基于學生思維發展的初中數學實驗教學策略探究

摘要：數學實驗是學生學習數學的重要方式之一，對其數學思維參與下的數學理解與核心素養的發展具有重要作用。教師要通過設計數學實驗，讓學生參與到真實的數學問題解決過程中，發展數學思維。在“制作一個盡可能大的無蓋長方體盒子”的教學中，教師需要發揮數學實驗的直觀演示作用，為學生提供數學思維發展的起點；引導學生動手實驗，把握數學思維的概括性與間接性特點；引導學生在實驗過程中解決真實問題，發揮數學思維的建構性作用。

關鍵詞：數學實驗；數學思維；核心素養

數學實驗是通過動手、動腦“做數學”的一種學習活動，是學生運用相關工具，在數學思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操作為特征的數學驗證或探究活動。數學實驗是學生學習數學的重要方式，對數學思維參與下學生的數學理解與核心素養的發展具有重要作用。究竟什么樣的數學實驗能夠促進學生數學思維的形成與發展？筆者以北師大版初中數學教材七年級上冊“綜合與實踐”中的“制作一個盡可能大的無蓋長方體盒子”一課為例，談談如何借助數學實驗，發展學生的數學思維。

一、設計數學實驗的主題與目標

數學作為基礎學科，其教育教學不僅涉及知識的傳授，更應關注學生解決問題、數學思維以及核心素養的培養。《義務教育課程方案（2022年版）》中所倡導的“學中用、用中學、創中學”學習理念，也為數學實驗教育價值的發揮提供了理念支撐，因為數學實驗是實現這一理念的重要手段。數學實驗作為一種動手實踐、探究學習的活動形式，為傳統數學教育提供了新的路徑。

筆者充分考慮數學實驗的理論價值，選擇了“制作一個盡可能大的無蓋長方體盒子”為主題并進行了課堂設計，本課也入選了2023年教育部“基礎教育精品課”。在課堂中，筆者以“制作一個盡可能大的無蓋長方體盒子”為驅動問題，以數學實驗為課堂載體，讓學生在“做”中思考，在“做”中發現，在“做”中感悟。學生從單一知識出發，在觀察、猜測、實驗、抽象、交流、推理中，將長方體的表面展開圖、代數式、方程和函數等知識點綜合運用到對方案設計的創新中去，在“做”中學習，落實了數學學科的綜合與實踐理念要求。

數學實驗中的實踐操作對于提升學生的數學思維品質具有促進意義，它能夠將抽象的數學知識變得具體化、形象化，使學生更容易理解和掌握；也能夠培養學生的觀察能力、思考能力和創新能力，促進學生形成對問題的自我總結能力。數學實驗的目標設計為：經過“實際問題—抽象出數學問題—建立數學模型—交流猜想并驗證—得出結論”整個活動探究過程，使學生形成知識結構，習得設計探究活動的一般方法，積累數學活動經驗；培養小組合作解決問題能力、合情推理能力和有條理表達能力；激發學生成功學習的自信，歸納、反思、升華、交流，獲得成功的體驗和克服困難的經歷；增強學生應用數學的自信心，感受數學的實用性，初步養成應用數學知識解決實際問題的能力。

【學生準備】用一張正方形紙片制作一個盡可能大的無蓋長方體盒子，要求剪掉的紙張不能再次使用。通過課前準備，讓學生展示自己的制作方案并分享初步的研究成果。

【材料準備】邊長為20 cm的正方形紙片、膠帶、剪刀。

二、設計數學實驗的課堂教學環節

（一）展示成果，導入新課

直觀展示能夠激發學生對數學的學習興趣和探索欲望，也可以培養學生的觀察能力、思考能力和創新能力。在課堂教學中，教師要引導學生利用各種直觀教具和數學實驗軟件，將抽象的數學問題轉化為具體、形象的展示，從而幫助學生更好地理解和掌握數學知識。

在這個環節中，學生可以展示課前制作的無蓋長方體盒子，并分享制作經驗。在學生講解自己的制作過程時，教師根據學生的講解給予適當評價，并通過網絡畫板展示無蓋長方體盒子的展開與折疊動態圖，讓學生直觀地感受圖形折疊的過程。

【設計意圖】教師先通過預先布置的任務激發學生對手工活動課程的興趣。然后，通過學生之間的交流和匯報，促進他們學習并借鑒其他同學的簡便方法，為下一步的小組合作節省時間。最后，通過教師分析展開的折疊動態圖，引導學生直觀感受制作方法，為下一環節做鋪墊。

（二）動手實踐，積累經驗

在數學實驗中，學生對觀察到的數學現象，需要會用數學語言來進行描述。這就要求學生不僅要理解相關的數學概念，還要會講出題目的解答思路、過程等，從而將數學概念與現實世界連接起來。

