融合東西方數學史料，促進多元化深度理解

［摘 要］在將我國傳統數學文化融入數學課堂教學的過程中，應當重視其與世界各國數學文化的協調與互融。融入東西方數學史料的課堂教學，應關注數學史料與教材內容之間的聯系，利用數學史料來確定教學目標和設計教學活動，從而構建有效的教學路徑。文章以“平行四邊形的面積”一課為例，在分析教學內容的基礎上，將東西方數學史料與單元整體教學結合，形成以“出入相補”原理和“等底等高”命題為核心的教學主線，并依據這一主線設計了相應的教學活動。這不僅促進了學生對教學內容的多元化深度理解，也體現了數學文化在教學中的價值。

［關鍵詞］HPM；東西方數學史料；平行四邊形的面積

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）26-0011-04

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在修訂原則中指出，應將中華優秀傳統文化有機融入課程內容，并在課程理念中明確提出要繼承和弘揚中華優秀傳統文化。在小學數學課堂教學中，除了融入并弘揚中華優秀傳統數學文化（以下簡稱“數學文化”），還要引入外國數學文化。因為通過古今對照、中外對比，學生才能更加深入地理解數學的本質，明確學習路徑，并對學習內容有多元理解。在HPM（數學史與數學教育）視角下，融入東西方數學史料的教學設計與實施，需要考慮幾個問題：如何妥善處理數學史料與教材內容的關系，使其更加符合教學需求？如何運用數學史料設計教學目標和活動，以增強其整體性？如何結合數學史料組織教學活動，以促進學生對教學內容的多元化深度理解？為此，本文以“平行四邊形的面積”一課為例，進行了深入的教學思考與實踐探討。

一、基于東西方數學史料的教學分析與設計

數學史料具有較強的系統性和整體性，能清晰地展現數學內容的發生與發展脈絡。為了確保基于數學史料的課堂教學設計與實施能夠達到預期效果，教師首先應當立足于教學實際需求，對教材內容與數學史料進行細致的比較與關聯。

（一）數學史視角下的教學內容分析

在現行的多個版本教材（例如人教版、蘇教版、北師大版等）中，“多邊形的面積”這一單元的內容通常是按照平行四邊形、三角形、梯形的順序進行編排的。在這樣的編排下，教師一般以“平行四邊形的面積”作為單元的起始課，先將平行四邊形置于網格圖中，引導學生利用網格圖數出單位面積的數量，從而計算平行四邊形的面積，再去除網格，用割補法將平行四邊形轉化為長方形，利用轉化前后圖形的對應關系來推導平行四邊形的面積公式；后續的三角形和梯形則采用“倍拼法”將其轉化為平行四邊形進行研究。這樣的編排方式簡單直觀，使教學操作方便，但容易導致學生僅關注局部，即只能看到兩種圖形之間的關系，如平行四邊形與長方形、平行四邊形與三角形、平行四邊形與梯形的關系，不能整體、多元地認識多邊形的面積。同時，教材中圖形之間的“一對一”和“局部性”轉化與推導，缺乏一條貫穿始終的主線，這使教師在提煉數學方法和滲透數學思想時存在較大的局限性。

《九章算術》《孫子算經》等古代數學名著對三角形和梯形的面積有所論述，卻并未記錄平行四邊形面積的計算方法。如，在傳統數學經典《九章算術》的“方田章”中，涉及平面圖形面積的內容包括方田（矩形）、圭田（等腰三角形）、邪田（直角梯形）、箕田（等腰梯形）、圓田、弧田和環田等。在傳統數學文化中，三角形和梯形是通過“出入相補”的原理轉化為長方形來進行面積計算的，這引發了筆者對平行四邊形面積及其在平面圖形面積序列中位置的思考：是否能夠通過“同化”過程，利用“出入相補”原理，將平行四邊形的面積納入現有的研究體系中（如圖1-1）？如要充分發揮“出入相補”原理的教學價值，應當將“三角形的面積”作為“多邊形的面積”單元的第一課時，而將“平行四邊形的面積”作為緊隨其后的內容。這樣的安排旨在將三角形“出入相補”的思路和方法遷移至平行四邊形的學習中。同時，在教學“三角形的面積”之后接著教學“平行四邊形的面積”，有助于充分利用歐幾里得《幾何原本》中“等底等高的三角形面積相等”這一命題的價值。依據這一命題，兩個等高的三角形可以合并成一個大三角形，因此，平行四邊形也可以先分割成兩個全等三角形，再轉化為一個大三角形（如圖1-2）。同樣的方法也可以應用到后續梯形面積的教學中。

