HPM視角下單元起始課的教學思考與實踐

［摘 要］數學史中蘊含的數學發展脈絡，對于梳理教學順序和提煉教學主線具有重要的參考價值，是單元起始課設計與實施的重要依據。從HPM視角梳理教學內容的順序，以達到邏輯序、歷史序和認知序“三序合一”的目的；從HPM視角提煉教學主線，以形成圍繞特定主題的系列化、結構化數學知識體系和學習路徑；從HPM的角度設計與實施單元起始課的教學活動，為核心思想方法提供載體，體現核心思想方法的價值，為單元后續內容的學習提供思路和線索。

［關鍵詞］HPM；三角形的面積；單元起始課

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）26-0006-05

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）特別注重核心素養培養的整體性落實，提出“要通過單元整體教學設計體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯”。在單元整體教學的設計與實施過程中，單元起始課的作用非常重要，它是整個單元的知識技能、思想方法的起點，為后續內容的學習指明了方向。數學史作為蘊含數學發展脈絡的重要資源，對于梳理教學順序和提煉教學主線具有重要的參考價值，因此，它也是單元起始課設計與實施的重要依據。為此，筆者以數學史料為參照，將“三角形的面積”作為“多邊形的面積”單元起始課，以HPM（數學史與數學教育）視角進行教學順序分析、教學主線提煉及教學活動設計與實施。

一、分析教學順序，明確教學起點

數學教材是數學學習的重要資源與載體，但是往往受限于篇幅容量和表現形式，只能靜態呈現部分重要的結論，并且這些內容一般都側重于知識點的邏輯順序。然而，教材編排應平衡學生學習和學科體系之間的關系，既要關注學科內容的整體性，也要考慮學生學習的心理特征，不要簡單地按學科體系的結構化順序編排。數學學習應建立在充分經歷和體驗的基礎上，學習過程應盡可能同時兼顧數學知識內部的邏輯順序、數學知識產生和發展的歷史順序，以及學生認知過程中的心理順序。從HPM視角分析教學內容的順序，是達到“三序合一”目標的有效手段，并且有助于明確單元起始課的內容。

以“多邊形的面積”單元為例，國內大部分教材都是按照“平行四邊形→三角形→梯形”的順序編排，國外一些教材（如美國Sadlier-Oxford版、新加坡Marshall Cavendish版等）則采用“三角形→平行四邊形→梯形”的順序編排。可見，平行四邊形、三角形和梯形這三個內容之間并無絕對嚴格的先后順序。

從教學內容的邏輯順序來看，采用先平行四邊形后三角形的順序，是考慮到了平行四邊形與長方形在形狀上有較高的相似度，將平行四邊形轉化為長方形是有充分的邏輯依據且便于操作的。同時，以《幾何原本》中的命題Ⅰ. 34（平行四邊形的對邊相等、對角相等，對角線平分該平行四邊形）為依據，借助平行四邊形與三角形的關系，有助于通過平行四邊形的面積進一步研究三角形的面積。但是，《幾何原本》命題Ⅰ. 41（如果一個平行四邊形和一個三角形既同底又在兩條平行線之間，即兩者的高相等，則這個平行四邊形的面積是這個三角形的面積的兩倍）又表明，若已知三角形的面積，也可以得出與其等底等高的平行四邊形的面積。

從教學內容的歷史產生順序來看，我國傳統數學名著《九章算術》及其劉徽注中關于多邊形面積的編排順序依次為“方田（長方形）、圭田（等腰三角形）、邪田（直角梯形）、箕田（等腰梯形）”，其中并無平行四邊形。由長方形面積的計算方法得到三角形面積的計算方法，古已有之。

從學生的認知心理順序來看，雖然把平行四邊形的面積安排在長方形、正方形的面積之后，有利于學生根據兩者形狀的相似性進行轉化，但也正因為這個相似性，容易造成負遷移，使學生誤認為平行四邊形面積的計算方法是鄰邊相乘，而將三角形的面積安排在長方形的面積之后，就可以避免這個問題。

