小學數學教學“用錯”三部曲

［摘 要］數學學習中，學生難免會出錯。面對學生出現的錯誤，教師要喜用錯誤、善用錯誤、用足錯誤。文章通過展示畫垂線的幾個教學片段，以及教師指導學生自主思考，化錯誤為機遇，變“事故”為“故事”，巧妙利用學生的錯誤打開學生的思維，有效實現了思維進階。

［關鍵詞］化錯教學；畫垂線；小學數學

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）26-0058-04

沒有出錯的學習過程不是真實的學習過程。那么，如果學生出錯了，教師應該有怎樣的行為反應？安徽特級教師朱森明認為，學生出錯，“錯皆有因”，教師要“聞錯則喜”，更要“喜用錯誤、善用錯誤、用足錯誤”。下面，筆者以蘇教版教材四年級上冊“畫垂線”一課的教學片段為例，將“用錯”三部曲應用于實踐中。

一、喜用錯誤

【教學片段1】讓學生過直線外一點畫已知直線的垂線。

巡視時，筆者發現有名學生畫的不符合要求，便請他再現畫的過程。這名學生是用三角尺的斜邊豎對著已知直線畫垂線的，畫的過程沒有用到三角尺的直角邊。針對這種情況，筆者檢查全班學生工具的擺放，再觀察他們的畫法。全班55名學生畫已知直線的垂線情況見表1。

由表1可知，出錯的學生共有13人，其中有9人用了標準工具（三角尺的直角邊、直尺），有4人沒用標準工具。筆者請用三角尺的斜邊作圖的3名學生來說說原因，有1人是不知道畫法，另外2人說這樣畫方便一些。

[教學思考]針對2名學生說的“這樣畫方便一些”，筆者進行了教學反思。學生學習時傾向于尋找方便快捷的方法，多數教師都會覺得這樣的學習習慣不好，要求學生必須按規定的要求去做。這樣處理是不是最好的方式呢？如果學生質疑“為什么必須按規定的要求去做”，教師又該怎樣解釋呢？

商務心理學中有個概念叫“求便心理”，是指產品設計要充分考慮顧客“追求方便”的心理需求。生活中，追求方便可以說是人的天性。教師不能簡單地把學生圖方便這件事認為是壞事，就數學而言，簡便運算、轉化策略、公式和定理等，也是基于方便的需要。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）對此指出，要指導學生選擇合理簡潔的運算策略解決問題，欣賞數學語言的簡潔與優美。

既然不能簡單否定學生圖省事的心理，那么教師就應該如大禹治水，疏導而不硬堵，呵護學生最原始的“健康心理”和“優質動機”。學生在學習中出錯是不可避免的，對待學生的錯誤，教師要講究教學藝術。著名特級教師華應龍用“化錯”的理念對這一問題予以回應，他認為，“化錯”是把課堂教學中的差錯融化為一種教學資源，相機融入后續的教學過程中，可化錯誤為正確，化腐朽為神奇，變“事故”為“故事”。

【教學片段2】先安排學生比一比，過直線外一點畫已知直線的垂線，看誰畫得又對又快。再相互評價對方畫得是否標準，如果覺得不標準，要用道理說服對方。最后議一議自己的體會。

學生交流后認為，如果只要求差不多，用眼睛看就可以了，但如果要求絕對準確，就必須用三角尺來作圖。

[教學思考]教學中，筆者讓學生行使自主糾偏的權利。為了說服對方，幾乎所有學生都意識到，只有用三角尺的直角去驗證，才能讓對方信服。如此，學生便能通過交流明白：隨意畫只能是“大概”，并非“一定準確”。當學生產生自我反省的意識時，教師就可以借機滲透：數學是嚴謹的，在沒有讓我們估測時，必須借助科學的工具來驗證。

“求便心理”會讓人有意選擇最快的方法，直抵結果。流程簡化意味著系統簡化，那么系統操作的穩定性就會下降，難以達到最優化的結果。對此，“便捷性”與“穩定性”要綜合考慮。

