HPM視角下單元整體復習教學思考與實踐

［摘 要］HPM視角下的單元整體教學和復習，有助于實現對教學內容的整體性認知。在“多邊形的面積”單元復習中，通過整理單元學習框架、解決實際問題、概括一航策略、聯系現實生活等活動，突出東西方數學文化中“出入相補”原理和“等底等高”命題相結合的轉化路徑，引導學生進行自主探究，達成對學習內容整體、一致的認識。

［關鍵詞］HPM視角；單元整體復習；多邊形面積

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）26-0020-04

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，教學實施過程中“不僅要整體把握教學內容之間的關聯，還要把握教學內容主線與相應核心素養發展之間的關聯”。單元整體教學無疑是實現此整體性目標的重要手段，特別是單元整體教學視角下的復習課，更是具有提升學生認知水平，發展學生核心素養的重要價值。要想使單元整體教學與單元整體復習更加科學、合理，HPM（數學史與數學教育）視角下的教學分析、設計和實施是一條重要路徑。如何借助HPM視角合理定位單元整體復習的目標？如何結合數學史、數學文化設計并開展單元整體復習？基于對這些問題的思考，筆者以“多邊形面積整理與復習”為例，開展了教學設計與實踐。

一、基于數學史料支持的單元整體復習定位

（一）“多邊形的面積”相關內容的史料支撐

為了展現數學的發展歷史，增加數學的人文“溫度”，各版本教材中大都以“你知道嗎？”等形式編排了片段式的數學史和數學文化內容。但這些數學史料沒能形成統一的整體，在教學中的運用大多處于附加式、復制式等較低的水平層次，發揮的作用較為有限。對此，教師應搜集更為豐富的數學史料，圍繞核心概念進行選擇和加工，利用其設計并實施具有整體性和一致性的教學活動。

關于“多邊形的面積”，在東西方數學文化中都能找到豐富的數學史料。我國傳統數學文化注重實用性，由土地面積引出的面積計算公式是重要的多邊形的面積研究對象。比如《九章算術》“方田”章就是圍繞各種不同形狀的土地面積展開研究并概括出了相應的計算公式，劉徽在為《九章算術》中的“圭田術（半廣以乘正從）”做注時，提出了“半廣者，以盈補虛為直田也”的觀點，此即“出入相補”原理的具體表現。劉徽借助“出入相補”原理，用圖形的分、合、移、補證明了不少數學恒等式，開創了中國古代數學中數形結合的獨特的研究方法。在西方，古希臘數學的代表作《幾何原本》被奉為經典，雖然它沒有記載與面積計算直接相關的內容，但其中的“等底等高”命題與面積密切相關，是解決諸多面積計算問題的重要依據：將平行四邊形和梯形都轉化為三角形后再進行面積公式推導。

在HPM視角下的單元整體教學中，筆者設計并實施了三角形、平行四邊形、梯形面積的整體性學習活動（如圖1），希望在這三種多邊形面積的學習過程中，學生能對東西方數學文化及多邊形面積的轉化方式有較為深刻的理解。有研究認為，平行四邊形、梯形都可通過對角線分成兩個三角形，因此可以用三角形面積計算公式來推導平行四邊形與梯形面積的計算法則，然后可將圓無限細分成近似三角形，再同樣以三角形面積之和來求圓的面積。這不僅印證了筆者已有的教學思路，還指出 了“多邊形的面積”教學活動要兼顧后續“圓的面積”的教學。

（二）“多邊形的面積”單元復習的目標定位

數學史、數學文化的價值在于它站在歷史的高度俯瞰數學內容的發展脈絡，能清晰地展現某一特定數學內容的過去、現在甚至未來。復習的意義在于溫故知新：一方面是整理舊知，形成并完善知識體系和結構，另一方面是運用完善的知識脈絡研究新的問題。因此，HPM視角能為復習活動的有效開展提供參照。

