以幾何直觀促進學(xué)生深度思考的教學(xué)探析

［摘 要］幾何直觀是《課程標(biāo)準(zhǔn)》的核心概念之一，它關(guān)于“數(shù)學(xué)思考”的學(xué)段目標(biāo)是從“想象關(guān)系”到“感受作用”，再到“建立直觀”。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要讓學(xué)生經(jīng)歷“以形明理，讓描述與圖形同進；以形促思，讓思維與圖形共行；以形析數(shù)，讓表達與圖形互進”的過程，以幾何直觀優(yōu)化學(xué)生的思辨過程，讓深度思考成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種常態(tài)。

［關(guān)鍵詞］幾何直觀；深度思考；圖形

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）26-0030-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2022年版）》（全文簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出：“幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣。能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進行分類；根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型；利用圖表分析實際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路。幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。”《課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于幾何直觀的能力要求在三個學(xué)段中的設(shè)置見表1。

從表1可以看出，隨著學(xué)段的增長，《課程標(biāo)準(zhǔn)》對學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)要求呈階梯式提升。特別是在“數(shù)學(xué)思考”領(lǐng)域，其描述尤為明確，從最初的“想象關(guān)系”，逐步過渡到“感受作用”，最終達到“建立直觀”，層層遞進的目標(biāo)為教師的教學(xué)提供了明確的方向。基于這一分析，筆者參照各階段的能力目標(biāo)，嘗試探索利用幾何直觀來促進學(xué)生思考能力發(fā)展的有效途徑。

一、以形明理，讓描述與圖形同進

（一）善用模型，化抽象為形象

小學(xué)生的思維正處于從具體運算向形式運算過渡的發(fā)展階段，他們需要借助直觀表象來理解復(fù)雜概念。在解決較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖來簡化問題，并給予學(xué)生充足的時間，讓他們根據(jù)圖提取關(guān)鍵信息，進而找出解決問題的方法。下面以四年級下冊“小數(shù)點的移動引起小數(shù)大小變化”一課為例，論述如何引導(dǎo)學(xué)生在讀圖、畫圖的過程中感知并分析圖形結(jié)合規(guī)律。

師：如果把圖1第一個圖形中的一個小正方體看作“1”，那么后面三個圖形中的涂色小正方體的數(shù)量分別用數(shù)字幾表示？從左往右，這四個數(shù)的大小具體發(fā)生了怎樣的變化？（出示答案，如圖2所示）

師：如果把圖1的第一個大正方體看作“1”，那么后面三個圖形中涂色小正方體的數(shù)量分別用數(shù)字幾表示？從左往右，這四個數(shù)的大小又是怎樣變化的？

師：0.001→0.01→0.1→1.0，0.001依次擴大了10倍、100倍、1000倍。如果不看圖，可以根據(jù)什么判斷小數(shù)擴大的倍數(shù)？請大家參照整數(shù)的大小變化規(guī)律畫一畫、寫一寫。（出示答案，如圖3所示）

在上述教學(xué)過程中，教師首先引導(dǎo)學(xué)生回顧整數(shù)的大小變化規(guī)律，借助線的方向、長短等直觀因素，強調(diào)“0的數(shù)量”在整數(shù)大小變化規(guī)律中的作用。有了這樣的直觀引導(dǎo)，學(xué)生在面對“小數(shù)的大小變化規(guī)律”時，就能夠自主地將關(guān)注點集中在“小數(shù)點的位置”上。培養(yǎng)學(xué)生用圖形表達思維的習(xí)慣，有助于促進學(xué)生直觀能力的自然提升，讓他們在直觀與抽象的多次轉(zhuǎn)換中逐漸豐富經(jīng)驗，從而提高數(shù)學(xué)歸納能力。

（二）趨向無窮，化模糊為清晰

莊子認(rèn)為：“有道無術(shù)，術(shù)尚可求；有術(shù)無道，則止于術(shù)。”在這里，算理是“道”，算法是“術(shù)”，只有以道馭術(shù)，才能筑牢計算這座大廈的根基。鑒于算理的抽象性，教師可以采用生動的幾何直觀手段，化抽象為形象，讓學(xué)生在理解“是什么”的基礎(chǔ)上，進一步明白“為什么”，從而活化運算思維。