課堂上，筆者通過引導學生自主發現錯誤、修正錯誤，讓學生掌握科學的作圖方法。這種處理學生錯誤的方法與傳統教學模式的不同之處在于，它能夠培養學生的自主學習能力和解決問題的能力。

二、善用錯誤

【教學片段3】專題討論：如果沒有三角尺，怎么畫垂線？

師：剛才同學們都明白了，準確作圖必須借助工具，如三角尺。如果不使用三角形尺，能不能盡量準確地作出垂線呢？

（學生合作探究，教師巡視）

生1：我用量角器，讓90°的刻度線經過定點，就可以畫出來了。

生2：我用書本的直角靠著畫。

生3：我用直尺畫，把直尺豎著經過定點畫與已知直線相交的直線，再觀察兩條直線相交處的兩個角，慢慢調整畫直線，直到這兩個角一樣大，這時兩條直線就互相垂直了，即這兩個角都是直角（如圖1）。

生4：我的畫法和生3的相似，不過我是用細的筆芯擺的，當相交處的兩個角相等時就畫線。

生5：我用折的辦法，讓直線的兩邊重合，且使折痕經過定點，這時候，順著折痕畫就行（如圖2）。

生6：我也是用直尺，用直尺的邊壓著定點，讓直尺繞著定點旋轉，觀察定點到線上交點的距離，距離最短時所畫的線便是垂線了。

師：量角器與三角尺同樣是科學的工具，可以精確作圖，不過三角尺更方便一些。生2的畫法類似書法上的“臨摹”，也比較準確；生3、生4用了中學幾何學的一些原理，方法是對的，但只用眼睛看并不完全準確；生5的折紙法很新穎，這個方法與生3的方法相似，本質上都是使相鄰的兩個角為直角；生6用了一個重要的數學原理，即直線外一點和直線上的點所連線段中，垂直的線段最短。需要說明的是，表面上看，后面幾個同學沒有用工具，但“工具”在腦中，“腦中工具”也很重要。

[教學思考]在學生進行自我反省后，筆者沒有止步教學，而是向著學生喜歡的方向——“估測畫”拓展，讓前面學生提出的“問題點”疊變成新知的“生長點”，讓實物“有形尺”變成腦中的“無形尺”，使抽象能力得以提升。《課程標準》指出，要勇于探索一些開放性的、非常規的實際問題與數學問題，培養創新意識，創新意識有助于形成獨立思考、敢于質疑的科學態度與理性精神。教育的具體目標是教學習者掌握一種在自己的整個求知道路上得心應手的方法，使其“學會學習”。

三、用足錯誤

如前所述，面對學生的錯誤，筆者繼續將課程向深度和廣度拓展。

【教學片段4】專題討論：根據剛才你們不同的畫法，你認為其合理性是什么？

生1：我覺得用量角器畫、用書的邊來畫和用三角尺畫差不多，它們都有一個直角。

生2：用直尺、筆芯調整畫線和用折紙的辦法，原理都是相交線相鄰的兩個角是平角的一半，即直角。

[教學思考]數學學習要讓學生經歷數學“再發現”的過程 ，發展質疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學態度，初步養成講道理、有條理的思維品質，逐步形成理性精神。

師：有同學說讓直尺繞著定點旋轉，觀察定點到線上交點的距離，什么時候距離最短了，就應該是垂線了。課本上對“長度最短”也有說明。想一想，為什么長度最短時，就是已知直線的垂線？請你們也用直尺試一試，看看有什么發現。

生3：當連線最短時，相交線相鄰的兩個角就都是直角。

師：為什么當連線不是最短時，相交線相鄰的兩個角不是直角？請用小棒、筆芯擺一擺，或者畫一畫，看看有什么發現。

（學生自主探究）

生4：我擺出來這個圖（如圖3），如果是歪一點，左邊有一條能垂直的線的話，右邊也應該有一條，且共同組成一個三角形，但三角形中不能有兩個直角，因此這兩條線不是垂線。

師：從三角形狀態來分析，可以發現其中的道理。既然三角形中不能有兩個直角，就不可能過直線外一點，畫出這條直線的兩條不同垂線，就像生4說的，擺歪了就不可能是垂線。可是為什么擺正了，就一定是垂線呢？老師這里有個作圖工具——圓規，在五年級學習中會用到，今天提前借用這個工具，看看大家能不能用圓規作圖來發現更多的道理。

