經歷探究過程　培養推理意識

［摘 要］“找規律”是小學階段的一種典型的數學探究活動，對于激發學生的數學推理意識具有重要意義。文章以蘇教版教材六年級下冊“面積的變化”一課為例，通過關注起點、探究規律、完善規律、回顧反思等策略，引導學生構建數學模型，促使學生從知識掌握向思維深度發展，逐步形成初步的推理意識。

［關鍵詞］圖形變化；猜想；活動經驗；推理意識

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）26-0051-04

蘇教版教材六年級下冊的“面積的變化”這一“探索規律”的專題內容，是在學生認識了圖形的放大和縮小，理解了比例的意義和基本性質并能運用相關知識解決一些實際問題之后編排的，旨在讓學生尋找平面圖形按比例放大后面積變化的規律，同時通過體驗探究方法，強化問題意識，深化思維層次，遷移活動經驗，從而逐步提升推理能力和數學素養。

學生在學習了圖形的放大、縮小后，是否理解其面積是如何變化的？面積變化的倍數與對應邊長變化的倍數之間究竟存在何種關聯？學生對此了解到何種程度？針對這些問題，筆者采用問卷的形式對所在學校六（8）班的51名學生進行了學情調研。

一、學情診斷

（一）前測內容

測試1：量一量、填一填。圖1中的小長方形長（ ）厘米，寬（ ）厘米，大長方形長（ ）厘米，寬（ ）厘米，大長方形是把小長方形按（ ∶ ）放大得到的，放大后與放大前圖形的面積之比是（ ∶ ）。

測試2：把圖2中的平行四邊形按3∶1放大，畫出放大后的圖形。如果每一小格的邊長都是1厘米，那么放大后與放大前圖形的面積比是（ ∶ ）。用你喜歡的方式證明你的結論。

測試3：上面兩題有什么共同之處？你還能想到什么？

（二）前測分析

測試1要求學生通過測量來感知圖形放大的意義，理解放大前后長方形面積比與對應邊長比的不同。測試2則要求學生根據比例繪制放大后的圖形，并用自己的方法證明結論。這不僅鍛煉了學生的推理能力，也教會了他們在面對新問題時應采用的探究方法。測試3進一步要求學生在前兩題的基礎上進行自主探究，發現圖形面積放大與縮小的規律，甚至從二維圖形的特征聯想到三維圖形體積比的變化，這對學生的理解能力提出了更高的要求。

通過表1可知，學生對圖形放大和縮小的概念有較為清晰的認識，但在圖形變化規律及其背后反映的本質內容上的認識不足。教學不應停留在學生對概念文字層面的理解，而要引導學生探索圖形放大或縮小后求面積的簡便方法。只有注重思維能力的培養，才能為學生學習比例尺打下堅實的基礎。

二、課堂實踐

如何從問題出發，激發學生對數學的好奇心與求知欲？如何引領學生自主探究平面圖形按比例放大前后的面積變化規律？如何通過觀察操作、合作探究、分析比較、驗證推理等手段，提升學生的數學素養？下面，筆者將結合四個具體的教學片段進行詳細分析。

【片段一】關注起點，凸顯問題意識

師：通過前測，你能提出什么數學問題？

生1：圖形的面積變了，形狀會變嗎？

生2：面積是怎樣變化的？面積變化的規律是什么？

生3：面積的變化和什么有關？與前面學習的圖形的放大和縮小有什么聯系？

師：這些都是值得探究的Vrhbt4iqqXFpl2z/Ohn9pwEueYG++iXtDI5rK6LH8Rk=好問題。面對新問題，我們通常可以圍繞“是什么”“為什么”“怎么樣”三個關鍵詞來探究。

