需求依賴于庫存水平下的風險規避型報童模型研究

【摘 要】論文重點研究了風險規避行為和需求依賴于庫存對零售商訂貨決策的影響。無論需求與庫存水平是正相關還是負相關關系，風險規避型報童模型的最優訂貨量都是有效的。一方面，當消費者的需求和零售商的庫存水平負相關時，風險規避行為和需求對庫存的依賴性對零售商最優訂貨量的共同影響是呈負相關的；另一方面，當市場需求和零售商的庫存水平正相關時，二者對零售商最優訂貨的共同影響則取決于初始需求、需求對庫存的敏感度和零售商風險規避程度。此外，論文討論了風險規避和需求對庫存的依賴對零售商最優訂貨量影響的相互作用。

【關鍵詞】報童模型；風險規避；需求依賴于庫存水平

【中圖分類號】F202；F274 【文獻標志碼】A 【文章編號】1673-1069（2024）07-0060-04

1 引言

在現實中，零售商的庫存水平通常會對消費者需求產生影響。例如，大量的庫存可能預示著受歡迎的產品，從而吸引更多的客戶購買。在這種情況下，消費者需求和零售商的庫存水平呈正相關關系。庫存對消費者需求的刺激作用已在運營管理文獻中得到了廣泛的研究，例如，Gerchak et al.[1]、Dana et al.[2]、鄭夢等[3]對相關內容進行了研究。Urban[4]對這類研究文獻進行了全面綜述。

與此同時，Balachander et al.[5]從美國汽車行業觀察到，汽車的相對稀缺性與較高的消費者需求相關，換言之，需求與零售商的可用庫存負相關。運營管理（尤其是庫存管理）文獻中關于庫存稀缺效應（即高庫存水平對潛在需求產生負面影響）的研究相對較少。Sapra et al.[6]研究了并構建了一個有限期以及定期審查庫存補充模型，模型中假設每個階段性需求是關于前一個周期剩余庫存的遞減函數。Yang et al.[7]提出了一個有限期、定期審查的聯合定價和庫存管理模型，其中每個時期的需求與零售價格、期初可用庫存水平負相關。

在上述研究中，通常會假設零售商是風險中性的，在作出訂購（定價）決策時，傾向于最大化其預期利潤。然而，并非所有決策者都會做出風險中立行為。其中，一些人可能規避風險，一些人可能追求風險。很明顯，不同的風險態度會導致零售商作出截然不同的決策。在本研究中，主要探討需求依賴于零售商的庫存水平時的風險規避型報童模型。許多學者提出了風險規避型報販模型，例如，Eeckhoudt et al.[8]、Gotoh et al.[9]、Chen et al.[10]、李胃勝等[11]、劉樹人等[12]、鄧杰等[13]。這些研究與本文研究的主要區別在于現有的研究通常假設需求是外生的，而本文假設需求依賴于零售商的庫存水平。

當零售商為風險規避型決策者時，通過期望利潤確定最優訂貨量不再是一個合適的衡量標準。在現有文獻中，有許多關于風險度量的定量分析方法，如效用函數、均值-方差、下側風險、風險價值VaR、條件風險價值CVaR、損失規避和一致風險度量等。在這些度量方法中，條件風險價值CVaR側重于最大化低于某個分位數水平的平均利潤，該分位數水平定義為特定置信水平下的最大利潤。由于該措施同時考慮了回報和風險，因此，在文獻中被廣泛使用，如Gotoh et al.和Chen et al.的相關研究。本文也采用CVaR標準測度風險規避行為。

本文的研究目標是雙重的：一是研究風險規避和需求依賴于庫存對零售商的綜合影響效應，以及風險規避和需求依賴于庫存對零售商的訂購決策所產生的影響；二是本文提出了一個簡化模型，其可以探究需求對庫存的正向依賴和反向依賴關系。

2 零售商的訂貨決策

本文以一個風險規避型零售商在一個時期內銷售產品為研究對象，分別用p、c和r表示單位售價、單位采購成本和單位殘值。通常，這些參數必須滿足p＞c＞r＞0。本文假設需求依賴于零售商的庫存水平，可以表示為：

