高中數(shù)學解題的轉(zhuǎn)化策略與案例

摘要：轉(zhuǎn)化策略是數(shù)學解題的基本策略.高中數(shù)學解題經(jīng)常用到轉(zhuǎn)化策略，常見的轉(zhuǎn)化策略有數(shù)與形、特殊與一般、減元和增元、降次與升次、相等與不等、方程與函數(shù)、定點與動點、有限和無限等之間的轉(zhuǎn)化，本文結(jié)合具體案例對這些轉(zhuǎn)化策略進行探究.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；轉(zhuǎn)化策略；案例分析

1數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”數(shù)與形的轉(zhuǎn)化是指代數(shù)和幾何之間的相互轉(zhuǎn)化，在代數(shù)題中，尋找目標的幾何意義，目標可以轉(zhuǎn)化為截距、距離、斜率等.［1］在幾何題中，通過建立直角坐標系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題予以解決.

例1已知x，y滿足x2＋y2=23y-1，則2x-2yx2＋y2的最大值為.

解析：由x2＋y2=23y-1想到圓O1的標準方程，x2＋y2可以轉(zhuǎn)化為兩點之間距離，即點A（x，y）到原點O（0，0）距離，2x-2y可以轉(zhuǎn)化為直線l1的標準形式y(tǒng)=22x，經(jīng)過計算可以得知y=22x也就是圓O1的切線方程.如圖1所示，過點A作直線l1的垂線，垂足為N.直線l1，l2為圓O1的兩條切線.｜AN｜=66（2x-2y），2x-2yx2＋y2=6·｜AN｜｜AO｜=6sin∠AON.

由題可知，l1，l2的夾角為90°，所以∠AON∈0，π2，所以最大值為6.

2特殊與一般的轉(zhuǎn)化

特殊與一般的轉(zhuǎn)化指的是在一般情況與特殊情況之間的轉(zhuǎn)化，條件是一般情況時，可以考慮其特殊情況，如幾何圖形中特殊的位置、特殊的圖形（點、直線、平面、空間幾何體等），函數(shù)中的特殊函數(shù)和函數(shù)的特殊值，數(shù)列中的特殊數(shù)列等.條件是特殊情況時，由于一般情況具有普遍性，解題時可以找出其一般情況并發(fā)現(xiàn)一般結(jié)論，從而解決問題.

2.1特殊向一般轉(zhuǎn)化

例2（2020年高考數(shù)學Ⅱ卷改編）證明22022-22024＜3-2022-3-2024.

解析：可將原不等式轉(zhuǎn)化為22022-3-2022＜22024-3-2024.令f（t）=2t-3-t，易知f（t）

在R上是增函數(shù)，所以22022-3-2022＜22024-3-2024，所以22022-22024＜3-2022-3-2024.

評注：本題從特殊值2022、2024直接比較大小難以入手，可考慮一般的情況，去構(gòu)造一個一般的函數(shù)，使特殊問題一般化，從而使問題更簡單.

2.2一般向特殊轉(zhuǎn)化

例3在△ABC中，角A，角B，角C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，那么cos A＋cos C2cos B＋3cos A=.

解析：取等比數(shù)列公比q=1，則a=b=c，從而cos A=cos B=cos C=12，代入原式可得結(jié)果為25.

3減元與增元的轉(zhuǎn)化

減元和增元轉(zhuǎn)化法則是通過減少未知數(shù)個數(shù)或引入新的參數(shù)，將問題進行轉(zhuǎn)化.在條件含未知數(shù)較多的情況下，通過加減、代入、整體代換、換元、不等式等方式進行消元，減少未知數(shù)的個數(shù).在僅含的未知數(shù)解題困難時，可以考慮引入?yún)?shù)，將問題轉(zhuǎn)化，從而解決問題.

3.1減元（消元）

例4如圖2所示，在△ABC中，D為BC邊的中點，AG=2GD，過點G作一直線EF分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若AE=mAB，AF=nAC，則m＋3n的最小值是.

解析：AG=xAE＋yAF，其中x＋y=1.易知，AG=23AD=23（12AB＋12AC）=13AB＋13AC=13mAE＋13nAF.

由平面向量基本定理可得x=13m，

y=13n，即m=13x，

n=13y.

m＋3n=13x＋1y（x＋y）=43＋y3x＋xy≥43＋2y3x·xy=43＋233.

