除法運(yùn)算一致性教學(xué)的探究

［摘 要］文章針對(duì)小學(xué)階段教材中除法運(yùn)算的編排，以及“兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)”這一內(nèi)容的學(xué)情分析、單元重構(gòu)和教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行了深入探究。縱向梳理相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)和橫向構(gòu)建本單元的知識(shí)框架，設(shè)計(jì)單元整體教學(xué)方案，旨在讓學(xué)生感悟數(shù)的運(yùn)算的一致性，從而有效推動(dòng)學(xué)生運(yùn)算能力的提升和核心素養(yǎng)的發(fā)展。

［關(guān)鍵詞］整數(shù)除法；單元整體教學(xué)；一致性

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）26-0075-03

數(shù)的運(yùn)算具有一致性。眾所周知，除法可以視為連減過程的簡化形式，即一個(gè)數(shù)連續(xù)減去相同的數(shù)直至結(jié)果為零的過程。在數(shù)學(xué)中，我們使用除法來對(duì)整體進(jìn)行平均分配。這種平均分配可以有兩種情況：一是已知總數(shù)和每份的數(shù)量，求份數(shù)；二是已知總數(shù)和份數(shù)，求每份數(shù)。同時(shí)，除法與乘法互為逆運(yùn)算。

為了在整數(shù)除法運(yùn)算的教學(xué)中體現(xiàn)運(yùn)算的一致性，本文以蘇教版教材四年級(jí)上冊第二單元“兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)”的單元整體教學(xué)為例進(jìn)行探究。

一、小學(xué)階段除法的編排

（一）除法運(yùn)算在小學(xué)階段的編排

蘇教版教材將除法運(yùn)算的教學(xué)分為三個(gè)階段。首先是整數(shù)除法，內(nèi)容是如何將被除數(shù)按照不同的計(jì)數(shù)單位進(jìn)行平均分配，穿插運(yùn)算律的應(yīng)用。其中，四年級(jí)上冊第二單元“兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)”是重要內(nèi)容。其次是小數(shù)除法，五年級(jí)上冊第五單元編排了“小數(shù)乘法和除法”，其中小數(shù)除法的處理方式是先將其轉(zhuǎn)化為除數(shù)是整數(shù)的除法，然后依照整數(shù)除法的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行計(jì)算。最后是分?jǐn)?shù)除法，六年級(jí)上冊第三單元編排了“分?jǐn)?shù)除法”，通過將除以一個(gè)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為乘這個(gè)除數(shù)的倒數(shù)，建立分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法之間的聯(lián)系。

（二）“兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)”的編排

“兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)”是小學(xué)階段除法運(yùn)算教學(xué)中的一個(gè)重要單元，它不僅標(biāo)志著整數(shù)除法教學(xué)的結(jié)束，而且為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)除法奠定了基礎(chǔ)。該單元共包含15個(gè)課時(shí)，分為三個(gè)部分。首先，學(xué)生將學(xué)習(xí)“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的口算和筆算”，掌握“兩、三位數(shù)除以整十?dāng)?shù)”的口算和筆算方法。接著，學(xué)生將學(xué)習(xí)“除數(shù)不是整十?dāng)?shù)的筆算”，從簡單到復(fù)雜，逐步掌握“試商”“四舍”“五入”等技巧。隨后，學(xué)生將探究“商不變的規(guī)律”，這不僅加深了學(xué)生對(duì)除法運(yùn)算的理解，也豐富了“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”的筆算方法，為學(xué)生學(xué)習(xí)“除數(shù)是小數(shù)的除法打下了基礎(chǔ)”。單元的最后部分安排了“兩步連除”的實(shí)際問題，目的是讓學(xué)生初步體驗(yàn)使用除法解決問題的過程和策略。

