結構控制。

1） 當[ss≤0]成立時，存在滑模動態區域，表示發生了滑動運動。

2） 達到條件是指在有限時間內，軌跡從切換面[s=0]外部到達切換面。

3） 切換面是滑動模態區，滑模運動在動態性能上漸近穩定。

定義系統轉速誤差變量：

[x1=ωref-ωrx2=x1=-ωr] （31）

式中[ωref]為PMSM的參考轉速，通常為定值。

令[D=3p2nψf2J]，[u=diqdt]，則有：

[x1x2=0100x1x2+" 0-Du] （32）

為了提高系統的動態性能，在設計滑模控制器時對傳統的趨近率進行改進。改進后的趨近率為：

[s=-ksαth（s）-ρesth（s）-σx1βs] （33）

式中：[k，ρ，σ，βgt;0]；[0lt;αlt;1]；[th（s）]為連續函數。[th（s）]表達式為：

[th（s）=ss+γ] （34）

式中[γ]為極小的正實數，可取[γ=0.001]。

在遠離切換平面的情況下，系統加速收斂是通過項[ρesth（s）]實現的。隨著接近切換平面，該項減小了調整力度，以防止過度調整；縮短了系統接近穩態的時間，確保系統更快地趨于穩定；同時減弱了系統振蕩。此外，在[s=0]附近時，[ρesth（s）]趨近律不為0，其值較小，有助于在趨近0時實現有效收斂，還能降低系統的抖動。

為實現系統的理想動態特性，設計全局滑模面：

[s=c1x1+c2x2+e-gt] （35）

控制器表達式如下：

[u=1c2Dc1x2-pe-pt+ksαth（s）+ρesth（s）+σx1βs] （36）

從而可得q軸參考電流為：

[iq=1c2D0tc1x2-pe-pt+ksαth（s）+" " " " " " " "ρesth（s）+σx1βsdτ] （37）

為了分析控制器的穩定性，定義李雅普諾夫函數：

[V=12s2] （38）

對式（38）求導，并代入控制器函數得：

[V=s=-kssαth（s）-ρsesth（s）-σx1βs2≤0] （39）

當且僅當[s=0]時，[ss≤0]，系統能夠到達滑模面。

4" 仿真分析

該控制策略基于[id=0]和SVPWM相結合的矢量控制。PMSM調速系統原理圖如圖3所示。

參照自適應仿真模型，基于系統原理圖在Matlab/Simulink環境中構建了PMSM模型。PMSM模型的具體參數如下：[Rs=2.875" Ω]，定子電感[Ls=8.5" mH]，磁鏈[ψf=0.112" 4" Wb]，轉動慣量[J=0.002" 7" kg·m2]，磁極對數[pn=4]。參考轉速[ωref=300" r/min]，在[t=0.2" s]時施加[2 N·m]的負載轉矩。將改進后的SMC控制器與PI控制器、傳統的SMC控制器進行比較，表1為改進后SMC控制器的參數，式（40）為傳統的SMC控制器。

[u=1Dτx2+εsgn（s）+qs] （40）

式中：[τ=60]；[ε=200]；[q=300]。

轉速改變時，不同方法的轉速對比圖如圖4所示。突加負載后轉速對比圖如圖5所示。

從圖4和圖5可以看出，在系統啟動階段和電機轉速發生變化時，與PI控制器和傳統SMC控制器相比，新型SMC控制器能夠在較短的時間內達到給定速度，且超調量更小。如圖5所示，當電機轉矩突變時，新型SMC控制器、PI控制器和傳統SMC控制器下的系統轉速響應輸出在短時間內出現波動，但是新型SMC控制器的調節速度快，魯棒性好。

估計轉速與實際轉速之間的誤差曲線如圖6所示。

由圖6可知，新型SMC控制器與傳統SMC控制器、PI控制器相比，在電機空載啟動階段和加入負載后，新型SMC控制器下的調速系統有著較低的轉速跟蹤誤差，尤其是在電機啟動階段，跟蹤誤差明顯減小。

電機轉矩響應圖如圖7所示。在電機啟動階段，新型SMC控制器下的PMSM調速系統有著較低的轉矩波動；當電機突加負載后，新型SMC控制器下的電機轉矩穩定輸出所用時間明顯減少，說明改進后的系統有著更優的動態響應性能。

轉子位置及誤差變化曲線如圖8所示。

從圖8可以看出：改進后系統的估計轉子位置相對于實際轉子位置存在一定的滯后現象，位置誤差小于[0.03 rad]；在[t=2 s]時改變電機轉速，轉子位置誤差略有增加，隨后呈下降趨勢，直到轉子估計位置接近實際值。

5" 結" 語

本文提出了一種基于新型滑模算法的PMSM轉速控制策略，基于此算法構建新型SMC速度控制器，取代傳統的PI速度控制器。該控制器通過引入狀態變量使得滑模趨近效果相關于狀態變量，以確保系統能夠快速趨于穩定。

此外，在傳統MRAS的基礎上，還提出了改進型MRAS，考慮可變參數并在理論上進行推導，構建了新的自適應律。仿真結果表明，改進后的系統能夠有效抑制外部干擾，對內部參數變化不敏感，具有跟蹤精度高、動態性能好等優點。

注：本文通訊作者為焦提操。

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