指向學生思維發展的小學數學“1與多”辯證認知策略

摘要：學生對數的認識經歷了基于具體物體的單個量的認知到借助計數單位和理解數量關系的抽象認知階段，實現了對從“1”到“多”的辯證理解。教師應提煉基于量化表述、定性描述和模型刻畫的認知策略，以促進學生的認知從“1”走向“多”、從“量”走向“計數單位”，最終達成從“量”到“率”的轉變，進而發展數學思維。

關鍵詞：1與多；辯證；認知策略；思維發展

小學階段“數的認識”領域是在不斷經歷“1與多”的辯證認知過程中行進的，可分為“數量的累加”“位值的拓展”“關系的增減”三個階段，本文將結合具體案例闡述這三個階段的認知策略。

一、量化表述：實現“單個量”到“多個量”的疊加

建立正確的數概念是認數教學的任務，也是學生數學學習的起點。理解數的意義一般有兩個角度：一是立足數的組成，指基于元素和集合的角度，運用組成理解數的大小和多少，加強對數的感知；二是聯系生活實際，指出通過具體的現實情境理解數在生活中的意義，使抽象的數和具體的量有機結合，從而進一步理解數的意義。實際教學中，教師應將這兩種方式有機融合。一年級是學生系統認數的開始，學生眼中所見的每一個物體都可“數”，根據這一年齡段學生的認知特點，對于數概念的建構應以具體直觀為主，引導學生在操作中推動思考，在思考中感悟數的疊加性。

例如，在教學“6，7的認識”時，教師可創設“數一數鉛筆盒里的鉛筆”的真實情境（如圖1），讓學生經歷從具體實物到半抽象的點子圖，再到抽象的數。

學生經歷以下思考：一是5支鉛筆添上1支是幾支鉛筆？繼續添，有什么發現？二是□ > 6 > □，□里可以填幾？三是如果把6支鉛筆分成兩份，可以怎樣分？其中的一份有可能是7支嗎？

學生對數的認識從具體走向抽象，體會量一個一個的疊加，理解數的意義，初步感知每一個數即為1個元素；掌握數的大小和順序，體會每一個元素都能找到一個后繼的元素，由此可得：一個又一個元素可以組成一個無窮的集合。

二、定性描述：實現“1個數”到“1個計數單位”的遞進

（一）感官體驗，借實物感知“1到多”的辯證關系

在“1到多”的累加過程中，當數量達到10時，實現了數到計數單位的飛躍。教師要把握“10的認識”教學關鍵點，提供豐富的素材，如散放的10顆糖、一盒雞蛋（10個）、一包口罩（10只）、一對娃娃、8個蘋果，引導學生尋找能用10表示的物品。學生通過數一數確定“10”；運用數的組成確定一盒雞蛋里有兩個5正好是10個；借助文字信息確定一包口罩的數量是10只。

fcIP7JjL8s51tsgLvtEisw==一方面，學生通過觀察，將顏色、形狀、大小等非本質元素剝離，經歷了從物抽象到數的過程：10顆糖一顆顆地數，一盒雞蛋5個5個地數，體驗加“1”組成“多”的累加過程。另一方面，學生理解10個物體可以分為多個個體，感悟“多”可以分解為若干個“1”，明確“多”包含“1”。感悟“1到多”的辯證關系，能幫助學生全面、正確地理解相對抽象的數字“10”，并再次強化“1到多”的數學概念。

（二）具身操作，借學具感悟“1與多”的辯證關系

在數的認識過程中，教師要運用多種模型幫助學生理解數的意義，如計數器、方格圖、數位順序表等；要借助直觀素材進行具象化的表示，提供多元化的學習材料作為學習支架，促進學生多感官協同參與，從而逐漸建立起抽象的數和現實中的數量之間的關系，促進辯證關系的滲透。

在“創造10”的環節中，教師可引導學生借助學具表示10，并根據學生呈現的不同表征方式，了解學生的思維水平。教師可讓學生對四種不同的表示方法（10根小棒擺一行，表示10個一；10根小棒扎成一捆，表示1個十；計數器個位擺10顆珠子，表示10個一；計數器十位擺1顆珠子，表示1個十）進行深入辨析，探尋異同點，感受“1”包含于“多”、聚“1”為“多”的辯證關系，對后續數的認識起到正向遷移作用。