以五年級上冊“小數(shù)除法”例2的教學(xué)為例，該例題打破了學(xué)生在整數(shù)除法中形成的思維定式：出現(xiàn)余數(shù)后可以在后面添0繼續(xù)除。如何讓學(xué)生理解“添0繼續(xù)除”的道理？筆者充分利用平面圖形可以無限分割的特性，引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖逐步深化對算理的理解：每添一次0，就意味著再一次均分余下的計數(shù)單位，這一過程可以無限進行下去（如圖4）。

直觀圖形的無限延展性成為學(xué)生理解算理的有力工具。經(jīng)歷了這樣的思辨過程，學(xué)生就能夠深刻體會幾何直觀的價值。如此，第二學(xué)段的階段目標(biāo)也就達成了。

二、以形促思，讓思維與圖形共行

（一）以形觀數(shù)，化局部為整體

借助幾何直觀進行數(shù)學(xué)思考，離不開點、線、面、體這些基本圖形元素的直觀支撐。小學(xué)階段的基本圖形之間存在著緊密的聯(lián)系。教師可以運用幾何直觀的方法將它們?nèi)诤蠟橐粋€整體，充分利用它們之間的聯(lián)系，實現(xiàn)抽象問題直觀化、復(fù)雜問題明朗化的目標(biāo)。

例如，五年級上冊“多邊形的面積”單元中，教材按照“長方形→平行四邊形→三角形、梯形”的順序進行編排。這一編排順序雖然符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，但在拓展解題思路、發(fā)展求異思維方面有所欠缺。對此，筆者從平面圖形內(nèi)在的特性入手，對單元教材進行結(jié)構(gòu)化處理，讓學(xué)生的思維經(jīng)歷從局部到整體再到局部的過程。

【第1課時】整體掌握多邊形面積的計算方法

學(xué)生回顧長方形、正方形面積公式的推導(dǎo)過程，產(chǎn)生“多邊形的面積=一條邊的長度×另一條邊的長度”的猜想后，研究多邊形的面積。學(xué)生用數(shù)格子的方法分別數(shù)出3個梯形的面積，并用分割、平移或旋轉(zhuǎn)的方法把梯形轉(zhuǎn)化成長方形（如圖5）。

教師引導(dǎo)學(xué)生先溝通轉(zhuǎn)化前和轉(zhuǎn)化后圖形之間的關(guān)系，利用長方形的面積公式推導(dǎo)出梯形的面積公式（如圖6）；然后觀察圖形的變化（如圖7），得出三角形是上底為0的特殊梯形（學(xué)生自主推理出三角形的面積公式：三角形的面積=（上底+下底）÷2 ×高 = 底÷2 ×高）；最后通過畫圖來說明是否能利用長方形的面積公式來計算平行四邊形的面積。

【第2課時】重新認(rèn)識平行四邊形與三角形的面積計算（溝通兩者之間的關(guān)系）

【第3課時】重新認(rèn)識梯形的面積計算（溝通梯形與其他圖形之間的關(guān)系）

【第4課時】組合圖形的面積

（二）借式思圖，化內(nèi)隱為外顯

圖形在分析中扮演著聯(lián)絡(luò)、理解、提供方法的角色，通過多種途徑促進學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。因此，教師應(yīng)有意識地培養(yǎng)學(xué)生的畫圖意識，將分析信息與畫圖自主對接，細化畫圖步驟的指導(dǎo)，注重語言與圖形的互譯，以提高學(xué)生的畫圖、讀圖能力。

以“多邊形的面積”單元重構(gòu)后的第2、3課時為例。為了讓學(xué)生厘清圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，可改變公式中條件的運算順序，要求學(xué)生畫出與之對應(yīng)的轉(zhuǎn)化后的圖形，從而有效培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)語言與直觀圖形的轉(zhuǎn)換能力。

【第2課時】重新認(rèn)識平行四邊形與三角形的面積計算（如圖8）

【第3課時】重新認(rèn)識梯形的面積計算（如圖9）

最后，在第4課時“組合圖形的面積”的教學(xué)中，除了常規(guī)的看圖寫式訓(xùn)練，還可增加“看式畫圖”的訓(xùn)練（如圖10），通過培養(yǎng)學(xué)生的畫圖分析、數(shù)學(xué)表達和解決問題的能力，加深學(xué)生對“多邊形面積”的整體感知，以提高學(xué)生的幾何直觀能力。