（筆者請學生上臺演示）

生5：以定點為圓心，畫出不同的圓形，當圓和直線剛剛碰上時，就是擺正了的情況，這時候，碰上的那個點就是垂足。如果圓畫小了就碰不上，如果圓畫大了，就有兩個位置，就是生4擺歪了的兩個位置，畫出來的都不是垂線（如圖4）。

師：這是中學的一個知識點，是直線和圓相切的情況。有興趣的同學可以課后網上搜索看一看。

[教學思考] 曹培英就“圖形與幾何”一課指出，讓學生先經歷操作（用小棒擺或用圓規畫），感悟畫法，再理解幾何關系，最后感悟出相切狀態時符合要求（隱含的知識）。小學生由于知識和經驗不足，對“直線外一點和直線上所有點的連線中，垂直線段最短”無法理解，但通過擺一擺、畫一畫，學生能得到類似的感悟。《課程標準》指出，要引導學生初步感受認識直尺和圓規在作圖中的簡單應用。小學簡單的尺規作圖應用，正是深入學習尺規作圖的基礎。

【教學片段5】 擺垂直棒比賽：讓學生輪流上臺用兩根磁棒擺相互垂直狀態，其余學生用三角尺驗證。

（1）比一比，看誰擺得最準確。

（2）同桌之間再比一比，形成同桌賽。

（3）觀察教室墻壁、黑板等地方，哪些地方存在相互垂直情況？有沒有互相垂直狀態不準確的？如果需要驗證，你想用什么辦法進行驗證。

師：同學們已經有了很強的目測能力。那么，什么情況下我們必須用工具檢測，哪些情況下可以只用目測呢？

生1：寫作業作圖時必須是完全準確的，要用三角尺來畫垂線，不能隨便用直尺擺了就畫。在生活中觀察判斷時，可以直接目測。

生2：天花板上的橫梁和豎梁，高高的，我們接觸不到，只能目測。

師：總結得有道理。可見，追求精準就必須借助科學的工具。

[教學思考]課堂上的好問題，源自學生的真問題，課堂教學始終要圍繞學生的真實問題展開。本課中，筆者順著學生的錯誤，曲線解決問題，順勢發展了學生的估測能力，又緊扣了課程要點——嚴謹的作圖必須借助工具，估測與精測互補，要依據情況和要求使用。值得一提的是，課程結束時，學生都自覺用三角尺去驗證所見的物體。

綜上所述，對于學生的錯，教師不必急于否定，要充分利用錯誤的機遇，等來花朵的綻放。蘇霍姆林斯基說，教育的技巧不在于能預見課堂上的所有細節，而在于根據當時的情況，巧妙地在學生不知不覺中做出相應的變動。教育者要有大境界，直面學生的錯誤，合理判斷錯誤的可利用價值、可回收成分，引導學生自我分析錯誤，讓學生在分析錯誤的過程悟得真理。學生借著課堂的真問題實現生長，才是踐行真正的“教學”。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 華應龍.華應龍與化錯教學[M].北京：北京師范大學出版社，2015．

[2] 王程功，趙進.小學數學中段課堂“化錯教學”研究的策略與實踐[J].牡丹江教育學院學報，2023（5）：94-95，98.

[3] 單中惠.西方教育思想史[M].北京：教育科學出版社，2007.

[4] 李培芳.化錯教育理念下的小學數學課堂重建[J].教育探索，2018（2）：45-48.

[5] B.A.蘇霍姆林斯基.給教師的建議[M].杜殿坤，譯.北京：教育科學出版社，2022．

【本文系安徽省2023年度教育裝備立項課題“小學數學游戲化教學中智慧教室裝備的應用研究”的階段性研究成果，課題立項號ZB23169。】

（責編 覃小慧）