教師引導學生以小組為單位進行討論，用已經準備好的邊長為20 cm的正方形卡紙及剪刀、膠帶等設計制作一個容積盡可能大的無蓋長方體盒子。制作完成后，每個小組派出一個代表，帶著作品進行裝沙子比賽，比一比哪個小組裝得更多。制作完成后，教師讓一個學生主持這個活動，通過小組代表帶著作品稱量沙子質量的方式，選出冠軍組，設計者分享制作經驗和獲獎感悟。

【設計意圖】稱沙子比賽為課堂增添了趣味和挑戰，激發了學生的學習興趣。部分學生在討論容積最大的情況時發現，長方體盒子容積的大小實際情況與他們的預期不符，這一認知偏差使得其認知失衡，也激發了他們進一步學習的欲望，并促使他們在后續學習中更加認真、專注。通過討論、探究和測量，學生由被動地接受知識轉變為主動學習，同時通過小組合作學習，鍛煉了他們的合作交流能力。

（三）建立模型，代數表達

數學實驗的呈現為學生創造了數學表達的機會和環境，體現為教師鼓勵學生大膽講出自己對數學現象的認識及對數學實驗背后蘊含的數學知識的認識與理解。由此可以得出，數學實驗為建立數學模型提供了思路與方法。

教師可以引導學生在分析問題的基礎上，以動手實踐得到的經驗去嘗試建立數學模型，探究如何才能做成容積最大的盒子。學生建立的數學問題模型為：原正方形紙片的邊長為20 cm，設剪掉的小正方形的邊長為x cm，嘗試用含x的式子表示盒子的容積（如圖1）。

通過思考，學生得出了容積公式：V = （20- 2x）2·x。

最后，教師引導學生通過小組合作，自主探究x的取值范圍（0 < x < 10）。

【設計意圖】學生通過對正方形紙片折疊的空間想象，推導出了無蓋長方體盒子的容積公式，并確定了自變量的取值范圍。這一過程不僅培養了學生的符號意識，還加深了他們對于用關系式法表示變量之間關系的理解。

（四）合作探究，得出結論

數學實驗具有實踐操作的特征，在數學實驗的實踐操作中，學生需要親自動手進行實驗，觀察實驗現象，記錄實驗數據，分析實驗結果。通過實際操作，學生可以親身體驗數學知識的趣味性和實用性，從而增強數學學習的積極性和主動性。

1.算一算，求出特值

如果剪去的小正方形的邊長依次取1 cm至9 cm之間的整數值時，折成的無蓋長方體的容積如何變化？

學生小組合作，借助計算器完成表格，并繪制統計圖。教師抽選并分享學生得到的數據與制成的統計圖。規范的表格（見表1）與統計圖（如圖2）如下。

2.議一議，初步猜想

教師提出議題：x = 3時容積最大嗎？隨著小正方形邊長的增加，長方體的容積如何變化？在這組數據中，當小正方形的邊長取什么值時，所得的無蓋長方體盒子的容積最大？此時的容積是多少？要使長方體的容積變大，猜想下一步小正方形的邊長應該在什么范圍內？

3.尋找規律，驗證猜想

教師繼續追問：現在已經不能在整數范圍內取值了，我們可以再取小數值做實驗，取值間隔多少才合適呢？結論是什么？

分割逼近：計算當x = 2.9，3.0，3.1，3.2，3.3，3.4，3.5……時，盒子的容積大小是多少？容積變化趨勢是什么？

教師引導學生按順序取3附近的小數，先間隔0.1取值，一起通過Excel公式計算并得出結論（見下頁表2）。從表格中學生可以得到結論，即x = 3.3時容積最大。這時，教師接著引導學生討論：要使無蓋長方體盒子的容積變大，下一步小正方形的邊長又應該在什么范圍內？學生回答后，教師繼續輸入要求：取3.3～3.4之間的小數，間隔0.01。師生用上面類似的方法，繼續細化數據，直至探索到小正方形的邊長x = 3.3333時結束。

4.圖象直觀，得出結論

由于容積的表達式V = （20 - 2x）2·x（0 < x < 10）是一個三次函數，而對于學生來說，三次函數已經超出了所學知識范疇。為此，學生可以通過上述數據的驗證，得到函數值的變化情況。接下來，教師可以引導學生借助信息技術中的畫板功能畫出函數圖象，并移動圖象上的動點，計算其函數值，使數與形相結合（如圖3），形象、直觀地發現規律，并得到正確結論。

在接下來的數學實驗中，學生用邊長為20 cm的正方形紙片，在四個角上各剪去四個大小相等的小正方形。隨著剪去小正方形的邊長由1 cm逐步增加到9 cm，無蓋長方體的容積先逐步增大，然后再逐步縮小，學生發現，當小正方形的邊長為[103] cm時，得到的無蓋長方體盒子的容積最大。

【設計意圖】學生進行容積關系式中的變量代值計算，并利用填表和繪制統計圖的方式分析數據，得出初步結論。這樣的實踐使學生更加清晰地感知變量之間的關系，并通過表格法、關系式法和圖象法的綜合運用，加深學生對知識之間聯系的理解。學生通過討論交流和數據分析，培養了合情推理的能力和解決問題的能力，同時了解了分割逼近的數學方法。同時，通過“猜想—驗證—尋找規律—得出結論”的過程，學生熟悉了探究活動的整個流程。