當數學知識在教材中以邏輯順序呈現，而邏輯順序不符合學生的心理認知順序，未能凸顯知識的必要性時，就需要從HPM的視角來設計教學。郭書春通過對《九章算術》的研究發現，三角形的面積公式在劉徽的面積理論中起著核心作用。他認為“劉徽的面積理論是一個以長方形面積為出發點，以三角形面積為核心，運用出入相補原理和無窮小分割方法的有機整體”。陳敏、許含英等認為，平行四邊形、梯形都可通過對角線分成兩個三角形，因此可以0d5443115e43aee3468d8aac32f6d23e2332c759d0d1b9adf4d4a203da1ea192用三角形的面積公式推出平行四邊形與梯形面積的計算方法。

因此，為了盡可能使數學知識內部的邏輯順序、數學知識產生的歷史順序、學生學習過程中的心理順序三者協調一致，并揭示知識的內在聯系，充分體現單元起始課作為教學起點的價值，將“三角形的面積”作為“多邊形的面積”單元的核心內容與起始課是一種可行且有益的嘗試。

二、提煉教學主線，鎖定核心內容

《課程標準》指出，為實現核心素養導向的教學目標，不僅要整體把握教學內容之間的關聯，還要把握教學內容主線與相應核心素養發展之間的關聯。因此，教學主線是溝通教學內容與核心素養之間的媒介。不同社會文化背景下的數學學科在其漫長的發展過程中，經過不斷地去粗取精，形成多個圍繞特定主題的系列化、結構化數學知識體系與核心線索，這一核心線索必定是貫穿于同一主題中的各個內容的。因此，在數學課堂中引入數學史，有利于在單元起始課中體現教學主線，為學生在后續學習的過程中不斷加深對教學主線的理解奠定基礎。

以“多邊形的面積”單元中的“三角形的面積”一課為例，在《九章算術》中，關于等腰三角形面積計算的方法“圭田術”稱“半廣以乘正從”，即“底的一半乘高”。劉徽在為其做注時稱：“半廣知，以盈補虛為直田也。半廣乘從，以取中平之數，故廣從相乘為積步。”意思是，之所以取底的一半，是為了通過“以盈補虛”把三角形轉化成長方形，并且底的一半其實就是上底與下底的平均數（這里可以理解為把三角形視作特殊的梯形，因此“中平之數”即上底與下底的平均數），也就是現在所說的中位線。因此，三角形的面積公式也就和長方形的面積公式“長×寬”保持一致了（如圖1-1）。此外，劉徽也提出了自己的計算方法——“半正從以乘廣”，即“高的一半乘底”，同樣也采用“以盈補虛”的策略，把三角形轉化成長方形，并借助長方形的面積計算方法來計算三角形的面積（如圖1-2）。此外，《九章算術》及其劉徽注的“邪田術”“箕田術”“圓田術”“環田術”都體現了對平面圖形面積計算整體性和一致性的極致追求。雖然《九章算術》中的“圭田術”和劉徽的“以盈補虛”策略是以等腰三角形為對象的，但實際上它們適用于計算任意三角形的面積。因此，通過“以盈補虛”的策略化歸為“廣從相乘”是三角形的面積及后續推導其他平面圖形的面積公式的重要途徑。

西方古典數學名著《幾何原本》注重對數學對象的理性思考，幾乎不涉及實際問題的解決，因此也沒有與圖形面積計算直接相關的內容，但其中有一些重要命題與圖形的面積有關。除上文提到的命題Ⅰ. 34和命題Ⅰ. 41涉及等底等高的平行四邊形與三角形之間的面積關系之外，命題Ⅰ. 35、命題Ⅰ. 36、命題Ⅰ. 37、命題Ⅰ. 38也都與圖形的面積有關。其中，命題Ⅰ. 35是“同底且在兩條平行線之間的平行四邊形的面積相等”，命題Ⅰ. 36是“等底且在兩條平行線之間的平行四邊形的面積相等”，這兩個命題都是關于平行四邊形面積的，一般可將這兩個命題統一為“等底等高的平行四邊形的面積相等”；命題Ⅰ. 37和命題Ⅰ. 38都是關于三角形面積的，兩者關系與命題Ⅰ. 35和命題Ⅰ. 36之間的關系類似，可以概括為“等底等高的三角形的面積相等”。在教材中，這些命題一般被用于解決具體的面積問題，然而，其教學價值遠非如此，如“等底等高的三角形的面積相等”還可用于平行四邊形、梯形的面積公式的推導。因此，在“三角形的面積”一課教學中，還應結合具體問題，使學生體會“等底等高的三角形的面積相等”這一特征，并能對其進行靈活應用，為后續運用這一命題進行多元化的圖形轉化和公式推導提供方法支持。