“多邊形的面積”這一單元主要包括平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積、組合圖形的面積、不規則圖形的面積等內容。從“多邊形的面積”單元的內部結構來看，其可以分為“基本圖形的面積”和“利用基本圖形的面積解決問題”兩部分。前者的目標是探索基本圖形的轉化方式，推導出基本圖形的面積公式，并對此形成一致性理解；后者的目標是根據已掌握的轉化方式和面積公式解決更多實際問題，發展應用意識和創新意識。從“多邊形的面積”單元在整個小學階段“平面圖形面積”主題中所處的位置來看，“多邊形的面積”這一單元起到了承前啟后的作用：學生需要以它為基礎（包括轉化思想和面積公式）結合極限思想繼續學習圓的面積。

為此，筆者嘗試將“多邊形的面積”單元復習與“組合圖形的面積”“不規則圖形的面積”兩塊內容進行整合，并將“整理與復習”作為第一個環節，以此充分發揮復習活動溫故知新的作用（如圖2）。從“多邊形的面積”單元內部結構來看，該單元復習是溫“三角形面積”“平行四邊形面積”“梯形面積”之故，知“組合圖形面積”“不規則圖形面積”之新；從整個“平面圖形面積”主題整體發展而言，該單元復習是溫“直邊圖形面積”之故，知“圓的面積”之新。

二、依據數學文化主線的單元整體復習實施

（一）總結回顧，整理學習內容

復習課的首要任務是梳理前期的學習內容。在數學史、數學文化支持下的單元整體教學將構建清晰的學習路徑，這能使學生的學習事半功倍，復習也會變得更加高效。在“多邊形的面積”單元中，學生雖然能夠在各類多邊形轉化和面積公式推導的過程中，結合東西方文化中相關的史料對多邊形的轉化路徑有清晰的認識，但是由于這些內容通常是分散的，因此很有必要通過整體呈現的方式再次喚醒學生的記憶。

課始，筆者請學生回顧本單元實際的學習路徑，將其與教材中的學習路徑進行比較，并說說學習過程和心得體會。有學生經過比較后指出，教材中的順序和方法雖然比較簡單和直接，但也相對單一；課堂上的學習過程更加豐富有趣，按照三角形、平行四邊形、梯形的順序來學習，整個單元都圍繞“出入相補”和“等底等高”兩種方法轉化圖形，不僅非常巧妙，而且有助于加深理解。也有學生提出，三角形可以轉化成長方形，平行四邊形可以轉化成長方形和三角形，梯形可以轉化成長方形、三角形和平行四邊形，轉化的方法越來越多。還有學生提出，按照《九章算術》的順序，先學習三角形，再學習梯形，最后學習平行四邊形，也是可以的。最后，學生還發現，雖然學習的過程是按照一定順序進行的，但在學完了幾種平面圖形的面積公式之后，它們之間是可以互相轉化的。在整體回顧的過程中，學生進一步明確了兩條轉化路徑，全面、立體地感受了已知多邊形之間的關系，并能用辯證、發展的眼光看待這些關系。

（二）問題解決，提升應用能力

基于數學史、數學文化視角的單元整理與復習，是希望教學的主線與脈絡能有更好的延續。這樣，在運用已有知識、技能、方法、策略解決新問題的過程中才能體現HPM視角下的單元整體教學的價值。通過對前期學習內容的整理，學生對多邊形的兩條轉化路徑有了更加清晰的把握，此時需要通過解決實際問題來給學生提供應用的機會，促使學生在問題解決的過程中提升分析和決策能力。

筆者出示“房屋側面圖”，請學生在轉化的基礎上計算其面積。學生根據圖形的特點，采用了常見的“分割求和”“出入相補”原理和“等底等高”命題支持下的轉化方法，對圖形進行了合理轉化，并計算出了它們的面積。筆者在此基礎上組織學生對不同的轉化方法進行分類整理，凸顯同類方法之間的共同特點（如圖3）。這一環節既考查了學生具體問題具體分析的能力，也充分體現了數學文化背景下的學習活動成果的應用價值。

（三）思維進階，達成深度理解

在以數學文化背景下的單元整體教學中，復習課的目標就不能停留在簡單應用的層面，而應借此進一步發展學生的思維水平，使學生概括出圖形面積計算的一般策略。為此，在簡單的組合圖形面積計算的基礎上，還應借助特定的素材，讓學生體驗轉化思想、轉化方法的靈活運用。在組合圖形中，因為可以從上下、左右兩個不同角度將“箏形”分割成不同的三角形，所以“箏形”是考查學生綜合能力的有效載體。