所以m＋3n的最小值是43＋233.

3.2增元（引參數(shù)）

例5已知實數(shù)x，y滿足2x2-y2-xy=1，則2x2＋y2的最小值為.

解析：因為2x2-y2-xy=1，所以（2x＋y）·（x-y）=1，令a=x-y，b=2x＋y.

x=a＋b3，y=b-2a3，且ab=1.

2x2＋y2=2a2＋2b2＋4ab9＋4a2＋b2-4ab9=6a2＋3b29≥2·6a·3b9=223，

當且僅當a2=22，

b2=2時，等號成立.故2x2＋y2的最小值為223.

4降次與升次的轉(zhuǎn)化

降次和升次的轉(zhuǎn)化是通過對方程變量次數(shù)增加或減少來解決問題，常用于解方程和三角恒等變換等.在次數(shù)較低的題中，可以利用倍角公式、配方等方法進行降次的轉(zhuǎn)化；在次數(shù)較高的題中，可以利用同角三角函數(shù)公式、平方等方法進行升次轉(zhuǎn)化.

例6已知函數(shù)f（x）=sin6 x＋cos6 x＋32·sin xcos xcos 2x，下列說法正確的是（）.

A. f（x）的最大值為28

B. f（x）在π8，π4上單調(diào)遞增

C. f（x）圖象的一條對稱軸為x=π16

D. f（x）的最小正周期T=π2

解析：因為sin6 x＋cos6 x=（sin2 x＋cos2 x）·（sin4 x-sin2 xcos2 x＋cos4 x）=（sin2 x＋cos2 x）2-3sin2 xcos2 x=1-3sin2 xcos2 x=58＋38cos 4x，所以f（x）=58＋38cos 4x＋38sin 4x=328

sin4x＋π4＋58，f（x）的最大值為32＋58，所以A選項錯誤.當x∈π8，π4時，令t=4x＋π4，t∈3π4，5π4，y=328sin t＋58在t∈3π4，5π4上單調(diào)遞減，故B選項錯誤.y=328sin t＋58圖象的對稱軸為t=π2＋kπ（k∈Z），t=4x＋π4=π2＋kπ（k∈Z），x=π16＋kπ4（k∈Z），當k=0時，x=π16，故C選項正確.T=2π4=π2，所以D選項正確.故選CD.

5相等與不等的轉(zhuǎn)化

相等與不等的轉(zhuǎn)化是把問題中的相等情況和不等情況進行轉(zhuǎn)化，常見于等式的證明、求范圍、求最值等問題中.解題時通過配方、不等式的性質(zhì)等進行放縮，將相等與不等進行轉(zhuǎn)化，解決問題.［2］

例7（2020年新高考Ⅰ卷改編）已知m＞0，n＞0，且m＋n=4，則（） .

A. m2＋n2≥8

B. 4m-n＞14

C. log4m＋log4n≤1

D. m＋n≤22

解析：m2＋n2≥（m＋n）22=8，當且僅當m=n=2時，等號成立，所以A選項正確.因為m-n=m-4＋m=2m-4＞-4，所以4m-n＞4-4=144＜14，故B選項錯誤.log4m＋log4n=log4mn≤log4m＋n22=log44=1，當且僅當m=n=2時，等號成立，所以C選項正確.因為（m＋n）2=4＋2mn≤4＋m＋n=8，所以m＋n≤22，當且僅當m=n=2時，等號成立，所以D選項正確.故選ACD.

評注：通過對相等的條件進行放縮、配方、構(gòu)造、不等式等方法，將相等轉(zhuǎn)化為不等.

例8（1972年匈牙利競賽題改編）x，y，z∈Z，14x2＋y2＋3z2＋5＜2x＋2yz＋4z，求滿足不等式的x，y，z的值.

解析：因為x，y，z∈Z，所以一定存在一個正整數(shù)A，使得14x2＋y2＋3z2＋5＋A=2x＋2yz＋4z.

即x2-22＋（y-z）2＋2（z-1）2＋（A-1）=0成立.

因為x2-22＋（y-z）2＋2（z-1）2≥0，

A-1≥0，所以x2-22＋（y-z）2＋2（z-1）2=0，

A-1=0.

解得x=4，y=1，z=1.

評注：本題是將不等轉(zhuǎn)化為相等，通過巧妙配方解決問題.