一是辨析1根與1捆。學生經歷1根小棒記作1個一，一捆小棒記作1個十，辨析“1個一”與“1個十”中的“1”，第一次感受對立統一現象（即同一個數字“1”表示的具體意義不同）：第一個“1”表示1根，第二個“1”表示1捆（10根）。在相同數字“1”中，學生能感受到計數單位的必要性。

二是辨析10根與1捆。學生經歷10根小棒扎成1捆，從10個一到1個十的轉變，體會雖然表示的具體數量相同，但是從形態上看，10個一根是分散的，而1個十是捆在一起看作一個整體的，區分多個“個體”和1個“整體”，初步感知計數單位的重要性。學生借助“捆一捆”的操作體會1個十中包含著10個一，感受“多”包含于“1”的辯證關系。

三是辨析計數器上的1顆與10顆。同樣是用小棒表示10，不管是10根還是1捆，都包含了10根，都可以用計數器表示。教師引導學生思辨：計數器個位上擺10顆珠子勾聯10根小棒的表示方法，一顆珠子和一根小棒對應，理解計數器個位上10顆珠子表示10個一；而計數器十位上擺1顆珠子則對應1捆小棒表示1個十。學生感受1顆珠子在不同數位上的意義，加深對10個一是1個十的理解，為后續學習計數單位及數的組成作鋪墊。

（三）辨析對比，借計數器明晰“1與多”的辯證關系

教師引導學生借助小棒、小正方體、點子圖、計數器等表示100，辨析100個一、10個十、1個百，感悟多元表征下的相同本質。學生再次感悟“1與多”的辯證關系，為學習更大的數做好辯證方法的儲備（如下頁圖2）。

一是體驗表征方式，剖析形態下的本質。教師引導學生借助小方塊、小棒、計數器等學具表示100，通過對比揭示“1與多”辯證關系的三個層次。層次一，相同學具、數量，不同形態表征100，體會形態不同而數量相同。層次二，不同學具、相同數量表征100，感知表征方法不同而數量相同。層次三，不同學具、不同數量表征100，再次感悟表征方法不同而數量相同。學生深入理解“1”大捆與計數器上百位的“1”顆珠子都能表征100，進一步發展“1與多”的辯證思維。

二是聚焦計數單位，感悟位置制的價值。教師引導學生連接舊知，回憶1個一的含義及10個一就是1個十，并在100的認識過程中經歷1個十到10個十的累加，理解10個十就是1個百。學生聚焦計數單位，辨析1個一、1個十和1個百中的“1”，發現同樣都是數字“1”，所在的數位不同，所表示意義不同，數量也就不同，感悟“1”既可以表示“單”個數量，也可以表示“多”個數量，體會位置制的應用價值。

三是豐富表象特征，探尋相同數的意義。學生借助學具表征并經歷從直觀到抽象的過程，提煉100個一、10個十和1個百，感受同樣都表示100但表示的意義不同。教師引導學生想象：在計數器上，100個一就要在個位撥100顆珠子，10個十就要在十位撥10顆珠子，而1個百則只要在百位撥1顆珠子，學生在進一步辨析中體會計數器表示數的簡明性，感悟計數單位的重要性，體會“1”能表示10還能表示100甚至更多，進而理解“1”中蘊含著“多”，強化“1與多”的辯證關系。

（四）遷移統整，借數位順序表明晰“1與多”的辯證關系

學習“小數的意義”之前，學生對于數位順序表的認知主要停留在從右往左的順序中，即計數單位間基于“10”的不斷遞進，而小數實際上是十進制計數法向反方向延伸的結果，即基于“1”的不斷細分。在學生的經驗處逆向發問，能夠幫助學生跳出常規思維，走向知識的遷移與重整。

一是計數體系的遷移。第一次遷移是從整數到小數的遷移。教師通過提出“如果從數位順序表的左方往右看，還能繼續分嗎？怎么分？”的大問題來驅動學生思考，使學生明確1與[ 110 ]的關系，進而將十進制計數法從整數推到小數。第二次遷移，是從[ 110 ]類推遷移。教師賦予學生[ 110 ]計數單位的概念，要求明確[ 110 ]在數位數值表中的位置以及相應的數位，學生根據已有的細分經驗以及數位順序表的規律，依次往后推出計數單位以及相應的數位。

