解題教學的任務：教思考、教思維及教反思

摘要：本文將批閱試卷時發現的一些典型“錯解”或優秀解法收集整理，以便在試卷講評環節，作為重要的“生成性資源”或講評“學材”加以呈現，并在解題教學過程中追求“教思考、教思維、教反思”.

關鍵詞：解題教學；試卷講評；考題批閱

解題教學是初中數學教學的重要任務之一.對于一些較難題的解題教學往往更具有挑戰性，因為學生甚至連看懂題意都有困難，這時教師要在組織審讀題意、想清問題這個環節“慢下來”，讓更多學生看懂問題，并帶領學生“迎難而上”，貫通解題思路.解題教學的最后，教師還要引導學生學會回顧反思，積累解題經驗.本文從海安市九年級上學期期中考試的最后一題的閱卷說起，并圍繞該題的解題教學，談談應該如何體現“教思考、教思維以及教反思”.

1一道九上期中考試較難題的批閱展現

考題呈現（2023年11月海安市九年級上學期期中考試壓軸題）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2-2ax-3a2（a＞0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D，OC＝3OA.若點P在拋物線的對稱軸上，當直線BC上有且只有一個點Q滿足∠AQP＝45°時，分析符合要求的點P的個數，并說明理由.

解題思路：結合“題干信息”不難求出二次項系數a為1，拋物線函數解析式為y＝x2-2x-3.隨后直線BC也被確定，其解析式為y＝x-3.進一步將問題簡化表述如下，如圖1所示，點A（-1，0），點P在直線x＝1上，當直線y＝x-3上有且只有一個點Q滿足∠AQP＝45°時，求符合要求的點P的坐標.

閱卷記錄：由于該題是全卷最后一題的最后一問，能完整解答出來的學生極少.當看到有些學生能寫滿答題卡時，閱卷教師要認真閱讀，仔細辨別解答過程中的步驟與細節.

考生解法1：如圖2所示，設以AP為弦，∠AQP為圓周角的圓的圓心為M，則∠AMP＝90°，MA＝MP.

對圖2的局部“放大”，如圖3所示，過點M作GH∥x軸，過點A作AG⊥GM，過點P作PH⊥GM，垂足分別為G、H.可得△AMG≌△MPH，則AG＝MH，GM＝HP.設M（a，b），P（1，t），可得-b＝1-a，a＋1=t-b，解得

a＝t2，b＝t-22，

即點Mt2，t-22.

故點M（圓心）在直線y＝x-1上運動.要想在直線BC上有且僅有一個點Q，使得∠AQP＝45°，只要讓⊙M與直線BC相切就可以.直線y＝x-1與直線y＝x-3間的距離為2，則⊙M的半徑為2，MA＝2，可得關于t的方程t2＋12＋t-222＝（2）2，解得t＝0，即P（1，0）.

考生解法2：（同上思路）先分析出點M（圓心）在直線y＝x-1上運動.由點Mt2，t-22，Q（p，p-3），借助坐標平面內兩點之間距離公式或者構造直角三角形運用勾股定理分別表示出AM2＝12t2＋2，MQ2＝12t2-2tp+2t-4p＋4＋2p2，由半徑AM＝MQ，可得t、p的等式12t2＋2＝12t2-2tp+2t-4p＋4＋2p2，視p為主元，整理得p2-（t＋2）·p＋t＋1＝0.結合直線BC上僅有一個點Q滿足要求，得根的判別式Δ＝（t＋2）2-4（t＋1）＝0，顯然，只有當t＝0時，關于p的一元二次方程有兩個相等的實數根，對應著“直線BC上僅有一個點Q滿足∠AQP＝45°”，即P（1，0）.

簡評：需要指出，以上兩種解法都是不完整的.由于并沒有注意到點P為直線x＝1上任意一點，隨著點P位置的變化，所構造的圖形也會相應變化，特別是解法中提到的圓M的位置也發生了變化，需要考慮以AP為弦的兩個等圓與直線BC的公共點的情形.借助幾何畫板將點P變換不同位置，對應不同位置的圖形演示，如圖4～圖9所示.

