怎樣認識“余數”？

一、“余數”知多少？

在人教版教材二年級下冊“有余數的除法”單元教學中，學生對于余數，已經知道了哪些知識？還想了解哪些知識？帶著這些問題，筆者進行了一次課前調查。調查形式是對學生進行訪談和讓學生做前測題。前測題設計了三個部分：“我會分”“我會算”和“我會寫”。

（一）問題一：你知道余數嗎？

通過課前訪談發現，超過半數的學生都聽說過余數，他們有的是通過自學數學課本知道的，有的是家長教的。在訪談中，教師提問：“你們已經知道了哪些關于余數的知識？”學生的回答有：“我知道余數都比除數小”“余數表示有剩余”“除數×商+余數=被除數”等。那么，學生對余數知識了解到什么程度？在面對具體問題時，他們是否真的會用余數表示？為了測試這一點，教師呈現前測題1“我會分”（如圖1）。

調查結果表明，40名受測試的學生中，有36名學生能夠按照要求圈出結果，正確率達到90%。而出錯的學生主要源于沒有仔細閱讀題目要求，其中3名學生分別按照每組2根、4根、5根來圈選，導致錯誤；另外1名學生在最后一組只圈出了2根小棒。在實物圖上分一分、圈一圈，學生基本上沒有遇到困難。然而，當要求他們正確地用算式表示分小棒后的結果時，情況就有所不同了。在“列一列”中，有21名學生使用13÷3=4……1的算式來解決問題，占總人數的52.50%，但其中僅1人正確寫出了單位名稱，還有2人使用了乘減的方法表示分的過程與結果（如圖2）。剩下的學生要么算式列錯，要么空著，不知道如何表示剩余的情況。這表明，對于均分后有余的情況，學生在用算式表示上存在一定困難。

（二）問題二：你會計算帶余數的除法嗎？

學生會計算帶余數的除法嗎？教師呈現前測題2“我會算”（如圖3），讓學生嘗試進行計算。調查結果表明，學生的計算正確率達到55.00%。當詢問學生是怎樣計算出結果的，大多數學生表示是使用乘法口訣來計算的。另外，有17.5%的學生在個別題目上出現了計算錯誤；有11名學生基本不會計算，占總人數的27.50%。由此可見，超過半數的學生在課前已經具備了計算帶余數除法的能力，擁有一定的計算基礎。

（三）問題三：你對余數還想知道什么？

教師呈現前測題3“我會寫”，并提問：“關于余數，你還想了解哪些知識？”學生有以下回答：“有余數的除法，是誰發明的？”“為什么除法中會出現余數？”“余數是怎么表示的？”“我想學有余數的除法豎式”“余數會用在什么地方？”等。通過課前調查和訪談，教師清晰地了解了學生的想法與需求。

通過這些前測題，筆者整理出了學生已經知道的知識和他們還想了解的知識，為后續進行教學設計提供學情支持。

二、“余數”如何定位？

對于“有余數的除法”單元的教學，如何結合學情合理劃分課時和精準定位教學目標呢？

（一）如何劃分課時？

通過研讀教材，“有余數的除法”單元的學習內容主要包括兩大部分共六個例題：第一部分是有余數的除法的含義和計算，第二部分是解決問題（如圖4）。通過前測，可以發現，大多數學生對余數已有初步認識，并能通過“圈一圈”等操作活動解決“均分后有余”的問題，但對于“余數為什么會比除數小”這一問題，他們往往無法清楚地進行解釋?；诖?，筆者將例1、例2的教學內容整合為“認識有余數的除法”展開教學。

（二）目標如何定位？

基于對教材內容和學生現實起點的分析，筆者將本內容的教學目標定位為：（1）通過操作活動，學生能夠理解余數的意義，并能正確地列出有余數的除法算式。（2）學生能夠在觀察和比較中探索余數與除數之間的關系，體會余數的規律。（3）學生能夠初步運用有余數的除法解決日常生活中的簡單問題，進一步感悟數學與生活的密切聯系。本內容的重點在于理解有余數的除法及余數的意義，并發現余數與除數的關系。

三、“余數”如何教學？

在做好課時劃分和教學目標確立等工作后，擬定了以下教學環節并進行了嘗試。

（一）布置任務，明確要求

1.出示小棒，導入新課

教師呈現用小棒搭成的各種圖形（如圖5），請學生說一說圖形的名稱。

2.提出要求，明確任務

以正方形為例，每4根小棒可以擺出一個正方形，那么8根小棒可以擺出幾個這樣的正方形，你能用算式來表示嗎？

教師布置小組學習任務：試一試，能擺幾個這樣的正方形？在學習單（如表1）上畫一畫、寫一寫，并記錄下來（為每組提供8～20根小棒）。

（二）嘗試探究，理解意義

1.小組合作嘗試

學生以小組為單位合作完成任務：擺一擺正方形，寫一寫除法算式。

2.匯報交流

學生呈現作品，教師進行整理。

（1）交流：請學生說一說在完成任務的過程中遇到的困難以及解決方法。

預設1：分后有剩余，剩余部分如何用算式表示？

預設2：遇到有剩余的情況，沒有乘法口訣可用。

小結：像這樣擺正方形出現小棒有剩余的情況，也可以用除法算式表示。多余的幾根就叫余數，這樣的除法就叫作有余數的除法。通常這樣表示余數：9÷4=2……1（板書）。

說一說：9、4、2、1各表示什么？（補充單位名稱）

（2）學生分組匯報，教師整理匯報內容，并用板書呈現（如表2）。

（3）全班交流，觀察余數與除數的關系。

教師引導學生觀察算式與小棒圖之間的關系，讓學生說一說發現了什么。

全班交流：在除法算式中，為什么余數總是比除數小？

3.尋找規律

要求學生擺一擺其他形狀的圖形，理解余數的周期性規律。

（1）請學生用小棒擺其他形狀的圖形，如正三角形、正五邊形、正八邊形等，觀察余數，尋找規律。

（2）交流：擺這些圖形時，有哪些相同點和不同點？余數分別是多少？

預設：擺正三角形，余數是1、2；擺正五邊形，余數是1、2、3、4；擺正八邊形，余數小于8。

教師追問：如果擺一個正一百邊形，余數可能是幾？

（3）總結：通過擺幾何圖形，發現隨著小棒總數的增加，余數會呈現規律性的變化，但余數都比除數小。

（三）練習鞏固，梳理拓展

（1）試一試。

（2）播放微課，梳理溝通。

（3）回顧前測題，布置新的學習任務。

課堂教學實踐表明，學生興趣濃厚，探究熱情高漲?；仡櫋坝杏鄶档某ā钡慕虒W過程，可以深入認識如何基于學生的認知基礎，設計有效教學，以激活學生的數學思維。整體感知讓學生的認識更全面。通過課堂觀察、訪談和作業分析，發現將例1、例2的教學內容整合為“認識有余數的除法”進行教學，使學生全面地認識了余數及其與除數的關系。經歷操作讓學生的認識更深入。通過擺圖形、畫圖、寫算式等活動，學生感知到余數的意義。問題真實讓學生的認識更生動，以前測題中的真實問題為基礎，設計有效的課堂教學，學生才有真收獲。

基于學生的真實問題開展教學活動，適度地整合學習內容，能使學生在實踐探究、體驗反思和合作交流中，加深對余數的認識，讓學生的學習真正發生在課堂上。

（浙江省杭州市求是教育集團）