D= α+βQ+ε （1）

式中，D是市場需求；α＞0，是獨立于庫存水平的初始需求；β∈（-1，0）∪（0，1），是需求對庫存水平的敏感度；Q是零售商的庫存水平；ε是分布在[A，B]的隨機變量，其中A≥0及B＞0，f（·）和F（·）分別表示隨機變量ε的概率密度函數和累積分布函數。當-1＜β＜0（或者0＜β＜1），表明零售商的庫存水平和消費者需求呈負相關（或者正相關）。值得注意的是，β≤-1（或者β≥1）意味著零售商根本不會訂貨（或者將庫存增加到無窮大），這兩種情況都是沒有意義的。因此，本文不考慮這兩種極端的情況。本文采用條件風險價值CVaR測度零售商的風險規避行為，此時零售商的目標函數可以表示為：

命題1表明，在需求依賴于庫存的條件下，風險規避型零售商最優決策存在的充分條件是β≤1-ηδ，δ＜1且η≤1，同時β≤1-ηδ＜1。很顯然，式（5）中的最優訂貨量適用于需求和零售商的庫存水平呈正相關或者呈負相關的情形。

隨后本文研究了價格、成本和需求參數與風險規避型零售商的最優訂貨量之間的關系。由于市場需求和α、β呈線性正相關，可以推測，隨著α和β逐漸變大，零售商會訂購更多的庫存，但是隨著單位采購成本的增加，零售商可能會降低庫存水平，因為利潤率會降低。此外，當單位殘值很大時，零售商將保持相對較高的庫存水平。這些關系如以下命題所示：

命題2：風險規避型零售商的最優訂貨量Q■與單位成本c呈負相關，但是與單位產品的凈產值r、初始庫存α以及庫存敏感系數β呈正相關。

3 關于風險規避和需求依賴于庫存水平對最優訂貨決策的影響情況

推導出零售商的最優訂貨決策后，可以直觀地發現市場需求對庫存的依賴性和零售商的風險規避態度是如何影響零售商的最優訂貨量的，這部分將具體地分析風險規避和需求依賴于庫存對最優決策的影響。在下文中，首先分別研究了需求依賴于庫存和風險規避行為各自對最優訂貨決策的影響；其次討論了二者對最優訂貨決策的聚合效應。

3.1 需求依賴對庫存的影響

根據式（5）得出的結論，在需求不依賴于庫存水平的情況下即β=0時，風險規避型零售商的最優訂購量Q如下所示：

根據以上結論，可以發現當零售商為風險規避型決策者時，需求對于庫存的依賴程度越高，零售商最優的訂貨量越大，反之則最優訂貨量越小。因此，當大量庫存可以刺激消費者需求時，零售商自然會訂購更多的商品以滿足消費者的大量需求，從而達到利潤最大化的目的。相反，當庫存無法刺激消費者需求時，零售商會降低訂貨量，以此避免損失。在現有的研究中，當零售商是風險中立型決策者時，以上的結論同樣是成立的。例如，Dana et al.的文章證明了當零售商是風險中立型決策者，庫存水平與市場需求呈正相關時，庫存水平的影響越大，零售商的最優訂貨量越大。而Yang et al.表明，庫存水平與市場需求呈負相關時，庫存水平的影響越大，零售商的最優訂貨量越小。在某種程度上，本文的研究可被視為對需求依賴于庫存水平對零售商訂貨策略影響問題相關文獻的補充和改進。

3.2 風險規避型行為對零售商最優訂貨的影響

當市場需求依賴于庫存水平時，風險中性型零售商的最優訂貨量為：

以上結論表明，當需求依賴于庫存水平時，風險規避型零售商的最優訂貨量小于風險中性型零售商的最優訂貨量。在市場需求與庫存水平無關的情況下，Choi et al.[14]也得出了類似的結論。然而，Gotoh et al.證明，當考慮零售商的缺貨懲罰時，需求與庫存水平無關，同時，隨機需求是呈現S-D分布的（可以參見Lau[15]的研究了解更多關于S-D需求分布的內容），風險規避型零售商會增加其訂貨量。這個結果與本文中的結論正好相反。但是，當考慮短缺懲罰成本且需求函數中的隨機項（即ε）呈均勻分布時，風險規避型行為仍然導致零售商的最優訂貨量減少。Katariya et al.[16]提出，風險中立型和風險規避型零售商的最優訂貨量的比較取決于對模型中一些關鍵指標的假設，例如，需求分布、決策標準以及是否考慮缺貨懲罰成本。

