基于整體性視角 促進結構化建模

《義務教育數學課程標準（2022年版）》著重指出要對課程內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑。模型意識主要是指對數學模型普適性的初步感悟，是小學階段數學核心素養的表現之一，能夠引導學生在現實生活中感悟數學模型，增強學生對數學的應用意識。北師大版四年級上冊《運算律》單元是學生第一次正式接觸運算律，對于提升學生的運算能力以及后續學習小數、分數應用運算律進行簡便計算，增強模型意識具有突出作用。

本文結合對《乘法分配律》教學的思考進行實踐，探討如何準確把握教材的整體結構，實現有結構的“教”、有關聯的“學”，建立有意義的思維框架，多維并進突破學生的認知困境，促進學生深度學習發生，實現減負提質。

一、豐富背景，感知模型結構

《乘法運算律》的學習過程就是引領學生建模的過程。學習是一個從模糊到逐漸清晰的過程，是從憑借直覺到系統學習、主動運用的過程。在這個過程中設計有趣的、現實的、蘊含乘法分配律意義的情境，盡可能多地給學生概念的具體樣例，多角度呈現乘法分配律的外延特征，有利于學生積累感性經驗，多視角認識乘法分配律。例如，教材提供的貼瓷磚情景，行列觀察順序不同，藍白顏色不同，側面和正面瓷磚位置不同。在感受方法的多樣化后，教師應引導學生梳理個性化的思路，尋找聯系緊密的算式，感受等值變形的特點。面積模型也是直觀認識分配律的重要途徑，如教師可以提供各種長方形，引導學生探究什么樣的長方形可以拼成更大的長方形，嘗試用不同的方法計算新長方形的面積。還可以讓學生在活動中體會乘法分配律的意義，可以結合購物情境，如購買合唱隊的服裝就可以成為學生感受乘法分配律的素材。在這些豐富多樣的素材中不斷對比，乘法分配律的模型就更加直觀、清晰，從而幫助學生更好地歸納和理解乘法分配律，實現建模。

二、多元表征，建立模型結構

同一事物有不同的表征方式。在數學學習中既有內隱的心理層面的知識整合與建構，也有外顯的能夠呈現認知過程和認知結果的多元化的數學表達。研究發現，對于難度較大的數學學習內容，多元表征能夠起到減輕認知負荷的良好作用。乘法分配律抽象復雜，變式多，又與乘法結合律互相干擾，對于部分學生來說是難以理解的，因此教師要圍繞表征展開教學，讓乘法分配律的建構可感、可見。教學時，教師要安排大空間的探索活動，讓學生用自己喜歡的方式解釋所寫等式的合理性，通過可視化的方法驗證乘法分配律是成立的。

（一）操作表征

兒童的思維發端于手指，有效操作是數學發現的前提。只有在有序的操作中建構數學概念，才能讓學生更深刻地積累活動經驗：哪些圖形可以拼成更大的長方形？怎樣求出新圖形的面積？學生在將長6寬4和長4寬3的兩個長方形，以及長8寬5和長5寬2兩個長方形進行拼接后，會質疑為什么有的圖形可以拼成新圖形，而有的卻不能。通過互動交流以及正例和反例的對比，學生能夠迅速聚焦到必須有條相同公共邊的特征上。這樣的操作直觀表征出乘法分配律與其他運算律的不同屬性，即兩個乘法算式必須有一個相同的因數。

（二）情境表征

聯系現實生活尋找生活事例，發現解釋規律。比如，面對6×3+4×3=（6+4）×3，可以理解成五年級有6個班級，四年級有4個班級，每個班級領到3個籃球，可以用6×3+4×3先分別算出四、五年級領到的籃球，再算出兩個年級一共領到的籃球，也可以先算一共有（6+4）個班級，再算一共領到多少個籃球。這樣，以后學生再遇到抽象的算式時，都可以還原到現實的情景中，通過融入事例編故事，用故事中的數量關系支撐抽象算式中蘊含的規律。

（三）幾何表征

點子圖和方格圖非常重要。例如，將兩個長方形拼成一個大長方形，計算面積。雖然算法不同，但是通過同求一物，學生可以找出相等的原因，從而得到等式，更好地理解乘法分配律左右兩邊的算式相等的原因。之后在畫一畫、涂一涂、圈一圈活動中再次體會規律。這種數形結合的方式可以幫助探索建構乘法分配律。