從HPM視角出發，結合東西方數學史料的分析可以發現，轉化思想是“三角形的面積”及“多邊形的面積”單元的教學主線。圍繞轉化思想這一教學主線可以得到“以盈補虛（出入相補）”和“等底等高的等積變形”兩條明確的路徑，這兩條路徑的有效推進與協同作用是教學多邊形面積的重要保障。可見，以歷史上的既成事實作為提煉教學主線的重要參照，對教學內容進行整體分析，可以使單元整體教學活動的邏輯更加清晰，同時也提升了單元起始課的教學定位。

三、實施教學活動，體現核心價值

轉化思想是一種重要的數學思想方法，運用轉化思想的目的在于將陌生的對象轉化為熟悉的對象，將未知的問題轉化為已知的問題，從而有效地解決問題。在“多邊形的面積”單元中，轉化思想主要表現為“以盈補虛（出入相補）”和“等底等高的等積變形”兩種形式。在教學單元起始課“三角形的面積”時，應緊緊圍繞轉化思想的兩種表現形式開展教學活動，以使其能在整個單元中起到提綱挈領的作用。

（一）初步探究，提供轉化思想的恰當載體

長方形的面積是學習平面圖形面積的基礎，長方形也是三角形轉化的對象。因此，有必要對長方形的面積公式進行適當復習，并以此引出《九章算術》中的“方田術”（長方形面積的計算方法），通過對古今方法的比較，使學生體會數學知識的歷史傳承。需要注意的是，即使學生有了長方形的面積公式這個基礎，教師要想讓學生自主推導出三角形的面積公式也是有一定難度的。因此，為了遵循從特殊到一般的認知規律，并與《九章算術》中的內容順序保持一致，同時也是從便于操作探究的角度考慮，筆者選擇了等腰三角形作為引導學生感受轉化思想的載體。

筆者在引導學生復習長方形面積公式的基礎上，請學生解讀《九章算術》中的“方田術”——“廣從步數相乘得積步”，將廣與長、從與寬聯系起來，以便更好地解讀“圭田術”。隨后，筆者出示等腰三角形（如圖2）及劉徽對“圭田術”的注解“以盈補虛為直田也”，請學生嘗試解讀這句話的意思。學生結合等腰三角形的圖示，認為這句話的意思是指通過“移多補少”的方法把三角形變成長方形。筆者對此予以肯定，并請學生按照這一思路，以小組合作的形式，通過畫圖將三角形進行轉化，并根據轉化前后圖形之間的關系，得出等腰三角形的面積公式。通過不同的轉化操作，學生得到了不同的轉化結果和面積公式（見表1）。在師生共同評價的過程中，筆者圍繞問題“為什么要除以2？”請各小組解釋自己的操作活動，讓學生將具體的操作與抽象的符號聯系起來，幫助學生進一步深入理解轉化過程和結果。

（二）遷移運用，理解轉化思想的重要價值

等腰三角形作為特殊的三角形，有助于學生迅速找到轉化思路。學生在領悟了“以盈補虛”策略后，還需要由點及面進一步驗證任意三角形都能通過“以盈補虛”策略轉化成長方形。如此，研究的思路也遵循了從特殊到一般的規律，并使結論更具嚴謹性和普遍性。

在運用“以盈補虛”策略推導出等腰三角形的面積計算方法后，筆者追問：“這樣得到的面積公式是否能運用于所有三角形？”學生指出“需要用一般的三角形去驗證計算方法的正確性”，并經過操作驗證發現任意三角形都能通過“以盈補虛”策略轉化成長方形，充分體現了轉化思想在數學中的重要意義和價值。這樣的活動設計與實施，既在單元起始課中根植了能統領整個單元的轉化方法，又讓學生感悟到從特殊到一般的研究策略，并且培養了他們科學嚴謹的學習和研究態度。

（三）古今對照，了解轉化思想的歷史傳承

教學過程中有意識地選用中華優秀傳統文化中的實際問題及其解決方法作為整個單元系列活動的起點，有助于學生了解數學知識技能、思想方法的發展過程和特點。在此基礎上，借助古今對照，可以引導學生與古代偉大數學家進行跨越時空的“對話”，從而體會思想方法的歷史傳承，提升學習興趣和信心。這充分體現了數學史“轉知為智”“以文化人”的教育功能。