通過基于數學史料的教學內容分析，能夠構建出一條明確的學習路徑，確保了教學的整體性與一致性，有利于學生深入理解并牢固掌握單元中的核心知識技能及思想方法。

（二）基于數學史的教學目標與活動設計

將“平行四邊形的面積”教學置于東西方數學文化的背景之下，并納入單元整體教學的框架中，有助于構建清晰的學習線索和脈絡，并能夠借助有效的知識遷移，幫助學生突破學習過程中的重點和難點，進而構建整體、一致的認知結構。在“三角形的面積”一課中，學生已經學會運用“出入相補”原理將三角形轉化為長方形，并推導出三角形的面積公式，也通過計算和分析，初步掌握“等底等高”的命題。以此為基礎，“平行四邊形的面積”一課的教學主要目標可設為：（1） 在學習三角形面積的基礎上，通過觀察、操作、比較和遷移等學習活動，掌握平行四邊形的面積公式；（2）經歷使用不同方法將平行四邊形轉化為其他圖形，并推導面積公式的過程，感受轉化思想，體會推導方法的多樣化；（3）積累數學活動經驗，發展空間觀念，感受東西方數學文化的價值和魅力。與目標相對應，“平行四邊形的面積”一課中主要教學活動可設為：（1）引導學生回憶三角形的轉化方法和其中蘊含的“出入相補”原理，以及三角形“等底等高面積相等”的特性，為研究平行四邊形的面積找到方向和思路；（2）小組合作探究，借助“出入相補”原理和“等底等高”命題轉化平行四邊形，根據轉化前后的圖形各部分的對應關系推導平行四邊形的面積公式；（3）進一步根據“等底等高”命題研究三角形的面積和平行四邊形的面積之間的關系；（4）對已知平面圖形之間的關系進行梳理，形成結構化認知。具體活動安排見表1。

二、融入東西方數學史料的教學活動實施

在融入數學史和單元整體教學的背景下，教師應充分認識各個課時在單元結構中的定位。

（一）回顧三角形面積的推導過程

基于HPM視角開展教學活動，目的就是借助數學史、數學文化的發展脈絡，促進單元內各課時教學內容和教學活動之間的聯動。首先在課前引導學生回憶曾用哪些方法研究三角形的面積，在學生回答的基礎上，教師通過微課介紹古人通過“以盈補虛”研究三角形面積的過程和結論，將數學家的研究與學生的發現聯系在一起。在交流討論中，學生感受到了傳統數學文化的魅力，為本節課研究平行四邊形的面積做好了思路和方法的鋪墊。

（二）探索平行四邊形的多種轉化方式

數學史與數學文化的重要價值在于其廣泛的適用性。在教學中，教師應當依據這一特性，鼓勵學生運用已有經驗去探索新的知識。

在回顧了三角形的轉化方式之后，教師出示學習要求，并指導學生通過小組合作來探究平行四邊形的轉化過程及面積公式的推導方法。合作探究結束后，教師首先邀請將平行四邊形轉化為長方形的小組進行匯報（如圖2）。由于“出入相補”原理直觀且形象，學生可以輕松地將其應用于實際，并對其有深刻的印象，深刻體會到了傳統數學文化的巧妙與實用性。

在探討了將平行四邊形轉化為長方形的方法之后，教師進一步展示了其他的轉化策略。其中，小組4提出了一種新穎的方法：將平行四邊形沿著對角線剪開，得到兩個完全相同的三角形（如圖3-1）。對于小組5的做法（如圖3-2），學生的看法各異，主要分為三種：（1）完全不贊同，新增的三角形是鈍角三角形，而沿對角線剪開得到的是銳角三角形，兩者完全不同；（2）部分贊同，雖然新增三角形的高與右側三角形相同，但底邊并不一致；（3）有條件地贊同，如果新增三角形的底邊與右側三角形相等，那么這兩個三角形就可以視為等底等高三角形。在交流互動中，學生逐漸發現，通過等底等高的轉化方法，將右側的銳角三角形轉化為鈍角三角形，原平行四邊形便轉化為一個大三角形，而這個大三角形的底是平行四邊形底邊的2倍，因此，根據三角形的面積公式，圖中三角形的面積可以表示為“平行四邊形底邊的2倍×平行四邊形的高÷2”，化簡后得“平行四邊形的底×高”，這也就是平行四邊形的面積。

利用“等底等高”將平行四邊形轉化為三角形是本節課的難點，為了提高學生的參與度，教師展示了學生的“半成品”（如圖3-2），這引發了學生的互動交流和補充，加深了他們對“等底等高”命題、三角形與平行四邊形之間關系的理解。雖然這種轉化方式看似“舍近求遠”，但它有助于學生體驗不同圖形的轉化路徑，培養他們的空間想象力和推理意識，具有特定的教學價值。