二是計數單位的統整。教師以半抽象化的數軸為學習素材，通過三次變式，讓學生在不斷重組、打破、調整和應用的過程中，明確一格表示幾是推理A的關鍵（如圖3）。同時，通過一格表示0.02的呈現，教師能夠幫助學生打破思維定勢，統整“單位”的概念：這里的一份實際上是基于數學學習的需求和交流的需要而規定的“單位”，但不論怎么變，單位的連加與細分其實都是一致的。

三、模型刻畫：實現“數量”到“關系”的飛躍

【第一次飛躍】“倍的認識”幫助學生實現了對于數的認知從關注“具體的量”走向關注“抽象的關系”，勾聯了量的認識和率的感知，為后續學習分數做好了認知鋪墊，是一次質的飛躍。

教學不能僅僅停留于通過具體實物的對比來感知兩個量之間的具體倍數關系，教師還要力圖打破實物圖所帶來的固化模式。例如，教師可引導學生借助幾何直觀的方法，將3個籃球抽象為一條線段，引導學生大膽思考：“是否可以將籃球的數量表示為任何數？”學生體會到足球的數量會隨著籃球數量的變化而變化，但這兩種球之間的關系卻是不變的，以此來把握倍的基本概念。同時，教師可引導學生在思考與辨析中初步感悟：無論籃球的數量是多少，都可以用一條線段來表示。這就打破了“數的認識”中十進制計數法只能將“10個”看作一個整體的思維局限，使學生辨析一條線段或者一份中可以是單個量，也可以有多個量，凸顯理解標準量的重要性及“1與多”的相對性（如圖4）。

【第二次飛躍】“分數的意義”一課是在學生直觀認識分數基礎上對概念進行二次學習，側重對分數“比率”維度的意義理解與深化：分數既是對部分與整體的關系表達，又是對兩個獨立量比較關系的呈現。基于前序經驗，學生能夠利用手中的素材表征 [13] ，但對于同一分數不同表示形式下的異同沒有很深的感悟。學生通過聚焦、對比與發散，提煉分數的本質，進入意義理解的另一水平（如圖5）。

一是在不變中提煉部分與整體的關系。學生聚焦作品1和作品2，這是他們最為熟悉的分數表征方式之一。通過“還可以用幾個圓表示出 [ 1 3] ”“為何都能表示[ 1 3] ”的問題引領，學生在變化的部分量和整體量中發現不變的關系，從而實現分數模型的建立。學生再由“這個整體還可以是什么？”發散思維，在不斷體驗聚多個物體為一個整體的過程中強化“多”包含于“1”的辯證關系，豐富單位“1”的內涵。

二是在經驗處勾勒兩個獨立量的關系。聚焦作品3，學生在“為何兩行圓也能表示 [ 1 3] ”的思維沖擊下，將“分數”與“倍”進行關聯，感知兩者都是基于“1與多”的比較得到的，不同之處在于標準量的選擇。將陰影圓看作一份，并作為標準時，兩者的關系可以用倍數呈現；而將空白圓看作單位“1”時，兩者的關系則是用分數表示的。學生由此體會“一倍數”與單位“1”的一致性，實現對分數意義的進一步理解，即向表示兩個量之間的關系遞進。

三是在發散中展露分數率視角的全貌。學生再次聚焦作品2，借同一素材的多角度思考，跳出單一思維，強化對分數能夠表示兩種關系的理解。從“同樣這6個圓還能一眼看出什么分數”到“為什么想到了不同的分數”，學生在逐步深入中明確單位“1”與分數單位的重要性，同時在體驗細分單位“1”與累加計數單位的過程中，深化“1與多”的辯證關系。

在教學中，教師要基于辯證的視角聚焦“1與多”關系的內容，引導學生在感性探究中開展理性思辨，揭示“1與多”的相對性、絕對性和包含性，以此增進對數學知識的理解，從中積累數學經驗，建立數學認知，促進高階思維的發展。

參考文獻：

［1］寇敏娟. 論教學中的“一”與“多”［J］. 太原師范學院學報（社會科學版），2009（3）.

［2］鄭和鈞. 滲透“1”與“多”辯證關系的方法［J］. 湖南教育，1987（5）.

（責任編輯：楊強）