（四）意義表征

這些表征方式雖然不一樣，然而萬象歸一，殊途同歸。教師以問題“這些表征方式有相同點嗎”引發學生的認知沖突，讓其站在數學應有的理性角度進行深入思考，從而發現不管用哪種形式表征，6個3和4個3合在一起都有（6+4）個3。以多種表征為載體，在對比分析中能夠啟發學生思維從形式上的交流聚集到算理的追溯。挑戰性的問題使學生不僅能基于獨立思考表達自己的獨特想法，還能跳出自我框架，脫離現實情境，借助算式的意義理解模型的本質，以更開闊的視角叩問乘法分配律的本質，從而跳出固有的封閉認知。這樣的學習過程就是從“自我”走向“他人”，從“個體”走向“協同”，發展了學生的分析與綜合能力、評價與創造能力。

（五）符號、語言表征

語言表征讓數學思考聽得見。教師應創設讓每個學生將自己的發現表達出來的機會，使學生對乘法分配律的認識越來越清晰，完成從幾個特例的共性特點歸納出一般性的結論，形成建構。在意義表征和語言表征后，符號表征也就水到渠成，學生能夠輕而易舉地用字母來表征乘法分配律了。在學習過程中每個學生都應有試一試的機會，獨立自主完成用語言到數學符號表達的過程，解釋乘法分配律。

相同的對象采用不同的表征方式，使得模型結構在學生的頭腦中不斷加深。通過情境表征、圖形表征，學生有形可檢；通過意義表征學生探尋關聯、抓住本質，借助乘法的意義完成對乘法分配律的數學表征，從而剖析乘法分配律外在的“形”，深入理解乘法分配律的“魂”，凸顯乘法分配律的本質；通過符號、語言表征學生可以實現模型的內化。這樣的學習從單一到多元、從具體到抽象、從現象到本質，從不同視角、不同維度對數學本質進行視覺化或體驗化的闡述，逐層建構乘法分配律的概念和意義。

三、新舊內聯，融通模型結構

教材是靜態文本向動態思維轉化的載體，也是探索新知的途徑。教師要重視整體分析教學內容，了解乘法分配律的產生與來源，從哪里來，到哪里去，為新知的形成奠定結構化的基礎。

（一）縱向拉伸

教師將單元間、跨年級、跨學段的同類知識內容進行勾連，進行調整、增補，將割裂、散狀分布的知識內容串聯修復，使學生清晰地認識到知識間的縱向關聯。乘法分配律的學習必須基于乘法意義的理解，學習前要開展孕伏性的訓練。如6×5，學生可以借助點子圖、方格圖等理解為5 個6或6 個5。不僅如此，教師還要找到已有的知識體系并對其進行結構化。例如，從二年級學習乘法口訣，到三年級探索兩位數、三位數乘兩位數，再到三年級關于周長的不同計算方法中也運用到乘法分配律……在解決簡單的實際問題時，學生會自然地憑直覺運用乘法分配律，從而形成一定的體驗。教師可以通過問題，如“你在哪里見過乘法分配律”引發學生思考，喚醒學生記憶。學生基于已有經驗進行梳理、歸納、遷移、整合，站在整體化、系統化、結構化的視角整合素材，融通建構乘法分配律，實現高效學習。

（二）橫向貫通

教學時，教師要從單元整體視角出發，形成對整體結構脈絡的認知，建立思想、方法上的聯系。教材將這些運算律作為一個獨立單元系統地講解，有利于學生感悟到算式等值變形的數學思想，根據運算律尋找到更加合理、簡便的運算途徑。幾個運算律的編排結構基本是一致的，即觀察算式——仿寫算式——解釋規律——表述規律。教材更加重視學生自主能力的培養，讓學生通過遷移和類比，自主探究。對于交換律和結合律，教材注重從課內到課外的延展，以及從加法、乘法的運算律到減法、除法運算律的拓展。因此，學習乘法分配律也要有結構化的眼光，如“關于乘法分配律，你還想探究什么”的思考，將學生的目光引向更廣闊的空間，探究乘減分配律、除法分配律是否也成立，以及乘法分配律在小數、分數里是否也適用，從而培養學生的推理能力。

教師引導學生建立學習結構體系，除了要找到這些知識之間的聯系，還要進行區別，融會貫通。乘法交換律只涉及乘法這一級的運算，運算次數和運算順序沒有改變，只是改變了乘數的位置。乘法結合律相對復雜，涉及3個數，但是仍然只有乘法這一級的運算，數字的位置沒有改變，但是改變了運算順序。而乘法分配律涉及乘、加兩級的運算，不但數的位置和運算順序發生了變化，左右兩邊數字的個數也不一樣，因此，乘法分配律比乘法結合律更復雜，變式更多。學生常出現這樣的錯誤：25×12=25×

