除數是非整十數的除法：鞏固算理，初識算法

【摘 要】以“除數是整十數的除法”為基礎，探索一條基于算理一致性，且學生易于理解的“除數是非整十數的除法”的學習路徑，以此凸顯除法運算的通性通法。通過承接已有知識，引導學生將除數是整十數的除法的算理遷移到除數是非整十數的除法的計算中，感悟除法運算算理的一致性；經歷計數單位細分的過程，解決除數是非整十數除法的算法難題。學習路徑凸顯以理帶法，幫助學生通過計數單位的細分，理解算理，掌握算法，提高運算能力。

【關鍵詞】除法；計數單位；單位細分；學習路徑

一、問題提出

“除數是非整十數的除法”承接“除數是整十數的除法”的學習內容，與其在算理上具有一致性，均是“計數單位的細分”。但相較于“除數是整十數的除法”，“除數是非整十數的除法”更具有一般性。因此，讓學生在“除數是非整十數的除法”的學習中繼續經歷計數單位細分的過程，有助于凸顯除法運算的通性通法。

現行教材中，除數是非整十數的三道除法算式84÷21、430÷62和197÷28，它們的商都是一位數，學生無法充分體會計數單位細分的過程。而且由于除數和被除數間的差距較小，學生通過口算即可得出準確商，也難以體現將除數估成整十數試商的價值。因此，筆者將商是兩位數和商是一位數的除法整合在一起進行教學，使學生通過對比深入理解計數單位細分的過程，感悟運算的一致性。

本研究將繼續聚焦“計數單位的細分”，以“除數是整十數的除法”為基礎，探索一條基于算理一致性，且學生易于理解的“除數是非整十數的除法”的學習路徑，以此凸顯除法運算的通性通法。研究主要圍繞以下兩個子問題展開。

（1）如何進一步經歷計數單位細分的過程，將“除數是整十數的除法”的算理遷移到“除數是非整十數的除法”的計算中，以凸顯除法運算算理的一致性？

（2）如何利用計數單位細分的過程，解決商的位置和商“0”的算法問題？

基于此，筆者選取杭州市YHSY小學四年級兩個平行班（分別記為甲班和乙班）共58名學生作為研究對象，按照研究設計的學習路徑進行教學。通過比較兩個班級學生的學習情況，檢驗優化后的學習路徑的教學效果。學習路徑優化的具體流程如圖1所示。

二、路徑優化

圖2是優化后的“除數是非整十數的除法”的學習路徑，分三個任務逐步推進教學。首先，任務1借助三道除法算式852÷40、578÷82、976÷28，引導學生回顧“除數是整十數的除法”的運算過程，并將其算理遷移到“除數是非整十數的除法”的計算中，使學生再次經歷計數單位細分的過程，貫通除數是整十數的除法和除數是非整十數的除法算理的一致性。其次，基于除法運算的算理，任務2選用三道除數是非整十數且接近50的除法題目，通過異同比較，引導學生感受用四舍五入法將除數估成最接近的整十數最為便捷，能夠提高運算效率。最后，任務3圍繞三道改錯題展開，引導學生以算理解決算法問題，強調所有算法問題均可通過計數單位細分的過程來解決，凸顯除法算理的重要性。

（一）承續舊知，貫通算理，從除數是整十數走向除數是非整十數

任務1首先引入除數是整十數的除法算式852÷40，通過計數單位細分的過程，帶領學生回顧算理，再由情境自然引出兩道除數是非整十數的除法算式578÷82、976÷28，重點討論976÷28的計算過程，遷移除數是整十數除法的算理。教師在書寫豎式的過程中，同時呈現每一步的橫式，與豎式一一對應，凸顯算理的一致性，即除法就是計數單位細分的過程，均從大的計數單位開始，逐漸分到小的計數單位。板書設計如圖3所示。

【教學片段1】

師：同學們，上一節課我們學習了什么？

生：除數是兩位數的除法，而且除數都是整十數。

師：那我們來計算一下852÷40。

生：8個百除以40，不夠除；85個十除以40等于2個十余5個十，再用52個一除以40等于1個一余12。

師：我們學校將開展新勞動教育“勞動最光榮”活動。仔細觀察，你們能提出哪些用除法解決的問題？

生：需要租幾輛車？每個人平均要種幾個土豆？

師：這兩個問題可以用什么方法解決？

生：列除法算式。第一個是578÷82，第二個是976÷28。（教師板書）

師：這兩個算式跟我們上節課學的內容有什么不同的地方？

生：上節課我們所學的除法算式中的除數都是整十數，而這節課的除法算式中的除數都是非整十數。

（學生先估算，再進行豎式計算，教師反饋總結976÷28的計算過程）

師：那么這兩道題有沒有相同的地方？

生：它們都是從高位算起，一位一位往下除的。

師：哪個同學能夠幫我們完整地回顧如何計算976÷28？

生：先用百位上的9去除，不夠除，百位上商0；再用97個十除以28，把28看成30，得到3個十，十位上商3；最后用136個一除以28，把28看成30，個位上商4，最后余24。

師：請同桌再互相說說578÷82的計算過程。

（二）鞏固算理，突破難點，瞄準商的位置

在除數是非整十數的除法豎式的計算過程中，學生往往難以找準商的位置，這是因為他們對除法運算的算理理解不夠透徹［1］。因此，在任務1-5中，筆者借助分析商是一位數、商是兩位數的除法的錯例，讓學生再次經歷計數單位細分的過程，幫助學生認識到商是幾位數并不重要，重要的是瞄準商的位置。

