融合東西方數學文化，促進轉化思想的深度理解

［摘 要］轉化思想是數學學習中一種重要的思想方法。深入分析教材中的相關內容，結合數學史的相關資料提出兩條基于數學文化的學習路徑，以及這兩條路徑融合的可能方式。基于這些研究，進一步設計單元整體教學框架與活動，并通過教學實踐驗證了該方案的可行性。該方案不僅能提高學生對轉化思想的認識，而且能加深他們對轉化方法和轉化結果的理解。

［關鍵詞］數學文化；多邊形的面積；轉化思想

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）26-0001-06

數學思想方法一直是數學教育界關注的焦點。數學的作用，無論是技術層面還是思維層面，并不僅僅局限于數學知識和技能本身，更在于其內含的思想方法。這些思想方法源自具體的數學知識和技能，同時又對數學知識和技能的學習產生積極的反饋作用。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）在教材編寫建議中提出，要注重教材創新，強化教材的使用功能，編入與教學內容相關的重要數學概念、思想方法等拓展性內容。作為一門具有悠久歷史的學科，數學在其發展歷程中形成特定的數學史和數學文化，這對數學思想方法的教學具有至關重要的意義。數學史與數學文化不僅僅是教材拓展內容的寶貴源泉，也是教師創造性運用教材的重要參考。

在數學的發展史上，我國傳統的數學文化與以古希臘為代表的西方數學文化各自形成了獨特的發展路徑。從當前數學教育的視角來看，這兩種文化在一定程度上是可以相互借鑒的。以多邊形面積的計算中蘊含的轉化思想為例。我國傳統數學強調直觀性和實用性，因此發展出了“出入相補”原理；西方數學則注重邏輯推理，從而提出了“等底等高”的命題。探索這兩種數學文化背景下關于求多邊形的面積的轉化方法的融合途徑，以及這種融合途徑對當前多邊形的面積計算和轉化思想學習的促進作用，將有助于從更高層次審視教學內容，從而更加有效地進行教學設計和實踐。

一、基于數學文化視角的轉化思想分析

（一）各個版本教材中轉化路徑的比較

《課程標準》指出，數學教材為學生的數學學習活動提供了學習主題、知識結構和基本線索，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源。比較分析國內外不同版本教材，有助于了解這些教材在編排同一內容時各自的內在邏輯。對人教版、蘇教版、北師大版、西南師大版、香港現代版、臺灣地區部編版、日本東書版、美國Sadlier-Oxford版、新加坡Marshall Cavendish版等多個版本教材中“多邊形的面積”單元的教學內容及其中包含的轉化思想和策略進行比較，發現一些值得探討的問題。

從教學內容的順序來看，以上教材主要采用“平行四邊形→三角形→梯形”和“三角形→平行四邊形→梯形”兩種編排順序。從圖形轉化的方式來看，按照“平行四邊形→三角形→梯形”順序編排的，一般都是通過“割補法”將平行四邊形轉化成長方形，再用“倍拼法”將三角形、梯形轉化成平行四邊形，部分教材（如西南師大版）則是將三角形或梯形通過“割補”轉化成平行四邊形。按照“三角形→平行四邊形→梯形”順序編排的，一般都是將三角形轉化為長方形，但轉化的方法各有不同；對平行四邊形的轉化，有分成兩個全等三角形的，也有“割補”成長方形的；對梯形的轉化，一般都是“倍拼”成平行四邊形。其中，新加坡MC版教材較為特殊，是通過“出入相補”原理將三角形轉化成長方形，沒有將平行四邊形與梯形作為獨立的研究對象，而是將其作為組合圖形安排在練習中，主要采用分割求和的方法計算面積。

這些多邊形的面積計算之間并沒有絕對嚴格的學習順序，通過比較發現，各版本教材不論采用何種編排順序，主要采用的轉化方式都是“割補”“倍拼”“分割求和”等三種。這樣編排是出于對圖形本身的特點及圖形之間關系的考慮，也體現了轉化方法的多樣性，但是各版本教材的內容編排都缺乏一條明確的、一以貫之的主線，容易使學生滿足于一題一課的學習，不利于學生理解轉化思想的整體性和一致性，也不利于學生思維水平的逐步提升。