（10+2）=25×10+2，25×12=25×（4×3）=25×4+25×3，這是因為乘法結合律和乘法分配律之間的相似之處互相干擾，因此出現了各式各樣的錯例。在單元學習時，教師引領學生探究25×12的算法，進行深度思考、深度探究、深度建構，促進學生的深度學習。

四、多維應用，理解模型結構

（一）發散思維

還是借助方格圖以形釋數，進行數學探究活動?；顒佑袃蓚€層次。首先，長是8、寬是5和長是5、寬是2的兩個長方形拼起來后，面積一共含有幾個方格？還可以繼續拼嗎？請根據圖形寫出等式。在圖形的拼加中再一次深化學生對規律的理解，只要圖形擁有相同的邊就可以無限拼起來，所有等式兩邊都含有相同的幾個幾；其次，利用豐富的直觀加持數學學習，滲透極限思想，發展學生的數感，使其感悟乘法分配律的模型。

第二個探究活動：淘氣、笑笑計算兩個圖形的面積時分別寫了兩個等式，分別是9×7+9×3=（7+3）×9，12×7-2×7=（12-2）×7，請你猜猜這兩個圖形是什么樣子的，想一想，畫一畫，驗證你的想法。通過計算變化中的長方形面積，讓學生明白乘法分配律的模型既有加又有減，既可以順又可以逆，“湊整”思想的滲透在不經意間水到渠成，同時還能引發學生對乘法分配律的思考，激發學生的探索欲望。

（二）聚合思維

聚合思維與發散思維相對應，將學生廣闊的思路聚集成一個焦點，將問題涉及的各種信息結合起來，從而可以對于出現的眾多可能性迅速做出判斷，找到最佳的結論或解決問題的最好路徑，是一種有方向、有范圍、有條理的收斂性的思維方式。例如98×13+（）×13，你渴望（ ）里的數是幾？學生緊扣兩個乘法算式中必須有一個相同的因數這一特征發散思考，（）里答案可以是不唯一的，但是學生還能快速找出（）里的最佳答案為“2”，并用乘法的意義進行解釋，98個13再加上2個13，合起來有（98+2）個13，等于100個13。這樣的探究活動一環扣一環，具有較強的連續性，使得原有發散的思維濃縮聚攏，形成思維的縱向深度和強大的穿透力，順利解決了問題，體現了學習乘法分配律的意義——使運算更加簡便。學生對乘法分配律的認識達到質的飛躍，體現出數學學習的價值。

（三）系統思維

數學是一個整體，掌握數學知識需要系統思維，教師要引導學生將乘法分配律的學習看作一個系統進行研究，用整體、全局的眼光進行學習，使學生具備強大的邏輯抽象能力，擁有合情的推理能力。本課在回顧“你在哪里應用了乘法分配律”時，讓學生自然地探究1.2×4可以怎樣算。盡管學生并未系統地學習小數乘法，但是能夠從12×4的算法中得到啟發，將乘法分配律推廣到小數范圍，將新問題化歸為舊問題，從整數到小數，在陌生的學習環境中感受數學研究的“味道”，培養數學素養。學生帶著“乘減分配律，除法分配律是否也成立”的思考在課外探究，通過觀察、思考、仿寫、解釋和表述的學習活動發現問題、提出問題，歸納和總結規律，積累合情推理的數學活動經驗，提升思維能力，實現方法的遷移。這樣的學習找到了《乘法分配律》前后相關的知識點，幫助學生更清晰地了解了乘法分配律的范圍深度，注重內在聯系和層次結構，形成完整的知識體系，培養學生用系統思維學習數學、全面思考問題的習慣。

五、結語

在概念教學中，教師需要對素材進行數學化的思考，從數學意義上建構，才能實現對抽象數學概念的深度理解。教學時，教師以形釋數統整運算定律，利用幾何直觀構建規律模型，多維度拓展演繹定律，立足生本經驗，精選認知素材，優化認知路徑，豐富論證策略，尊重共性學情，引導學生在多元表征中讓思維可視化，有效建構乘法分配律模型；勾連前后知識間的聯系，從整體上把握教材，關注知識的整體性，把握知識形成與發展的脈絡，使數學知識系統化、結構化；用結構化思維整合教材，為學生提供結構化的學習材料，引領學生展開結構化的建模，實現結構化教與學的深度發生。

注：本文系福建省泉州市基礎教育教學改革專項課題“‘雙減’背景下小學數學探究性作業設計實踐研究”（課題編號：QJYKT2022—71）的階段性研究成果之一。