【教學片段2】

（教師出示圖4所示的學生錯例）

師：請問這個同學遇到了什么問題？

生：他不確定“7”應該放在個位上還是十位上。

師：那應該怎么思考呢，誰來幫幫他？

生：我們可以通過驗算來解決。如果把“7”寫在十位上，表示“7個十”，70×82就遠遠大于578，這樣算顯然是不對的。

生：我認為應該把“7”放在個位上。因為這里是用“578個一”除以82，所以結果應該是“7個一”，而不是“7個十”。

師：大家明白了嗎？我們也可以這樣理解，當我們計算到十位時，用57個十除以82，不夠除，這時如果要商，應該商幾？

生：商0。

師：算個位時才夠除，所以個位上商“7”。我們一起來回顧一下剛才是怎樣計算578÷82的？

生：先用百位上的5去除，不夠除，商0；再用57個十除以82，仍不夠除，商0；最后用578個一除以82，可以商7，余4。

（三）應用算理，打破壁壘，解密商“0”難題

任務3包含三道改錯題，旨在引導學生經歷應用計數單位細分的過程，厘清商“0”現象，理解在什么情況下應商“0”。三道改錯題通過精心選擇設計。第一，選擇了一道被除數是四位數且商為三位數的題目（6416÷61），將本內容的算理算法拓展到商是三位數的除法算式中，凸顯通性通法。第二，三道除法題目的錯誤原因各不相同，第一題涉及部分積問題，第二題是商末尾為0，第三題是商中間有0。教師要引導學生發現問題，剖析錯誤原因并加以修正。例如，在探討第二道錯題時，須著重引導學生理解商3表示“3個十”，再用18個“一”除以21，不夠除，因此個位上商“0”。這樣，通過計數單位細分的過程，商“0”不再成為難題。

【教學片段3】

（教師出示圖5所示的三道錯誤計算題）

師：請同學們擔任小老師，檢查一下這三道計算題錯在哪里。

生：第一題錯在沒有使用準確的數來進行計算。這里的“60”是用30乘2得到的，不是準確的數。實際上，應該使用原除數28乘2，等于56余6。

師：我們繼續計算下去。計算個位，68個一除以28，可以把28看作30，商2個一，余12。因此結果是22余12。

生：第二題的商的個位少了一個0。因為用18個一除以21，商0余18個一，所以個位上商0，最后結果是30余18。

師：那么最后一道題呢？

生：在計算百位時，64個百除以61，應該商1個百余3個百，但他把這個1寫在十位上了。

師：我們一起來計算一下。

生：6個千除以61等于0個千余6個千，64個百除以61等于1個百余3個百，31個十除以61等于0個十余31個十，最后316個一除以61等于5個一余11個一。

師：在計算除數是非整十數的除法時，我們需要注意什么？

生：除到哪一位，商就要寫在哪一位上面。即使不夠除，也要寫0占位。

三、效果檢驗

為了檢驗優化后的學習路徑的實施效果，本研究設計了三道“除數是非整十數的除法”的后測題（如圖6），以評價學生對算理的一致性的理解水平。問卷的Cronbach’s α系數為0.91，表明該問卷具有較高的信度。后測主要從“知識理解、知識遷移、知識創新”三個水平進行檢測［2］。各水平任務評分標準如下：學生能運用豎式計算正確，說明達到“知識理解”水平，得1分，回答錯誤或未作答計0分，評價對象為第（1）題、第（2）題，共2題。學生既能用橫式記錄筆算過程，又能運用四舍五入法將除數由非整十數轉化為整十數進行計算，說明達到“知識遷移”水平，得2分，僅寫出橫式計1分，計算錯誤或未作答計0分，評價對象為第（1）題、第（2）題，共2題。學生能將算理算法遷移應用到商是三位數的除法中，且能用橫式記錄筆算過程并計算正確，說明達到“知識創新”水平，得2分，僅列出豎式計1分，計算錯誤或未作答計0分，評價對象為第（3）題。

基于此，對甲、乙班的后測結果進行定量分析，得出他們在各水平任務上的平均得分情況（如表1）。從表中數據可以看出，乙班學生有兩個水平上的得分率均高于甲班學生，尤其是在“知識遷移”上的表現，兩個班級存在顯著差異。

乙班部分學生的問卷答題情況如表2所示。學生能利用豎式計算正確（如2號學生）。他們不僅能用橫式記錄筆算的過程，還能用四舍五入法將除數由非整十數轉化為整十數進行計算（如8號學生）。另有學生能將算理算法遷移應用到商是三位數的除法計算中，用橫式記錄筆算的過程，又能計算正確（如4號學生）。

由此可見，優化后的“除數是非整十數的除法”的學習路徑，在幫助學生打通除數是整十數的除法和除數是非整十數的除法的算理，強化計數單位的細分，理解算理，掌握算法等方面具有較好的效果。

參考文獻：

［1］陳雪嬌.錯誤化開 算法自來：“筆算除數是整十數的除法”教學賞析［J］.課程教材教學研究（小教研究），2023（3/4）：76-77.

［2］喻平.《義務教育數學課程標準（2022年版）》學業質量解讀及教學思考［J］.課程·教材·教法，2023，43（1）：123-130.

（1.杭州師范大學經亨頤教育學院

2.杭州師范大學中國教育現代化研究院）