師：如果將一個平面圖形按比例放大，面積將會有怎樣的變化，你打算怎樣探究？

生4：可以畫一個長方形，再將它放大，分別算出各自的面積，然后得到它們之間的關系。

【思考】“面積的變化”這一主題聚焦于學生對基礎圖形的理解，通過圖形的放大或縮小，引導學生準確把握影響圖形變化的關鍵因素，從而培養學生的空間觀念。探索規律的過程，必須嚴格遵循“提出問題—驗證猜想—得出結論”的科學步驟。因此，教師以“通過前測，你能提出什么數學問題？”為切入點，這符合知識本身的邏輯順序，聚焦本課中有關面積怎樣變化的核心問題，順應學生的學習心理，有助于培養學生發現問題、提出問題的意識，激發他們的探究欲望，并促使學生形成積極主動的探究精神。

【片段二】探究規律，彰顯思維深度

師：將長方形按n∶1放大，放大后與放大前的面積之比是n2∶1，是不是就可以確認已經解決了面積變化的問題？

生1：只有一個平面圖形不足以說明問題，還得研究其他平面圖形。

師（出示圖3）：圖中有3組圖形，上面是原來的圖形，下面是對應的放大后的圖形，它們是按照幾比幾放大的？圖形放大后，與放大前相比的變化規律是什么？（學生回答略）

師：猜想是否正確需要驗證。請同學們拿出研究單（二）（如圖4），同桌兩人合作，共同驗證剛剛得到的結論在其他平面圖形中是否同樣存在。

[研究單（二）

一、研究目的

驗證：把其他平面圖形按n∶1放大，放大后與放大前圖形的面積比是n2∶1。

二、研究材料

把正方形、三角形和圓按比例放大，放大前后的圖形如下：

三、數據收集

生2：我們組通過觀察、計算后發現“如果每個圖形對應邊的長度比是n∶1， 那么放大后與放大前的面積之比是n2∶1”，所以我們的猜想是成立的。

師：是不是所有圖形都符合這樣的規律？如果是平行四邊形或者梯形呢？請自主確定比例，先猜想再驗證，最后得出結論。（學生回答略）

師：到現在為止，我們是否可以說將任意一個平面圖形按n∶1放大，放大后與放大前的面積之比就是n2∶1？

生3：如果是組合圖形，會不會也有這樣的規律？

師：不規則圖形很多都是由簡單、規則的基本圖形通過疊加變成的，課后有興趣的同學可以試著畫圖進行驗證。

【思考】在這一環節，學生探索圖形面積的變化，運用計算、猜想、驗證、交流，展現了探究方法與思維全面性的統一。當學生已經理解了長方形按照一定比例放大后面積的變化規律后，教師提出“是不是就可以確認已經解決了面積變化的問題”，幫助學生從長方形這一簡單圖形入手，通過合作研究其他平面圖形，進而得出面積放大的規律。從特例到一般再到開放性探究，三次猜想逐層推進，學生完全參與整個探究過程，提升了合作意識，有效地促進了思維的全面性和深度發展。

【片段三】完善規律，發展推理意識

師：把一個平面圖形按n∶1的比放大，放大后與放大前的面積之比是n2∶1。對此，大家還有哪些疑問？

生1：為什么會有這樣的變化？

生2：如果將一個平面圖形按比例縮小，面積又會有怎樣的變化？

師：你能用推理的方式證明這個規律是正確的嗎？

生3：長方形長a、寬b，按n∶1放大后，新的長是an，新的寬是bn，原來的面積是ab，新的面積是an·bn，即（ab·n2）∶（ab）= n2∶1。

師：如果將一個圖形按1∶n縮小，猜想一下，縮小后和縮小前的面積之比是多少？

生4：如果一個圖形按照1∶n縮小，每條邊的長度是原來的n分之一，那么縮小后和縮小前的面積比就是1∶n2。

【思考】學生的思維具有不斷生長的特性，因此教師可以依據思維的生長點進行縱向拓展。當學生掌握了一個平面圖形按照n∶1放大后面積變化的規律，教師提出“大家還有哪些疑問”，這向學生傳遞了一個信息：除了畫圖、測量、計算、比較等手段，還可以通過推理來驗證圖形放大的規律。學生在觀察和比較中自主進行逆向探究，即探討平面圖形按一定比例縮小后的面積變化規律時，他們已經在腦海中構建了面積比與長度比相關聯的新數學模型，從而完善了對平面圖形面積變化規律的理解。