在實(shí)際教學(xué)時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)教材的編排順序符合學(xué)生學(xué)習(xí)的規(guī)律，然而，也存在一些不足之處：“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的口算”例題的難度偏低，可能導(dǎo)致學(xué)生忽視口算除法的重要性；“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的口算”與“表內(nèi)除法”之間的聯(lián)系不夠緊密；口算除法與筆算除法之間的聯(lián)系不夠明顯。

二、第二學(xué)段學(xué)情的分析

教學(xué)需要考慮學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，必須進(jìn)行學(xué)情分析，找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，分析學(xué)生將要達(dá)到的認(rèn)知水平，才能“有的放矢”。因此，在教學(xué)前，筆者借助兩道題對(duì)本班42名學(xué)生進(jìn)行了“學(xué)情前測”。測試單如圖1所示。

在參與本次測試的42名學(xué)生中，第1題第（1）問回答正確的學(xué)生有40人，占總?cè)藬?shù)的95.2%；第（2）問回答正確的學(xué)生有35人，占總?cè)藬?shù)的83.3%。在計(jì)算60÷20時(shí)，有的學(xué)生傾向于通過乘法來推算除法的結(jié)果；有的學(xué)生則意識(shí)到60中包含3個(gè)20，從而得出60÷20=3；還有一些學(xué)生基于“6÷2=3，因此60÷20=3”的邏輯進(jìn)行推理；極少數(shù)學(xué)生采用了擺小棒或畫圓圈的方式來輔助計(jì)算。第（2）問回答情況與第（1）問類似。

在42名學(xué)生中，僅有3名學(xué)生能夠正確地使用豎式來計(jì)算第2題，約占總?cè)藬?shù)的7.1%。第（1）問，雖然有30名學(xué)生的計(jì)算結(jié)果是正確的，但他們的豎式中商的位置寫錯(cuò)了；第（2）問，有38名學(xué)生僅寫出了單層豎式，這表明大多數(shù)學(xué)生不懂得如何書寫多層豎式。測試情況表明學(xué)生未能理解豎式計(jì)算中每一步驟的真正含義。

對(duì)前測結(jié)果進(jìn)行簡單總結(jié)，從口算技能的角度來看，學(xué)生能夠運(yùn)用類比的方法，借助乘法口訣進(jìn)行計(jì)算，且正確率相當(dāng)高；然而，從知識(shí)理解的角度分析，只有極少數(shù)學(xué)生能夠做到“舉一反三”，即能夠解釋兩、三位數(shù)除以整十?dāng)?shù)的計(jì)算原理。大多數(shù)學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中往往忽視了對(duì)計(jì)算原理的理解，而僅僅關(guān)注計(jì)算結(jié)果。

通過對(duì)前測結(jié)果的分析，可以確定本單元的教學(xué)重難點(diǎn)如下：在口算除法的教學(xué)中，首先，需要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生將被除數(shù)按照計(jì)數(shù)單位進(jìn)行分解，例如將“60”視為“6個(gè)十”，“20”視為“2個(gè)十”，這樣易于理解“6個(gè)十”中包含3個(gè)“2個(gè)十”；其次，在豎式計(jì)算的教學(xué)中，要著重引導(dǎo)學(xué)生理解除法豎式中每個(gè)數(shù)字以及每層的含義；引導(dǎo)學(xué)生理解“隨著被除數(shù)數(shù)值的增加，商的位數(shù)也會(huì)相應(yīng)增加”；尤其是當(dāng)商中出現(xiàn)“0”時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生掌握“四舍”和“五入”兩種試商方法。

三、單元教學(xué)內(nèi)容的重構(gòu)

在日常的計(jì)算教學(xué)中，一些教師更注重基本計(jì)算技能的訓(xùn)練，關(guān)注計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，卻往往忽略了學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成以及數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累。鑒于此，教師應(yīng)當(dāng)調(diào)整教學(xué)策略，確保計(jì)算教學(xué)能夠有效激發(fā)學(xué)生的探索精神、創(chuàng)造潛能，并促進(jìn)學(xué)生反思能力的發(fā)展。教師需要引導(dǎo)學(xué)生深入理解知識(shí)，使其能夠洞察知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)與技能的遷移。