本文的研究結果驗證了Katariya et al.的結論，并進一步提出，風險規避型和風險中立型零售商的最優訂購量之間的關系可能取決于需求結構。

3.3 需求依賴于庫存水平與風險規避型行為的綜合影響

綜合以上兩部分的分析結果表明，當市場需求與零售商庫存水平之間的關系為負相關時，市場需求對零售商庫存的依賴和風險規避型行為都會導致零售商降低訂貨量。因此，聚合效應是非常明顯的。與此同時，當零售商的庫存水平與市場需求呈正相關時，需求對庫存的依賴程度越高，零售商的最優訂貨量越大，而風險規避型行為會導致零售商訂貨量的減少。換言之，這兩種不同條件狀態下的結論正好相反。因此，本文的研究重點在于探究需求對庫存的依賴和風險規避型行為對零售商的最優訂貨量的綜合影響，或者，在這兩種影響中哪一種因素能夠主導另一種。

當需求與庫存水平無關且零售商為風險中性型決策者時，即β=0且η=0，零售商的最優訂貨量為：

對于β∈（0，1）的情況，從命題5中看到，需求對庫存的依賴性對零售商的最優訂購量的影響取決于β、α和η。當η或β的值足夠大時，可以發現在需求依賴庫存水平的條件下，風險規避型零售商總是比市場需求不受庫存影響且風險中立型零售商預定更多的商品。換言之，需求對庫存的依賴性的影響主導了風險規避的影響。這是由于β和η分別捕獲了需求依賴于庫存和風險規避的影響。當價值較大時，庫存對消費者需求的刺激作用較大。與此同時，當η值越大，意味著零售商的風險規避程度越低，因此，風險規避對于最優訂貨量的影響往往越小。

此外，當η和β的值越小時，需求對庫存的依賴性的影響是否仍然占主導地位，還是由風險規避的影響占主導地位，這取決于初始需求的值。值得注意的是，β的值越小，對應于需求對庫存依賴性的影響越小，而風險規避系數η越小，則對應于風險規避有較大的影響。當初始需求α較小時，在零售商的庫存決策中，風險規避的作用比需求對庫存的依賴性更為重要。與此同時，當初始需求α足夠大時，需求對庫存的依賴性和風險規避對零售商最優訂貨數量的影響相對較小。命題5的結果表明，在這種情況下，零售商

可能更關注需求對庫存的依賴性，而不是風險規避行為的影響。

3.4 風險規避與需求對庫存依賴影響的相互作用

本部分主要討論需求對庫存的依賴程度和風險規避對零售商最優訂購量的影響之間的相互作用。以下結果可被視為命題5的補充。

4 結論

本文重點研究了風險規避和需求對庫存的依賴對零售商庫存策略的影響。本文首先推導了風險厭惡型零售商的最優訂購量，當需求正或負依賴于零售商的庫存水平時，該最優訂購量是有效的。結果表明，需求對庫存的正（負）依賴導致零售商訂購量更多（更少），風險規避導致零售商減少訂購量。當消費者需求與零售商的庫存水平負相關時，風險規避和需求對庫存的依賴對零售商的最優訂購量的總效應為負。與此同時，當消費者需求和零售商的庫存水平正相關時，總效應取決于初始需求、需求對庫存的依賴程度和風險規避程度。最后，研究發現，當需求函數中的隨機需求呈均勻分布，當零售商為風險規避型決策者時，需求對庫存的依賴性減弱，而當需求依賴于零售商的庫存水平時，風險規避程度降低。這些結果均適用于庫存水平對消費者需求的正面或負面影響。當隨機項呈指數分布，當消費者需求和零售商的庫存水平正相關時，這些結果依然成立；當市場需求和零售商的庫存水平負相關時，結果正好相反。

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