（二）基于數學文化的學習路徑分析

關于世界數學文化的發展，吳文俊院士曾指出：“在歷史的長河中，數學機械化算法體系與數學公理化演繹體系曾多次反復，互為消長，交替成為數學發展中的主流。”《課程標準》指出，應注重教材創新，拓寬視野。《九章算術》和《幾何原本》是機械化算法體系與公理化演繹體系的杰出代表。教師教學時可以介紹它們在人類文明發展中的作用。教材中關于求多邊形的面積的轉化方法，包含了上述兩大著作中的重要原理和命題，如各種“割補”方法大多源自《九章算術》及其劉徽注中的“出入相補”原理，“倍拼法”則來自《幾何原本》中的命題Ⅰ. 34。如果能沿著東西方數學文化這兩條不同路徑進行深入挖掘和分析，并設計相應的教學活動，則可以使教學內容的主線更加明確，教學活動的目標更加清晰，從而幫助學生更加結構化地理解學習內容。

《九章算術》對多邊形的面積計算有一套成熟的方法，開篇第一章“方田”中就記錄了圭田（等腰三角形）、邪田（直角梯形）、箕田（等腰梯形）等多邊形的面積計算問題，總結出了這些圖形之間嚴格對應的轉化和計算方法。魏晉時期數學家劉徽為《九章算術》做注時，在對這些方法進行總結的基礎上，提出了“令出入相補，各從其類”的“出入相補”原理，用圖形的分、合、移、補證明了不少數學恒等式，開創了中國古代數學中數形結合的獨特研究方法。因此，雖然《九章算術》或其他中國古典數學著作中并沒有記錄平行四邊形的相關內容，但按照三角形和梯形的轉化方法以及其中包含的“出入相補”原理，很容易通過遷移得到平行四邊形的轉化方法和面積公式的推導過程（如圖1）。這一點雖然在一些教材中有所提及，但很少有教師將其作為正式的教學內容。

《幾何原本》提出并證明了關于平行四邊形與三角形的面積關系、等底等高的三角形的面積關系、等底等高的平行四邊形的面積關系等方面的多個命題。上述關于平行四邊形與三角形面積關系的命題Ⅰ. 34（平行四邊形中，對邊相等，對角相等，對角線平分平行四邊形）通常以“倍拼法”的形式呈現在教材中，但是關于等底等高的三角形的命題Ⅰ. 37（同底等高的三角形面積相等）和Ⅰ. 38（等底等高的三角形面積相等），卻沒有得以在教材中完全發揮它們的價值。“等底等高”相關命題至少具有三方面的教學價值：一是提供了圖形轉化和公式推導的不同思路；二是解決了圖形面積計算的實際問題；三是形成了對多邊形面積公式的一致性認知和理解（如圖2）。教材編排和實際教學往往比較注重通過練習課或復習課體現后兩種價值，很少在新知學習的過程中體現第一種價值。

教材體現了東西方數學文化中的一些重要元素，但是還有很大的挖掘和開發空間。為此，教師應該在有理有據的前提下充分發揮數學文化的價值，創造性地使用教材。

二、凸顯轉化思想的教學框架與活動設計

從數學史的角度來看，特定的社會文化背景會形成不同的數學文化，再經過較長時間的發展和演變，這些數學文化就會形成清晰的邏輯主線。因此，基于數學史、數學文化的視角分析教學內容，有助于教師把握教學內容的發展脈絡，梳理出更加合理的教學主線。

（一）融合東西方數學文化的教學框架

不同的數學文化為當前的數學教學提供了不同的路徑。多元文化進課堂，能使學生在古今對照、中外對比中更深入地理解數學的本質，更多地了解世界文化，更好地感悟數學文化的獨特魅力。通過對《九章算術》及其劉徽注的研究，郭書春認為，劉徽的面積理論是一個以長方形的面積為出發點，以三角形的面積為核心，運用“出入相補”原理和無窮小分割方法的有機整體。“出入相補”原理與“等底等高”命題的結合，可以更好地凸顯三角形的面積在多邊形的面積學習中的核心地位，使多邊形的面積乃至后續圓的面積具有更強的整體性。