傳統數學文化中的“出入相補”原理和歐幾里得《幾何原本》中“等底等高”命題在平行四邊形轉化為長方形或三角形的過程中發揮了重要作用。本節課與上一節課“三角形的面積”相結合，初步構建了兩條齊頭并進的學習路徑。這兩條路徑將在后續學習梯形面積、組合圖形面積時繼續發揮重要作用。

（三）豐富“等底等高”命題的內涵

基于HPM視角設計課堂教學活動時，應當深入挖掘數學史料的多維度價值，并利用這些價值來串聯起不同學習對象之間的內在聯系。例如，“等底等高”命題不僅適用于三角形，也適用于平行四邊形。因此，可以將三角形中發現的“等底等高”規律遷移到平行四邊形中，并進一步運用這一規律來研究三角形與平行四邊形之間的面積關系，這對于學生全面理解這兩種圖形的聯系具有積極作用。

在練習鞏固環節，教師出示一組等底等高的三角形和一組等底等高的平行四邊形（如圖4），引導學生通過具體的計算或類比遷移，探索并發現等底等高的平行四邊形面積也是相等的。在此基礎上，教師以開放題的形式，激發學生思考：在什么條件下，三角形的面積和平行四邊形的面積相等？經過獨立思考和交流討論，學生發現：當兩者的高相等，且三角形的底是平行四邊形的底的2倍時，它們的面積相等；當兩者的底相等，且三角形的高是平行四邊形的高的2倍時，它們的面積相等。當然，這一規律還有更多變化形式，需要學生去探索和發現。在討論“等底等高”命題時，若能在平行線之間讓圖形“動”起來，使變化過程可視化，將有助于調動學生的多種感官，讓他們在觀察和想象中深刻感受面積相等的關鍵要素和本質規律。

（四）架構已知平面圖形面積的關系網

將教學內容置于數學史和單元教學的大背景下，應當明確當前內容在知識體系中所處的位置，并在此基礎上不斷構建和優化知識結構。

在整理提升環節，教師可引導學生觀察并比較各種轉化方法，以發現它們之間的共性與差異。學生注意到，盡管課堂上展現的所有轉化方式的最終結果都是“平行四邊形的面積等于底乘高”，但這些轉化過程本身各有特點，且其中的“乘2”和“除以2”所代表的含義也不相同。由此，以長方形為基礎，以三角形為核心，貫穿東西方數學史料的長方形、三角形、平行四邊形面積知識體系得以形成。這一體系不僅為學生后續學習其他多邊形的面積提供了理論支持和實踐方法，而且為學生理解其他平面圖形的面積公式推導的整體性和一致性奠定了堅實的基礎。

三、指向東西方數學文化融合的教學過程反思

將“平行四邊形的面積”教學置于東西方數學文化和單元整體教學的大背景下，將數學史料與教學內容有機結合，構建了系統化、一致性的知識結構。在HPM視角下，東西方數學文化共同作用下的數學課堂具有獨特優勢，這些優勢主要體現在以下三個方面。

（一）學習活動整體多元

站在數學史、數學文化的高度審視當前教學內容， 有助于摒棄片面的教學方法，將教學內容置于廣闊的歷史背景和立體的知識結構中進行深入分析，使得教學活動的設計與實施更加科學和合理，同時強化了教學的整體性和一致性。在“平行四邊形的面積”的教學中，相比于傳統教學的線性推進，HPM視角下的課堂教學不僅關注該內容在“多邊形的面積”單元中的位置，而且強調不同圖形之間的聯動，這有助于開辟多種學習路徑，實現多元學習的可能性。

（二）思想方法一脈相承

數學史和數學文化的重要性在于它們經歷了篩選，去除了非必要的細節，保留了最核心的數學思想方法，這是數學教學活動的寶貴資源。在HPM視角下，包括“平行四邊形的面積”在內的“多邊形的面積”教學，在東西方數學史料的影響下，生動地展示了轉化思想的內涵。通過教學活動的逐層推進，這一思想方法貫穿于每個內容的教學中，學生深刻理解和掌握后能夠將其應用于更多實際問題。

（三）文化價值充分體現

數學是一門經歷演進的學科，人類積極參與了數學的演進過程；歷史上的數學是通過不同文化的演進而發展起來的，不同文化都對數學的形成產生了影響；內部因素和外部力量共同推動了數學的進步。在“出入相補”原理和“等底等高”命題的共同作用下，“平行四邊形的面積”和“多邊形的面積”的教學正是融合了東西方數學史料，使學生不僅學到了知識技能，更重要的是，他們逐漸樹立了正確的數學學習觀念，并深刻體會到了數學文化的魅力和價值。

（責編 金 鈴）