6方程與函數(shù)的轉(zhuǎn)化

方程和函數(shù)的轉(zhuǎn)化實際上就是把待解決的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程問題，常見于求函數(shù)極值問題、求解方程的根等問題中.

例9若函數(shù)f（x）=lnx＋mx（m∈R）在（0，＋∞）有一個零點，則實數(shù)m的值為.

解析：函數(shù)f（x）=lnx＋mx（m∈R）在（0，＋∞）有一個零點，則問題可以轉(zhuǎn)化為方程lnx＋mx=0（m∈R）在（0，＋∞）有一個實根，也就是h（x）=lnxx與g（m）=-m在（0，＋∞）有一個交點.對h（x）求導可得，當0＜x＜e時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；當x＞e時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減.所以h（e）max=1e.又limx→＋∞h（x）=limx→＋∞lnxx=0，即h（x）=lnxx的一條漸近線是x軸，所以m=-1e.

7定點與動點的轉(zhuǎn)化定點與動點的轉(zhuǎn)化常見于解析幾何和立體幾何中.若問題含有多個動點，難以下手，則可先觀察點的運動規(guī)律，明確動點和定點，由此觀察動點和定點的關(guān)系，找到其特殊關(guān)系或位置，實現(xiàn)動點向定點的轉(zhuǎn)化，從而解決問題.

例10已知點N是直線y=x上的一動點，點A是圓O1：（x-3）2＋y2=19上的一動點，點B是圓O2：x2＋（y-2）2=19上的一動點，求｜NA｜-｜NB｜的最大值.

解析：這是一個動點問題，可以將其轉(zhuǎn)化為定點問題，在找定點時可以取或找特殊的點.

由于|NA|-|NB|=|NO1|-13-|2K4B4VQ/HvFB0ws/GtfWSg==NO2|-13=|NO1|-|NO2|，所以欲求解|NA|-|NB|的最大值可以轉(zhuǎn)化為找|NO1|-|NO2|的最大值.

根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”，可以轉(zhuǎn)化為找O2關(guān)于直線y=x對稱的點（2，0）到O1（3，0）的距離，即|NO1|-|NO2|的最大值為1，所以|NA|-|NB|的最大值為1.

評注：解決本題的關(guān)鍵是分析圖形，運用幾何性質(zhì)將到動點的距離轉(zhuǎn)化為到定點的距離.

8有限與無限的轉(zhuǎn)化

有限與無限的轉(zhuǎn)化是指把有限的條件轉(zhuǎn)化為無限，或者是無限的條件轉(zhuǎn)化為有限.數(shù)學學習中最早涉及有限與無限的轉(zhuǎn)化是求圓的面積.將一個有限的圓轉(zhuǎn)化成由無限的三角形拼成的長方形，從而求圓的面積，除此之外，還比較常見于導數(shù)的求解、數(shù)學歸納、數(shù)列計算等.

例11在數(shù)列｛an｝中，an=3n-1，a1＋a2＋a3+a4+…＋an=bn2＋cn（n∈N*），其中b，c為常數(shù)，則limn→∞bn＋cnbn-cn=.

解析：由an=3n-1知，｛an｝是首項為2，公差為3的等差數(shù)列.

a1＋…＋an=2n＋n（n-1）2×3=32n2＋12n，從而b=32，c=12.

limn→∞bn＋cnbn-cn=limn→∞1＋cbn1-cbn=limn→∞1＋13n1-13n=1.

評注：通過求出具體數(shù)值，將無限轉(zhuǎn)化為有限.

例12在正n棱臺中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是.

解析：當正n棱臺的上底面無限趨近于下底面時，此時棱臺相鄰兩側(cè)面所成的二面角趨近于π.當棱臺無限高時，正n棱臺是另一種極限狀態(tài)，棱臺相鄰兩側(cè)面所成的二面角趨近于n-2nπ.所以在正n棱臺中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是n-2nπ，π.

評注：從正n棱臺的兩個極限狀態(tài)入手，分析相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍，把有限轉(zhuǎn)化成無限.

參考文獻

［1］龐燕.數(shù)學“解題”的本質(zhì)：轉(zhuǎn)化、化歸——以“條件最值的轉(zhuǎn)化和化歸”為例［J］.數(shù)學教學通訊，2016（33）：54-55+62.

［2］李昭平.“轉(zhuǎn)化與化歸思想”破解數(shù)學題“十法”［J］.廣東教育（高中版），2014（4）：17-20.