一道橢圓軌跡問題的多角度探析及其推廣

【摘要】軌跡問題是解析幾何中的?？紗栴}，有多種解決方法，例如代入法、參數方程法、極坐標方程法.文章結合一道橢圓軌跡問題，依次介紹這些方法的具體應用，以期為教師日常教學提供一些參考.

【關鍵詞】解析幾何；軌跡問題；參數方程；極坐標方程；推廣

引 言

圓錐曲線中的軌跡問題是一類難度較大、綜合性較高的題型.這類問題主要考查圓錐曲線的定義和性質，直線與圓錐曲線的位置關系等知識，需要綜合運用數形結合思想、方程思想、轉化與化歸思想等數學思想方法.求解軌跡問題的常用方法有直接法、定義法、代入法（相關點法）、參數法、極坐標方程法等，其中直接法和定義法是較基礎的方法.本文結合一道例題，談談代入法、參數法和極坐標方程法在求軌跡問題中的應用.

一、試題呈現

本題主要考查直線的方程、橢圓的方程及性質、直線與圓錐曲線的關系、軌跡的概念和求法等解析幾何的核心知識.

二、解法探析

解法一（代入法） 根據條件可知點Q不是坐標原點，設點Q的坐標為（x，y），其中x，y不同時為零.再設點P的坐標為（xP，yP），點R的坐標為（xR，yR）.

當點P不在y軸上時，因為點R在橢圓上且點O，Q，R共線，

以上結論也可以橫向類比到雙曲線中，不再贅述.

結 語

綜上所述，文章探究了一道橢圓軌跡問題的多種解法，通過一道例題呈現了代入法、參數法、極坐標方程法等求軌跡的常用方法.可見原題是一道求解思路開闊，具備一定綜合性的優秀試題，有效考查了學生的必備知識、關鍵能力和數學學科核心素養.此外，原題蘊含豐富的教學價值，可以進行縱向推廣和橫向類比，在解題過程中，學生的抽象思維能力和發散聯想能力可以得到充分的鍛煉和提升，為學生未來的學習打下堅實的基礎.

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