中考最值問題的幾種模型及其解題策略

【摘要】中考數(shù)學(xué)的最值問題考查的模型較多，其中以將軍飲馬模型，建橋選址模型和胡不歸模型最為常見.這些最值模型主要考查最短路徑問題，涉及化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等，是綜合性極強(qiáng)的試題.文章先解讀上述三種常考的最值模型，然后結(jié)合中考真題給出這三種最值模型的解題策略，旨在為一線教學(xué)工作者提供最值模型的解題策略與教學(xué)參考.

【關(guān)鍵詞】中考題；最值問題；將軍飲馬模型；建橋選址模型；胡不歸模型；解題策略

中考的最值問題綜合性較強(qiáng)，難度較大，通常以小壓軸題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在大題中的某一問，主要考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.下面結(jié)合中考真題談?wù)勅N常見的最值模型及其解題策略.

一、三種模型的解讀

模型1 將軍飲馬模型

將軍飲馬模型在考試中主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，該題型綜合考查學(xué)生的理解能力和數(shù)形結(jié)合能力，也是學(xué)生感覺有難度的題型.解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①將軍飲馬作對(duì)稱點(diǎn)；②兩點(diǎn)之間，線段最短；③垂線段最短.涉及的基本知識(shí)點(diǎn)還有：利用軸對(duì)稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”“三角形兩邊之差小于第三邊”等.

模型2 建橋選址模型

建橋選址模型，即沿一個(gè)方向平移的定長(zhǎng)線段兩端到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小.解題時(shí)需要理清楚是否含有定長(zhǎng)平移線段，且利用平移求出最短路徑位置.求解長(zhǎng)度時(shí)若有特殊角，通常采用構(gòu)造直角三角形利用勾股定理來求解.該題型主要考查最短路徑問題的應(yīng)用，涉及的主要知識(shí)點(diǎn)有矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等，解題的關(guān)鍵在于如何利用軸對(duì)稱找到最短路徑.

模型3 胡不歸模型

對(duì)于胡不歸“PA+k·PB”型的最值問題，當(dāng)k等于1時(shí)，即為“PA+PB”之和最短問題，可用我們常見的“將軍飲馬”問題模型來處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題來處理.當(dāng)k不等于1時(shí)，若再以常規(guī)的軸對(duì)稱思想來解決問題，則無法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路.此類問題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖形的不同來分類，一般分為兩類研究，即點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng).其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型通常為“胡不歸”問題.

二、三種模型的解題策略

（一）將軍飲馬模型

將軍飲馬模型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，或者大題的其中一問，難度系數(shù)較大，在各類考試中都以中高檔題為主.解決這類問題的關(guān)鍵是將所給問題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段.

解題策略：

第一步：觀察所求為橫向還是縱向的線段長(zhǎng)度（定長(zhǎng)），將線段按照長(zhǎng)度方向平移；

第二步：同側(cè)做對(duì)稱點(diǎn)變異側(cè)，異側(cè)直接連線；

第三步：結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短；垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊等常考知識(shí)點(diǎn)；

第四步：利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜模型變成基本模型.

因?yàn)锳B=AC，AD是BC邊上的中線，

所以B，C關(guān)于AD對(duì)稱，則EM+CM=EM+BM，

則BE就是EM+CM的最小值.

因?yàn)镋是等邊△ABC的邊AC的中點(diǎn)，AD是中線，

所以BE=AD=6，所以EM+CM的最小值為6.

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”、等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱等知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找到M點(diǎn)的位置.連接BE交AD于M，則BE就是EM+CM的最小值，通過等腰三角形的“三線合一”，可得BE=AD即可得出結(jié)論.

（二）建橋選址模型

建橋選址模型主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，主要考查軸對(duì)稱———最短路徑問題、勾股定理等，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”等知識(shí)求解.很多時(shí)候需要將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問題.

解題策略：

第一步：觀察點(diǎn)或圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化規(guī)律求出已知關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；

第二步：分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律看是否具有周期性（如點(diǎn)變的循環(huán)規(guī)律或點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的循環(huán)規(guī)律，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律等）；

第三步：周期性的求最小周期看余數(shù)，不是周期性的可以羅列求解幾組以便發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)最后的變化次數(shù)或者運(yùn)動(dòng)時(shí)間等，確定要求的點(diǎn)與哪個(gè)點(diǎn)重合或在同一象限，或與哪個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等；

第四步：利用有理數(shù)的運(yùn)算解題.

同理可得：CD垂直平分BE，所以QB=QE.

故PD+PQ+QE=PA+PQ+QB.

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)A，P，Q，B共線時(shí)，PA+PQ+QB取得最小值A(chǔ)B，

故PD+PQ+QE的最小值為4.

點(diǎn)評(píng)本題考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等.根據(jù)題意，連接PA，QB，先證PA=PD，QB=QE，故PD+PQ+QE=PA+PQ+QB，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)A，P，Q，B共線時(shí)，PA+PQ+QB取得最小值A(chǔ)B.

解 如圖6所示，作點(diǎn)N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，則NP=N′P，作點(diǎn)M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，則MQ=M′Q，所以MQ+PQ+NP=M′Q+PQ+N′P.

（三）胡不歸模型

胡不歸模型可看作將軍飲馬模型的衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式出現(xiàn)，學(xué)生不易把握.在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最短.

解題策略：

第一步：構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型；

第二步：借助三角函數(shù)，構(gòu)造銳角α，將另一個(gè)系數(shù)也化為1；

第三步：利用“垂線段最短”原理構(gòu)造最短距離；

第四步：數(shù)形結(jié)合解題.

解 如圖8所示，過點(diǎn)P作PE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

因?yàn)锳B∥CD，所以∠EDP=∠DAB=45°，

結(jié) 語(yǔ)

將軍飲ux6RAy2S1bmZZQHV5ETNNg==馬模型、建橋選址模型和胡不歸模型是中考試題中最為常見的三種最值模型.作為一線的教學(xué)工作者，在日常教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生梳理和總結(jié)常見的最值模型及其解題策略，并結(jié)合中考真題進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練.學(xué)生在總結(jié)最值模型和應(yīng)用最值模型解題的過程中，可提高解題能力，領(lǐng)悟化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

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