因此，可將“多邊形的面積”單元中教學內容的順序確定為“三角形→平行四邊形→梯形”，并且每一種已知圖形都將成為后續圖形的轉化對象，從而實現轉化路徑的多元化（如圖3）。因此，將本單元教學內容做如下調整：（1）將三角形的面積調整為第一課時，以便將平行四邊形和梯形轉化為三角形，然后進行面積公式的推導；（2）三角形、平行四邊形、梯形面積公式的推導都按照兩條路徑推進，在適當的條件下實現合流；（3）將組合圖形（多邊形）的面積與單元復習進行整合，在多邊形面積的研究過程中進一步梳理和運用圖形的轉化方法及面積公式，體現“出入相補”原理和“等底等高”命題更廣泛的運用價值；（4）考慮到不規則圖形的面積與單元核心內容之間的關系不大，故暫時未將其納入單元整體教學中。

（二）整合不同路徑的單元整體教學活動

從數學文化中挖掘教學主線，還需要以相應的教學活動作為載體。按照數學史、數學文化的視角，“多邊形的面積”的教學有兩條路徑。如何使兩條路徑既能同時發展，又能在適當的時候互相補充，充分發揮作用，這是需要精心設計的。需要注意的是，不論采用何種路徑，教學設計始終應凸顯“轉化”這一主題，并以不同文化視角下的路徑作為學生多角度理解轉化思想和方法的載體。

為此，傳統數學文化路徑可以《九章算術》方田章劉徽注（以盈補虛為直田也）為基礎，適當借助網格圖等輔助工具，引導學生自主嘗試將三角形、平行四邊形、梯形等轉化成長方形并進行面積公式推導，再以圭田術、邪田術、箕田術等具體術法印證學生的思路。西方數學文化路徑則可以《幾何原本》命題Ⅰ. 37、Ⅰ. 38（同底等高、等底等高的三角形面積相等）為主要線索，在三角形面積的教學過程中，引導學生結合具體問題理解“等底等高”命題，在平行四邊形、梯形面積的探究過程中運用命題探索新的轉化路徑（如圖4）。除了教授多邊形面積公式的推導，還應在問題解決過程中進一步加深學生對“等底等高”的理解，使學生認識到“等底”也可以理解為“上下底之和相等”，并溝通各個多邊形面積公式之間的關系。各課的具體內容見表1。

三、立足東西方數學文化融合的教學實施

不論是出于數學文化浸潤這一長期目標，還是出于教學效果提升這一短期目標，教學過程都應重視我國傳統數學文化與世界數學文化的價值，創造性地運用數學文化促進學生對數學內容的全方位、多角度、深層次理解。融合東西方數學文化的多邊形面積及轉化思想的學習，可以為實現不同層次的教育教學目標提供載體。

（一）兩條轉化路徑的推進與融合

在現有教材的基礎上，深挖數學史、數學文化中關于多邊形面積及轉化思想的相關內容，并以恰當的素材、適切的活動為載體開展教學，有以下兩個目的：一是幫助學生形成清晰的轉化路徑，更好地理解轉化思想，有效地掌握轉化方法；二是在對兩條轉化路徑形成深刻認識的基礎上，發現它們之間的互通點和融會點，實現文化互鑒，發展學生的創造性思維。

在“三角形的面積”的教學活動中，通過《九章算術》中的劉徽注“以盈補虛為直田也”引發學生思考：“直田”指長方形田，“以盈補虛”指移多補少，即通過移多補少的方法將三角形轉化成長方形。在這一總體思路的引導下，學生嘗試用不同的方法將等腰三角形轉化為長方形，通過比較與推理得出等腰三角形的面積計算公式，并將轉化方法推廣到一般三角形的面積計算中。在操作、比較、推理的過程中，學生能夠體會到“出入相補”原理的巧妙與魅力。在此基礎上，通過具體計算兩個等底等高的三角形的面積，學生感悟到兩者的相等關系，并能靈活運用等積變形解決問題，積累了將平行四邊形、梯形轉化為三角形的經驗（如圖5）。