（1）3×3÷2 （2）4×3÷2 （3）（3+4）×4÷2

畫圖是解決問題的一種直觀策略。圖形與條件的契合度、圖形的簡潔性等因素均能反映學(xué)生的思維水平。教師要適時強調(diào)畫圖方法的多樣性，引導(dǎo)學(xué)生進行對比、優(yōu)化，強化畫圖的技能，讓學(xué)生體會通過畫圖成功解決問題的樂趣，從而感受幾何直觀在解決問題中的價值與意義。

三、以形析數(shù)，讓表達與圖形互進

（一）適度加工，化晦澀為直白

到了中、高年級，教材插圖的數(shù)量與直觀性有所減少與弱化。為了幫助學(xué)生深入理解知識的本質(zhì)，教師可以對教材內(nèi)容進行適當(dāng)加工或改編，增加幾何直觀的應(yīng)用篇幅，使學(xué)生能夠直觀地把握抽象的數(shù)學(xué)概念。

以五年級下冊“3的倍數(shù)的特征”教學(xué)為例。受2和5的倍數(shù)的特征的影響，學(xué)生往往只關(guān)注個位數(shù)與3的關(guān)系，且由于缺乏必要的幾何直觀支持，學(xué)生很難意識到需要將關(guān)注點從個位轉(zhuǎn)移到各個數(shù)位的整體分布上。針對這一問題，筆者按照以下步驟引導(dǎo)學(xué)生進行直觀感知。

第一步，讓學(xué)生在百數(shù)表中圈出3的倍數(shù)，并自主歸納其特征。

結(jié)論1：僅憑個位上的數(shù)字無法判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)，還需要關(guān)注其他數(shù)位上的數(shù)字。

第二步，圈出36，69，93三個數(shù)，提出問題：為什么這三個數(shù)都是3的倍數(shù)？如果給36增加百位，變成□36，□中填哪些數(shù)時，這個三位數(shù)也是3的倍數(shù)？……

結(jié)論2：如果一個數(shù)的每個數(shù)位上的數(shù)字都是3的倍數(shù)，那么這個數(shù)就是3的倍數(shù)。

第三步，圈出81，提出問題：81的十位和個位上的數(shù)字都不是3的倍數(shù)，為什么它仍然是3的倍數(shù)？（出示如圖11所示的小棒圖，師生一起完成分的過程）

結(jié)論3：將每個數(shù)位上的數(shù)字依次除以3，如果每一位上的余數(shù)之和是3的倍數(shù)，那么這個數(shù)就是3的倍數(shù)。

第四步，根據(jù)“70÷3”優(yōu)化分小棒的思路（如圖12）。

（1）每少分一次，余數(shù)就增加3根，相當(dāng)于最后多分一次，不影響結(jié)果。

（2）十位是a，可以看成余a根，同理，百位是a也可以看成余a根。

結(jié)論4：一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。

（二）變靜為動，化淺表為深入

在“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域，將收集到的數(shù)據(jù)用直觀的統(tǒng)計圖表示，并根據(jù)統(tǒng)計圖的走勢進行數(shù)據(jù)預(yù)測是一項重要的學(xué)習(xí)任務(wù)。而對圖中數(shù)據(jù)進行準(zhǔn)確分析，離不開幾何直觀的支持。 如何理解“平均數(shù)”的虛擬性，是四年級下冊“認(rèn)識平均數(shù)”一課的教學(xué)難點。筆者將本課的重點放在“平均數(shù)”意義的構(gòu)建上。經(jīng)過思考和討論男生隊2號隊員小剛的得分情況（圖略），筆者提出了動態(tài)的“移多補少”方法。在此基礎(chǔ)上，筆者引入“平均數(shù)”的概念，并在研究女生隊2號隊員小慧的得分情況（圖略）時，讓學(xué)生直接標(biāo)出平均得分的具體位置。通過觀察圓片的移動，學(xué)生完成了對具體問題中平均數(shù)概念的理解，為準(zhǔn)確把握“平均數(shù)”的本質(zhì)奠定了堅實的基礎(chǔ)。

綜上，幾何直觀能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的各個方面。教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的身心特點選擇合適的教學(xué)素材，以培養(yǎng)學(xué)生的畫圖意識和能力，促使學(xué)生感受符號與幾何直觀的價值，讓學(xué)生在借助圖形思考問題的過程中實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

［ 參 考 文 獻 ］

［1］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社.2022.

［2］ 顧曉東.小學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)策略[J].教學(xué)與管理，2017（29）：40-42.

（責(zé)編 吳美玲）