三、總結數學實驗的教學經驗

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中提出，初中階段綜合與實踐領域，可采用項目式學習的方式，以問題解決為導向，整合數學與其他學科的知識和思想方法，讓學生從數學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋社會生活以及科學技術中遇到的現實問題，感受數學與科學、技術、經濟、金融、地理、藝術等學科領域的融合，積累數學活動經驗，體會數學的科學價值，提高發現與提出問題、分析與解決問題的能力，發展應用意識、創新意識和實踐能力。作為一節綜合實踐活動課，在這節課例中，通過數學實驗，學生經歷了一系列數學學習活動，包括觀察、比較、分析、抽象、猜想、概括、推理和計算等過程。教師引導學生多方面參與，鍛煉了學生的數學思維。本課立足學生數學思維發展的起點，突出數學思維的概括性、間接性與建構性特點。

（一）實物直觀演示，提供數學思維發展的起點

兒童的數學思維特點是相信直觀感覺，而其數學思維的發展往往由此出發。數學實驗具有直觀性特點，教師通過提供實物向學生進行直觀演示的形式，使學生可以觀察到數學規律的具體表現，這為學生理解數學知識和發展數學思維提供了較好的起點。教師還可以利用各種直觀教具和數學實驗軟件，將抽象的數學問題轉化為具體的形象展示。

本課例可以分為學生的直觀演示和教師的直觀演示兩部分。學生展示自己制作的無蓋的長方體盒子，分享制作經驗并講解制作過程。教師先根據學生的講解給予適當評價。然后，教師通過信息技術中的畫板功能展示無蓋長方體盒子展開與折疊的動態圖，讓學生直觀感受圖形折疊的過程等。在這兩種直觀演示中，學生通過觀察實驗現象，可以發現問題、提出疑問，并嘗試尋找解決問題的方法，實現了數學思維的全面參與，并預留了較大的思維發展空間。

（二）做數學實驗，把握數學思維的概括性與間接性特征

數學思維是理性的認識活動，因其高度抽象的特點，使得數學思維較之其他思維更為間接，即數學思維具有高度的間接性與概括性特征。然而，學生數學思維的形成與發展并非是由直接獲得這種間接性與概括性特征來實現的，而是需要在實踐中逐步抽象和數學化的。數學實驗中的數學學習旨在回歸發現、論證、應用的本意，“做”是學生數學學習的支架，是讓學生在“做數學”中享受完整的數學學習過程。做實驗，意在引導學生手腦協同地展開實踐操作，將抽象的結論寓于其中，使學生經歷一個從具體到抽象的過程。

在本課的數學實驗中，學生需要先親自設計和制作一個容積盡可能大的無蓋長方體盒子，通過裝沙子，來發現容積和剪掉的小正方形的邊長的關系，再建立數學模型來抽象出變量之間關系。然后，學生借助計算器、Excel公式和統計圖，在“猜想—驗證—尋找規律—得出結論”的過程中，逐步尋找最值，探索剪去的小正方形的邊長和無蓋長方體的容積的變化規律。這種做實驗的過程對于提升學生的數學思維品質有重要的促進作用，它能夠將抽象的數學知識變得具體化、形象化，使學生更容易理解和掌握；也能夠讓兼具概括性與間接性特征的數學思維在學生心中落地，為其創造性思維的發展奠定了基礎。

（三）解決實際問題，發揮數學思維的建構性作用

數學思維是獨特的、形式化的符號語言，兒童的數學思維需要通過對真實問題的發現、思考和解決得以建構。南京師范大學喻平教授曾指出，數學實驗教學本質上是以數學問題為出發點，以獲得數學結果為目標，充分展示探究過程的實踐活動。這樣的數學問題必定是具有啟發性的真問題，具有撬動實驗探究過程和導出數學結果的可能。因此，在數學實驗中，學生的探究過程應是以真實的問題鏈為驅動，以實現數學思維的參與和進階為最終目標。具體來說，在數學實驗教學中，教師要引導學生解決現實情境中的真實問題，并以該問題作為數學實驗的探究核心；對這一真實問題的解決，又形成一系列環環相扣的子問題，形成一條問題鏈；遵循著這條問題鏈，學生提出猜想、尋找方法、實踐操作、發現規律、建立模型，最終得到結論并解決問題。

圍繞“如何用一張正方形紙片制作一個盡可能大的無蓋長方體盒子”這一探究核心，本實驗逐步解決這樣的系列問題：正方形紙片和要制作的盡可能大的無蓋長方體盒子有什么關系？隨著小正方形邊長的增加，長方體的容積如何變化？下一步小正方形的邊長應在什么范圍去找？當不能取整數值時，可以再取小數值做實驗，間隔多少才合適呢？從而發展學生的邏輯思維、抽象思維、形象思維等思維因素。學生逐步解決這一真問題的過程，也正是其建構數學思維的過程。

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（責任編輯：楊強）