解題關鍵：從上面圖4～圖9的演示可以發現，本題的幾何直觀是以AP為對角線構建一個正方形，該正方形的另外兩個頂點E1、E2所在軌跡分別是兩條直線，即直線y＝x-1和直線y＝-x＋1，然后以正方形另外兩個頂點為圓心、正方形邊長為半徑分別作兩個圓與直線BC的公共點情況，需要注意的是，如圖8中，兩圓與直線BC的4個公共點中點Q1、Q3并不符合題意（此時∠AQP＝135°），應舍去；在圖8中，滿足條件的公共點只有點Q2、Q4.可見，隨著點P在直線x＝1上的變化，當且僅當點P位于（1，0）時，如圖5所示，只有一個點Q滿足題意.

2在解題教學中發展學生數學思維的幾點認識

2.1在解題教學中要重視“教思考”

涂榮豹教授指出，數學解題教學的主要任務并不是解題，而是“學解題”［1］，并在此過程中教學生學會思考.對于上文提到的全卷最后一題最后一問來說，筆者所在農村初中的考場上很少有學生能完整解答出來.那么，試卷講評時，該如何幫助學生“學解題”“教思考”呢？筆者以為，首先要組織學生弄清題意，簡化問題，突出問題本質，然后引導學生突破關鍵步驟，必要時要通過預設鋪墊式問題引導學生復習回顧，再破解問題難點.對照答案“照本宣科”式的講評不利于學生學會思考、學會解題.這也對教師的備課提出了較高的要求，即教師應當想清辨明較難問題的難點與關鍵步驟，特別是從學情研判的視角出發，預設鋪墊問題、啟發式問題，幫助學生更好地理解題意、貫通思路.

2.2在解題教學中要重視“教思維”

眾所周知，數學教學要重視思維教學.寧連華教授針對學生在高考答題中表現出來的“想得不深，變得不當，算得不好，寫得不精”等現狀，建議數學教學要重視“教深度思考，教合理變換，教運算思維，教精準表達”.［2］以上文提到的較難題為例，教師可以將該題設計出“一題一課”，帶領學生深度思考，通過條件將原問題簡化、轉化為等價問題，促進學生掌握合理變換的解題能力.在解題思路貫通之后，教師組織解題教學過程時，要重視教精準表達，學會簡化過程，減少“非必要表達步驟”的書寫.具體來說，上文題例的解題關鍵是構造圖形分析思路，突破構圖這一難點，關鍵是引導學生聯想到圓周角的性質，同時還要注意運動變化與分類討論等數學思想的靈活運用.當然，以上這些都對學生的數學思維提出了較高的要求.

2.3在解題教學中要重視“教反思”

解題教學的最后要重視解題回顧與反思環節.教學生學會思考應當成為數學教育的根本目標和不懈追求［3］，并且要“教在起始點，教在類比處，教在反思時”.對于上文提到的較難考題來說，教師在回顧反思環節時可從以下幾個方面提出一些問題，幫助學生學會回顧反思.例如，這道題的求解過程中，你覺得哪一步是最難想到的；你在初次思考時，有沒有出現思考不嚴謹的現象，導致出現漏解；你之前有沒有遇到過類似的問題；通過這道題的學習，你積累了哪些解題經驗.課后教師還可鼓勵學生用數學寫作、解題隨筆的方式，對這道較難題的思路、解題步驟、解題反思進行整理.對整理得好的學生隨筆，教師可以利用“班級園地”“班報”“班級公眾號”等方式進行展示、推介，激發學生學習興趣，培養學生解題自信.

參考文獻

［1］涂榮豹.數學教學設計原理的構建——教學生學會思考［M］.北京：科學出版社，2018.

［2］寧連華.指向核心素養的數學高考評價及教學轉向審思［J］.中學數學月刊，2022（11）：1-4.

［3］顧鋒，寧連華.于無疑處教有疑——高中數學課堂“教思考”質量提升策略探索［J］.數學通報，2022（7）：35-38.