在后續探究平行四邊形的面積、梯形的面積的過程中，學生從三角形的面積的探究路徑、方法、過程和思想中得到啟發，分別沿著“出入相補”和“等底等高”兩條路徑進行探索，成功推導出了它們的面積公式，實現了轉化方法的有效遷移（如圖6）。除了沿著預設的兩條主線進行轉化和推導，學生還能在此基礎上進行創新，如運用“出入相補”原理將梯形轉化為平行四邊形，又如結合“出入相補”的方法與等積變形的結果（大三角形）得出平行四邊形或梯形的新轉化方法（如圖7）。

（二）轉化思想和方法的自覺運用

在兩條文化路徑的指引下，學生經歷了從模仿到創造的過程。在這一過程中，學生是否已經將轉化思想、方法和路徑內化并能自覺運用？解決稍復雜的問題的過程就能夠反映學生的學習成果。因此，在探究“多邊形的面積”的過程中，可以箏形作為研究素材，考查學生綜合運用轉化方法的能力。

盡管教師給學生提供了最基本的“分割求和”法，但極少有學生采用這一方法，說明學生對轉化思想有了自己的理解，追求更高階的方法，這充分體現了數學學習對學生思維方式和思維水平的影響。在解決箏形面積問題的過程中，學生將箏形看作兩個三角形的組合，主要用到的方法有“一般割補法”“倍拼法”“出入相補”“等積變形”等，將單個三角形的轉化方法同時遷移運用到了兩個三角形中（如圖8）。從這些方法中可以看出，學生已經具備豐富的空間想象力、靈活的思維，以及較強的推理意識。

（三）圖形面積與轉化思想的深度理解

設計并實施東西方數學文化共同作用下的“多邊形的面積”單元整體教學，既致力于實現當下的目的，還有著眼于未來的考量。前者指向轉化思想的深度挖掘與多邊形面積的體系構建，后者指向轉化思想的多元理解及后續圓的面積的研究構想。為此，教師在“多邊形的面積”一課中引入了正六邊形的研究，以此作為方與圓之間的過渡銜接。

在學生嘗試用多種方法轉化正六邊形并近似地計算其面積之后，教師可組織學生重點探討將正六邊形分割成六個全等的正三角形并進一步轉化的問題。對此，學生提出了“分組對插”和“等積變形”兩種轉化思路（如圖9），這為后期在圓的面積公式推導過程中運用“印度西瓜法”和“開普勒法”提供了直接的經驗。在此基礎上，教師出示將各類正多邊形由中心點出發分割成若干個三角形的示意圖（如圖10），凸顯三角形在研究平面圖形面積過程中的重要價值，幫助學生對方（多邊形）與圓之間的關系形成整體認知，從而在極限思想和轉化思想的共同作用下體會方與圓之間的轉化。

可見，在以轉化思想為核心的單元整體教學中，恰當運用數學史料，不僅能幫助學生理解和掌握知識和技能，體會數學思想方法，還有助于培養學生的空間觀念、推理意識、應用意識和創新意識，從而促進學生核心素養的發展。同時，對包括轉化思想在內的數學思想方法及其他數學教學內容而言，教師只有深度挖掘、深入分析，才能幫助學生達到深刻理解，做到融會貫通、運用自如。基于數學思想方法的單元整體教學，不能憑空臆想、閉門造車，應從數學史、數學文化的寶庫中搜集資料和線索，根據學生的實際水平和發展需求，立足教材并超越教材進行活動設計與實施，才能使學生獲得更廣闊的發展空間。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 王永春.小學數學與數學思想方法[M].上海：華東師范大學出版社，2014.

[2] 吳增生.數學思想方法及其教學策略初探[J].數學教育學報，2014，23（3）：11-15.

[3] 歐幾里得.幾何原本[M].燕曉東，譯.南京：江蘇人民出版社，2011.

[4] 岳增成，陳梓欣，林永偉.中華優秀傳統數學文化進課堂：價值、標準與路徑：以“出入相補原理”為例[J].小學教學（數學版），2022（4）：4-7.

[5] 郭書春.古代世界數學泰斗劉徽[M].濟南：山東科學技術出版社，2013.

[6] 陳敏，許含英.三角形和梯形面積教學研究[M].北京：教育科學出版社，2014.

【本文系2020年度教育部人文社會科學研究青年基金項目“多路徑數學科普的構建及其對少數民族學生數學觀的影響研究（20YJC880117）”階段性成果。】

（責編 金 鈴）