筆者出示“箏形”及相關的數據，請學生把它轉化成已知圖形并進行面積計算。學生探究得出了多種有效方法，包含了“一般割補法”“出入相補法”“等積變形法”等（如圖4）。在教師的引導下，學生還發現，不管何種轉化方式，最終都是將“箏形”轉化為長方形或三角形兩種基本圖形，這也是解決此類問題最為便捷和有效的方法。在比較、概括轉化結果及計算的過程中，學生還得出了計算“箏形”面積的通用計算方法（對角線的乘積除以2），以及這種通用計算方法與各轉化方法之間的對應關系。于是，通過“箏形”問題，學生對轉化思想及其具體策略的理解達到了兼XXV1JG4bhsVPRs19ych0SA==顧過程與結果的水平，這將對后續研究其他平面圖形面積起到極大的推動作用。

（四）拓寬視野，延續探究思路

數學學習，既要注重知識內部的發展，也要關注數學與現實世界的聯系。若能通過特定的情境與素材將這兩者有機結合起來，不但能解決實際問題，還能引出后續的學習內容。比如浙江省地圖作為一個不規則圖形，與六邊形比較接近，是一個非常有價值的素材，通過對其進行研究，可以優化圖形轉化的方案，凸顯平面圖形之間的內在聯系。

筆者出示浙江省地圖，請學生說說可以采用什么策略來計算浙江省的面積。學生提出把浙江省地圖近似地看作六邊形，但需要知道相關的數據。筆者在浙江省南北、東西的最大距離（均為450 km）的基礎上，給出將地圖調整為近似六邊形后的數據（設定南北、東西的距離均為380 km），請學生估算它的面積。學生運用計算“房屋側面圖”“箏形”等圖形面積中獲得的策略、方法和經驗，通過“分割求和”“出入相補”“等底等高等積變形”等途徑（如圖5），計算出了近似面積（108300 km2）。此時，筆者出示浙江省實際面積（105500 km2）與學生計算的結果進行比較，以增強學生的自信心。

活動最后，筆者將“箏形”與正六邊形聯系在一起，得到了正十二邊形（如圖6），學生由此聯想到了圓這一曲邊圖形，體會到了多邊形與圓之間的關系，心中埋下了探究的種子。

三、立足文化育人目標的單元整體復習反思

基于HPM視角的單元整體復習，對數學史與數學文化的應用、單元整體目標的達成及學生主體地位的體現，都起到了積極的作用。

（一）促進學生思維的深度發展

數學史、數學文化融入數學課堂教學活動，不是將數學史料作為課堂教學中錦上添花的點綴，而是希望它能成為學生真正的內在需求，成為學生深度學習的有效載體和手段。在融入數學文化的單元整體教學的基礎上，在“多邊形的面積”單元復習課中，東西方數學文化下的轉化思想成為學生有力的思想武器。在自覺運用兩條轉化路徑解決問題和實踐創新的過程中，學生的思維得到了進一步的發展，這正是HPM視角下的課堂教學追求的目標。

（二）達成學習內容的整體理解

在教學設計和實施過程中，不論是融入數學史，還是開展單元整體教學，都是為了更好地借助兩者的優勢實現學生對學習內容的整體理解，為學生呈現平面圖形面積學習和研究的全景。在“多邊形的面積”單元復習過程中，學生通過整理單元學習框架、運用多種方法解決問題、研究解決實際問題等活動，對整個單元的學習內容有了全面的認識；通過自主探索和遷移運用，不僅掌握了知識技能，也使轉化思想在心中扎根。

（三）實現教學主體的有效轉變

在HPM視角下的單元復習課將教學活動從“教”的立場轉變為“學”的立場，學生主動參與活動，實現了知識、技能、能力、素養等方面的提升。數學史、數學文化的融入，打破了學生對數學的固有感受和刻板印象，讓冰冷的數學變得有溫度，學生就能夠像數學家一樣經歷數學知識的整個學習和探究過程，學習自然就成為學生的自主行為。

【本文系2020年度教育部人文社會科學研究青年基金項目“多路徑數學科普的構建及其對少數民族學生數學觀的影響研究（20YJC880117）”階段性成果。】

（責編 金 鈴）