幾何畫板助力小學數學“圖形與幾何”的教學策略探究

【摘要】隨著現代教育技術的迅速發展，計算機多媒體在學校教育中逐漸普及，計算機輔助教學受到了廣大教師的關注和重視.幾何畫板是計算機應用中的教學軟件，內容豐富，簡單易操作，以各種圖形為基礎，具有強大的畫圖和生動的演示功能，在小學數學“圖形與幾何”教學中發揮著重要的作用，有利于小學數學高效課堂的構建.文章分析了幾何畫板與小學數學教學融合的背景，探究了幾何畫板在幾何概念教學中、問題解決和推理中的作用，以期為課堂教學賦能，為學生的核心素養和綜合能力的提升助力.

【關鍵詞】幾何畫板；小學數學；“圖形與幾何”；教育信息化

幾何畫板是一款專業的數學輔助教學軟件，全稱為動態幾何畫板.幾何畫板兼具畫圖、度量、動態演示等功能，它能為幾何教學服務，它作用是普通畫圖軟件無法替代的，被稱為“幾何點金石”.下面從幾何畫板與小學數學教學融合的背景、幾何畫板在幾何概念教學中的應用、幾何畫板在問題解決和推理中的應用三個方面來闡述對于幾何畫板的應用研究.

一、幾何畫板與小學數學教學融合的背景

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“利用數學專用軟件等教學工具開展數學實驗，將抽象的數學知識直觀化，促進學生對數學概念的理解和數學知識的建構.”

華東師范大學孔企平教授在《小學數學“圖形與幾何”國際課程改革動向分析》一文中提出：“重視動態幾何軟件等現代信息技術的運用是國際小學數學‘圖形與幾何’課程呈現出的最重要的一個特點，也是全世界小學數學幾何教學的一個共識和趨勢.”

目前國內外的對于幾何教學領域的研究，都關注到了技術與教學的融合.作為一線教師，應該深切認識這種融合的必要性和重要性，在教學中尋找技術與教學的最佳契合點和應用點，并積極實踐，讓技術為我們的教學賦能.

二、幾何畫板在幾何概念教學中的應用

（一）幾何圖形的繪制和構建

一方面，在當前的“雙減”背景下，教師急需提升自主命題水平，在“圖形與幾何”相關題目的編制過程中，時常需要繪制標準的幾何圖形，如長方形、正方形、等邊三角形、圓等平面幾何圖形，正方體、長方體、圓柱、圓錐等立體圖形，甚至還有不規則圖形、組合圖形、坐標系、陰影部分等，尤其是在制作自創題時，教師很難使用“截圖”“復制”或者電腦自帶的畫圖軟件來完成，這時就需要借助幾何畫板軟件輔助作圖.

另一方面，“圖形與幾何”相關概念比較抽象，學生對概念的理解存在淺層次、表面化的現象.如果教師能在講解時利用幾何畫板進行演示，能幫助學生抽象出概念的本質，降低理解的難度.

例如，學生對于鈍角三角形的高，理解上普遍存在困難.利用幾何畫板，可以實時顯示出鈍角三角形的高，拖動頂點改變三角形的形狀，三角形的高也會實時變化，這樣可以幫助學生抽象出“三角形的高”這個概念.還能讓學生進一步觀察發現，同一個三角形三條邊長的高交于一點，這個點就是“垂心”（如圖1）.

再如，在“圓的認識”教學過程中，教師可以通過幾何畫板的“動畫”和“記錄軌跡”功能，呈現圓的動態形成過程（如圖2），讓學生在觀察與思考中進一步體會什么是圓，為后續理解圓的本質特征奠定基礎.同時，教師可以改變線段長度即半徑，讓學生感受圓的大小與半徑有關的知識點.

（二）溝通“點、線、面、體”之間的聯系

《義務教育數學課程標準（2022年版）》要求：“學生經歷從實際物體抽象出幾何圖形的過程，認識圖形的特征，感悟點、線、面、體的關系；積累觀察和思考的經驗，逐步形成空間觀念.”幾何畫板的動畫功能可以在溝通“點、線、面、體”的關系中發揮重要作用.

例如，在教學“圓柱和圓錐”的過程中，教師可以通過幾何畫板動態演示“三角形和長方形旋轉形成圓錐和圓柱的過程”（如圖3），發展學生的空間想象能力，促使學生發現三角形與圓錐各要素之間的關系、長方形和圓柱的各要素之間的關系，并利用這些關系以及旋轉的性質深入理解圓錐和圓柱的特征，幫助學生初步建構研究立體圖形的新視角、新方法.

再如，“長方體和正方體的認識”是學生學習三維圖形的起始課，教師可以在導入環節利用好幾何畫板的動態演示功能和即時生成的特點，讓學生經歷從一維到二維再到三維的過程（如圖4），建立空間觀念.

（三）角度和尺寸的測量和比較

幾何畫板具有強大的“度量”功能，包括長度、距離、周長、角度、面積等.將“度量”功能與移動功能相配合，就能直觀展示數與形之間的變化關系，讓學生經歷操作、觀察、分析、抽象、推理、建模等活動，鼓勵他們積極探索幾何圖形中蘊含的規律.

例如，在“點到直線的距離”這個內容的教學中，教師可讓學生用刻度尺度量幾條線段的長度，然后比較它們的長短，進而找到最短的那條.不少學生對于所量的這幾條線段是有感覺的，能感受到垂直的那條是最短的.可是，只量了幾條樣本數量過少，想要量無數條卻無法實現.在幾何畫板制作的這個小工具中，可以隨意拖動改變點B的位置，讓學生動態感受AB長度和角度之間的關系，驗證他們的猜想（如圖5）.