【片段四】回顧反思，遷移活動經驗

師：通過學習，你有什么收獲或者想法？

生1：從最簡單的長方形開始研究，然后通過猜想、驗證找到規律。

生2：對于三角形、正方形、圓、平行四邊形、梯形等其他平面圖形，通過猜想、驗證也能找到總結性的規律。

生3：不管是按比例放大還是按比例縮小，如果影響變化的兩個因素是同步的，即使大小變了，圖形的形狀也沒有改變。

生4：因為平面圖形長度之比是n∶1時，面積之比為n2∶1，我聯想到立體圖形每條棱長按n∶1的比放大，放大后與放大前的體積之比是n3 ∶1。

【思考】回顧與反思不僅是學生在參與完整探究活動過程中不可或缺的一環，而且是教師引導學生理解知識、掌握探究方Hlek3cKEN7EjXWXEkCYpcg==法、體驗感悟規律、積累數學活動經驗的有效途徑。學生在面對面積變化規律的初步感知、猜想驗證，直至最終獲得結論的過程中，已經將學習知識的方法貫穿于整個探究規律的過程。他們不僅從二維空間的面積變化角度觀察事物，而且將視角擴展到三維空間的體積變化。

三、課后反饋

為及時掌握學生的課堂學習效果，同時也為再次的教學提供可以實施教學干預的可能，筆者在課后立即進行了教學后測。

（一）后測內容（同前測內容）

（略）

（二）后測分析

通過表2可知，在測試1中，學生需要根據長方形長度比的變化來求得面積比，正確人數為46人，占比達到90.2%。這表明絕大多數學生已經能夠通過測量的方式理解圖形放大的概念，并掌握了平面圖形按n∶1放大后的面積變化規律。在測試2中，學生需要根據給出的平行四邊形畫出放大后的圖形，有41人畫圖正確，占比達到80.4%。有84.3%的學生能夠通過類比推理找到平面圖形按一定比例放大后的規律，并能夠根據個人喜好用計算或演繹推理驗證自己的猜想，這一數據在前測中僅為56.9%，表明學生的推理能力有了顯著提升。在測試3中，有39人能夠用自己的語言或演繹推理表達平面圖形放大后面積的變化規律，正確率從前測的51.0%上升到76.5%。另外，有16人聯想到圖形縮小的變化規律，2人聯想到體積比，正確率從前測的2.0%上升到35.3%。這說明學生在課堂上真正參與了探究過程，能夠從前兩題中找到共同點，不斷增強問題意識。他們不僅從平面圖形面積的放大聯想到面積的縮小，甚至將思維擴展到圖形體積的變化，逐步將探索過程中積累的經驗通過內化表達出來，思維的廣度和深度得到了顯著提升。

有了前測對學生知識基礎和認知結構的準確把握，教師在教學時應重點引導學生經歷探索規律的過程。在引導學生發現和提出新的數學問題時，不僅要彰顯思維的深度，還要幫助學生提升推理能力，并積累豐富的數學活動經驗。教師基于思維的教，學生基于思維的學，最終指向學生數學核心素養的提升。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 史寧中，曹一鳴.義務教育數學課程標準（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 楊宏權.讓初步的科學方法論教育在此萌發：由“面積的變化”教學實踐說開去[J].小學數學教師，2017（9）：67-70.

[3] 吉陽艷.“猜想—驗證”，讓學生更具生長性：以蘇教版數學六年級下冊《面積的變化》一課為例[J].小學教學研究，2018（4）：79-81.

【本文系2021年江蘇省中小學教學研究第十四期課題“基于關鍵能力發展的小學數學‘綜合與實踐’領域教學研究”（項目編號：2021JY14-L168）的階段研究成果。】

（責編 李琪琦）