筆者基于以上思考及在教學(xué)實(shí)踐中的發(fā)現(xiàn)，重構(gòu)本單元教學(xué)內(nèi)容（見表1）。

四、單元課堂教學(xué)的實(shí)踐

在運(yùn)算教學(xué)過程中，有“一明一暗”兩條交織的主線：明線為知識(shí)技能的傳授，而暗線則是數(shù)學(xué)思想的滲透。新知識(shí)的學(xué)習(xí)，始終建立在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上，是對(duì)舊有知識(shí)體系的擴(kuò)展與深化。教師在教學(xué)過程中需深入挖掘教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，并將這些數(shù)學(xué)思想貫穿于知識(shí)技能的教學(xué)之中。下面將以第2課時(shí)“‘除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法’的筆算”為例進(jìn)行說明。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，遷移導(dǎo)入

創(chuàng)設(shè)學(xué)校體育節(jié)情境，出示幾種體育用品及價(jià)格（圖略），提問：“每人只能購買其中一種體育用品，假如你有100元，你打算購買哪一種？最多可以購買幾個(gè)？”

（二）自主學(xué)習(xí)，深入探究

出示問題：“學(xué)校購置了62根跳繩，每班分20根，可以分給幾個(gè)班？” 學(xué)生通過討論、計(jì)算、辯論以及數(shù)形結(jié)合等多種方式，探究豎式解決“62÷20”的正確方法。

（三）對(duì)比練習(xí)，總結(jié)方法

出示算式“72÷30”“172÷30”，讓學(xué)生練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題方法：觀察除數(shù)，判斷商的位數(shù)；若被除數(shù)為三位數(shù)，應(yīng)先觀察被除數(shù)的前兩位，若不夠除則需觀察前三位。

（四）鞏固練習(xí)，內(nèi)化新知

采用游戲化的方式讓學(xué)生進(jìn)行鞏固練習(xí)。可以設(shè)計(jì)“走迷宮游戲”，學(xué)生走到哪一格，就需根據(jù)該格內(nèi)的算式快速回答“商是幾，應(yīng)寫在哪一位上”才能繼續(xù)前進(jìn)。還可以設(shè)計(jì)“足球射門游戲”，足球上有算式，每答對(duì)一題算進(jìn)一球。

以上的環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，充分考慮了學(xué)生已有知識(shí)的“最近發(fā)展區(qū)”，促進(jìn)了生生之間、師生之間的互動(dòng)交流，有效激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和思考深度。

在小學(xué)階段的運(yùn)算教學(xué)中，教師應(yīng)基于對(duì)數(shù)的運(yùn)算內(nèi)涵的深刻理解，通過縱向的知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理和橫向的知識(shí)框架構(gòu)建，進(jìn)行單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)運(yùn)算的一致性。這樣，學(xué)生就能夠理解運(yùn)算的意義、算理和算法，還能實(shí)現(xiàn)運(yùn)算能力的提升、推理意識(shí)的發(fā)展及模型思想的構(gòu)建。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 楊明嵐.一致性視域下整數(shù)除法運(yùn)算整體性的教學(xué)思考與設(shè)計(jì)：以“除數(shù)是一位數(shù)的除法”單元為例[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2023（11）：50-53.

[2] 李巖.感悟運(yùn)算本質(zhì)發(fā)展遷移能力：四年級(jí)《三位數(shù)除以兩位數(shù)》單元教材分析[J].河北教育（教學(xué)版），2023（Z2）：75-78.

[3] 張桂芝.親歷構(gòu)建過程理解豎式本質(zhì)：“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”教學(xué)思考與實(shí)踐[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2021（12）：43-47.

（責(zé)編 楊偲培）