再如，在“圓的周長”教學過程中，學生通過自己的實驗得到幾組數據之后，用周長除以直徑，獲得了多個不相等的結果，接著由教師介紹“圓周率”.最終，圓周率還是教師“給”的，而不是自己“算”的.試想，如果能夠克服手動測量的誤差，我們是不是能讓學生自己得到圓周率呢？利用幾何畫板的測量和計算功能，可以彌補這一缺憾.通過改變圓的大小，學生會發現，無論圓的大小如何改變，圓的周長和直徑的比值是不變的，這個比值就是圓周率（如圖6）.帶領學生從猜想開始，經歷探究過程，自己得到結論，這樣的課堂實驗會更加完整.

（四）圖形的運動與變化

小學階段要求學生掌握的“圖形的運動”的知識包括軸對稱、平移、旋轉以及圖形的放大與縮小，利用好反射、平移、旋轉、縮放，能幫助理解概念，與“參數”和“度量”等功能相結合，能幫助學生深度理解知識.

例如，在“軸對稱”相關概念教學的過程中，教師可以利用幾何畫板工具，任意改變圖形的形狀，即時生成軸對稱圖形（如圖7）.在課堂上插入這個環節，讓學生反復經歷“變化———想象———驗證”的過程，幫助學生牢固掌握“軸對稱”的概念.

（五）動態演示和模擬實驗

建構主義強調學生的主動認知和積極建構.作為小學數學教師，應該從建構主義學習理論中汲取靈感，借助幾何畫板這個強有力的工具，幫助學生形成知識體系，培養其建構意識.幾何畫板為學生提供了生動形象實驗情境，與建構主義實踐的情境創設部分相契合，是高質量的建構實踐載體.教師在“圖形與幾何”教學中利用幾何畫板，由淺入深、由簡單到復雜地講授數學知識，符合建構觀的構成要件，有利于學生接收數學信息，并嘗試利用幾何畫板加工處理，從而形成整體性的知識架構.因此，在貫徹落實建構理論時，教師應將幾何畫板的使用與創新性的教學策略相結合，使學生深層次地理解相關概念和公式，提高小學數學“圖形與幾何”的教學效率和教學質量，培養學生的建構意識.

例如，在“圓的面積”一課的教學中，將圓等分成扇形，再組合成近似的長方形，是本節課的重要環節，這個模型對于學生理解圓面積公式的由來是非常重要的.但是，由于篇幅限制，書上只呈現了16等分、32等分的兩個案例，并讓學生想象出64等分的結果.教學中，教師發現學生在自己“拼一拼”的過程中，已經存在困難，若再要學生想象，則是難上加難，這對于小學階段學生的想象能力是不小挑戰.而利用幾何畫板制作的小工具能幫助想象能力稍差一點的學生突破阻礙.在這個小工具中，教師能任意改變等分的份數，形成等分后的圓及扇形，再通過動畫按鈕將兩部分進行組合（如圖8）.相比傳統教學，學生更能直觀地感受到，隨著等分份數的增加，拼成的圖形會無限地趨近于長方形，讓學生對這個模型的理解更加深刻.

三、幾何畫板在問題解決和推理中的應用

（一）推理和證明幾何性質的過程

幾何畫板能夠對“點、線、面、體”這些基本元素進行變換、構造、測量、計算、動畫、追蹤軌跡等動作.通過幾何畫板進行嚴格地、遵循幾何規律的操作，能夠彌補傳統教學中動手操作帶來的不準確、樣本數量少等缺陷，還能讓抽象的代數關系和幾何圖形形象化，便于學生推理和證明幾何性質.

例如，在“三角形三邊關系”一課，教師通常會給學生幾根長度不同的小棒，讓學生進行探索.但是由于材料的限制，學生可以得到的數據有限.利用幾何畫板制作的小工具，可以設定任意長度，得到無數組數據，增加樣本數量.設置好三條線段的長度之后，點擊“驗證”，如果三條線段的長度能組成三角形就會靠在一起，排除了實際操作中小棒寬度等干擾，讓實驗結果更加準確，利于學生探究、總結規律.

（二）創造性思維和創新能力的培養

創新能力和創造能力是推動社會進步的內在驅動力.因此，教師應注重培養學生的創造力和創新能力，培養學生的空間想象能力和邏輯思維能力，從而提升學生適應社會的能力.如果教師能夠合理發揮幾何畫板的作用，就能豐富教學形式，促進學生深入探究圖形與幾何相關知識的內涵，為學生創造和創新能力的培養提供土壤.

例如，蘇教版數學教科書五年級下冊“轉化”單元有這樣一道思考題：“如圖9，涂色部分是正方形，你能求出圖中最大長方形的周長嗎？”利用幾何畫板，可以建構這一題的模型.根據條件，先繪制一條長度為19cm的ED邊，在ED邊上確定一點G，以EG的長度為邊長繪制正方形EGHF，再繪制長度為27cm的BH邊，最后補全整個圖形ABCD（如圖9）.通過拖動E點，可以發現正方形的邊長是變化的，進一步找到解題思路：可以將正方形邊長設為a進行求解.

結 語

綜上所述，隨著教育信息化的持續推進，在幾何畫板與數學教學融合的過程中，確實能提高教育教學成效.隨著課堂上幾何畫板和數學教學的融合日益深入，教師們越來越多地使用幾何畫板進行教學提高課堂的有效性.教師們應善用幾何畫板的教學形式，及其對于具象化展示數學原理的顯著效果，通過創設動態的教學情境、生動的原理演示建立邏輯思維.同時，這樣的教學方法更符合小學生的認知規律，改變傳統課堂枯燥無味的教學模式，提升學生的學習興趣.

【參考文獻】

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