在學生對三角形的幾種轉化思路有了深入的理解之后，筆者出示《九章算術》及其劉徽注中的兩種“圭田術”——“半廣以乘正從”和“半正從以乘廣”，請學生說說兩種方法分別對應表1中的哪種轉化思路，它們之間有什么異同。學生結合這兩種古代方法的語言描述及同伴操作時所作的圖示，確定了它們分別對應表1中的思路3和思路4，它們的不同點是分割的方式有所區別，但它們的目標都是通過“以盈補虛”策略將三角形轉化成長方形。這樣的辨析活動有兩方面作用：一是使學生了解關于三角形面積的知識及轉化思想在歷史上的表現形式，感受古人應用圖形特征的巧思妙想，同時也為后續形成多邊形轉化的主線提供了參照；二是幫助學生看到古代數學家的研究方法和自己或同伴的探究方法有著異曲同工之妙，知道了數學知識不是憑空產生的。至此，數學文化通過不同的形式得到了不斷延續和傳承，進一步增強了學生數學學習的參與感和獲得感。

（四）中外對比，感受轉化思想的多元形式

轉化思想在數學學習中具有重要作用，其內涵非常豐富，就圖形面積問題而言，至少包括“以盈補虛（出入相補）”和“等底等高的等積變形”兩種方式，后者是“多邊形的面積”單元的重要內容。因此，筆者以問題解決的形式，在圖形面積的比較中幫助學生認識這一轉化方式。

筆者提供一組平行線之間等底等高的兩個三角形①②（如圖3），請學生判斷兩個三角形的面積是否相等。學生給出兩種不同的判斷方法：一是通過具體計算得到兩個三角形的面積后進行比較；二是根據三角形的面積公式及其中的底和高兩個數據直接判斷。于是，筆者出示《幾何原本》中的命題Ⅰ. 38，并請學生判斷圖3的①②兩個三角形的面積之和與三角形③的面積的大小關系。此時，大部分學生根據“等底等高的三角形面積相等”這一命題對左圖進行轉化，發現左圖兩個三角形可以合并成一個大三角形，且面積與右圖三角形的面積相等。

在此基礎上，筆者通過變式練習（如圖4）幫助學生進一步理解“等底等高的等積變形”在解決問題中的重要作用。學生發現，根據“等底等高”命題，移動左圖上方鈍角三角形的頂點，可以將其變成與原來面積相等的直角三角形，因此圖4中左、右兩圖的面積也是相等的。通過上述問題，學生不僅深刻地理解了“等底等高的三角形面積相等”這一命題，而且體會到了轉化思想的不同表現形式，為后續平行四邊形、梯形和組合圖形的轉化提供了思路。

單元起始課的價值不僅是讓學生掌握知識，還應充分體現學習的必要性，以知識為載體，全面揭示數學知識背后的育人價值，提升課程與教學的立意與價值。HPM視角下的單元起始課以數學史料為素材，將其轉化為能夠直接促進學生數學學習的一系列活動，并按照一定的邏輯構建一個讓學生經歷問題解決全過程的學習結構，促使學生思維生長。同時，學生的思維、情感、態度與價值觀得以深度激活與釋放，學生真正經歷了有意義的學習過程。因此，在HPM視角下有目的、有計劃地設計單元起始課，發揮其在單元整體學習活動中的導航作用，有助于凸顯教學主線，完善學生的認知結構，使學生對單元學習建立總體認知。

［ 參 考 文 獻 ］

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[2] 馬云鵬.基于結構化主題的單元整體教學：以小學數學學科為例[J].教育研究，2023（2）：68-78.

[3] 陳飛.中國特色的HPM理論：將數學歷史融入數學教學：汪曉勤教授訪談錄[J].中學數學教學參考，2019（7）：7-12.

[4] 郭書春.古代世界數學泰斗劉徽[M].濟南：山東科學技術出版社，2013.

[5] 陳敏，許含英.三角形和梯形面積教學研究[M].北京：教育科學出版社，2014.

【本文系2020年度教育部人文社會科學研究青年基金項目“多路徑數學科普的構建及其對少數民族學生數學觀的影響研究（20YJC880117）”階段性成果。】

（責編 金 鈴）