“三角形”結構化設計：單元整體教學的路徑探索

【摘 要】《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出，要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系。文章結合具體的教學案例，從單元內容結構化、學習任務結構化及數學思維結構化三個核心層面，探索“三角形”結構化教學設計的實施路徑，培養學生的數學核心素養。

【關鍵詞】結構化設計；單元整體教學；三角形的認識

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在課程理念部分著重指出，在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系。一方面了解數學知識的產生與來源、結構與關聯、價值與意義，了解課程內容和教學內容的安排意圖；另一方面強化對數學本質的理解，關注數學概念的現實背景，引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立有意義的知識結構。［1］

數學一直被視為一門抽象、嚴謹和邏輯性強的學科。“圖形與幾何”是小學數學的重要內容，為了建構這一領域的結構化體系，在單元整體教學視域下，教師通過結構化教學設計，將抽象的數學結構轉化為學生樂于探究、易于理解的數學高階思維。本文以人教版數學四年級下冊“三角形”單元教學為例，深入剖析單元整體結構化教學設計路徑，以期為小學數學教學提供有益的參考。

一、單元內容結構化：核心概念統領結構

單元教學內容的結構化是指以單元核心概念為統領，從結構化的角度對原有單元知識的數量比例、排列次序、組織形式進行合并、刪減和調整。單元內容的結構化是為了落實教與學的結構化。

（一）系統梳理：把握單元內容的定位

通過對人教版一至六年級12冊數學教材進行系統梳理，我們發現“圖形的認識與測量”這一主題在教材中的呈現主要集中在14個單元（如圖1）。由圖1可知，各年級教材對于“圖形的認識與測量”的分布各有側重，但總體而言，皆以線、面、體為核心展開教學。教材內容相互關聯，呈螺旋式上升；由淺入深、從分到合，凸顯內在一致性；注重序列安排、板塊推進，形成“圖形的認識與測量”學習的一體化。

從九年義務教育數學學科內容編排來看，三角形的學習貫穿始終。一年級時，學生能夠直觀辨認三角形；四年級時，學生能夠刻畫三角形的特征，并初步探索邊、角性質；八年級時，深入研究三角形的性質，如勾股定理、全等、相似等，嚴謹證明其邊、角的關系。其中，四年級三角形的學習尤為關鍵，它標志著學生從感性認識到理性認識的轉變，同時也是三角形邊、角性質研究的起點。

（二）深入分析：理解單元內容的層次

單元內容的結構化包含橫向和縱向兩個層面。橫向層面注重同級結構間的相關性、連接性和互補性；縱向層面則關注高低結構間的包容、發展和深入關系。在特定時空背景下，這兩種結構層次交織構建，形成整體，展現數學結構的多樣性和統一性。

在橫向層面上，三角形的認識涵蓋四個階段：認知、測量、位置及運動。在認知階段，學生從識別“三條邊圍成的封閉圖形”發展到概括三角形的特性；在測量階段，學生遵循統一的度量方法，關注三角形邊的長短、角的大小；在位置階段，學生通過定位頂點，把握三角形的空間位置；在運動階段，學生通過三角形邊與角的變換，發現相互之間的聯系。

在縱向層面上，三角形的認識下位解構為線、角的認識與位置判斷，上位重構則可發展成平面圖形、立體圖形的測量，包括如圓錐的認識及其表面積、體積的測量。整個學習內容保持前后呼應、上下貫通，內容結構從“碎片化”轉向“系統化”。

（三）整體建構：推進單元內容的統合

1.分解要素形成知識鏈

幾乎所有的平面圖形的認識都是從研究圖形的邊和角開始，三角形也一樣。［2］“三角形”單元教學聚焦學生空間觀念培育，圍繞三角形的特征展開。教師可以以“三角形具有什么特征”為內容主線，依據圖形要素，分解出一系列知識點：邊有何特征？角有何特征？高有何特征？等等。教師進一步引導學生探討如何根據要素特征進行三角形的分類，如何依據要素特征繪制三角形等。

在建構知識鏈的過程中，學生應遵循循序漸進的原則，先探究局部特征，再總體把握三角形的特征。具體而言，先探究三角形的邊、角、高的特征，接著研究三角形的分類和三角形繪制的方法，最后整體構建對三角形的認知。這一策略有助于改變原有教材內容零散、學生學習路徑不清晰的情況，更符合認知事物的普遍規律，從而助力學生形成完整的知識鏈。

2.按標分類織成知識網

圖形的認識是培養學生抽象思維和空間觀念的重要領域。在圖形的認識中，依據一定的標準給圖形分類是一個至關重要的思想方法，分類不僅是建立圖形概念的基礎，更是幫助學生理解圖形共性和差異性的關鍵。

本單元通過邊、角、高對三角形進行分類，學生可以更加清晰地認識到三角形每個類別的特點，體會制訂合理分類標準的重要性。進行分類時，學生需要確保分類結果“不重不漏”。如此，學生不僅能夠更好地理解概念、積累經驗，逐步形成三角形的知識網，還能發展空間觀念，提高抽象邏輯能力。

3.抓住關聯建構知識體

圖形的各個要素之間是相互關聯的，而關聯的建立有助于學生整體把握對圖形的認知。認識三角形時，學生通過精細的觀察與具體操作，探究邊、角的特征及邊、角在運動與變化中的規律，進而理解在同一個三角形中，邊的長短、角的大小之間的關聯性。這種關聯性的理解，有助于學生整體建構三角形的認知，認識平面圖形特征結構上的“三個維度”，即邊的特征，角的特征，邊與角的變化規律。

二、學習任務結構化：單元目標指引路徑設計

（一）學情診斷：找準學生學習的起點

為了準確掌握學生學習三角形的基礎，找準學生自主探索的空間，了解開展探究活動的經驗支撐和學生認知體驗的需求，教師組織了單元前測（如圖2）。從認知基礎看，學生在學前已能識別三角形，并能用三角形拼接其他圖形；學習了角的知識；掌握兩直線的位置關系。從經驗基礎看，學生在生活中廣泛接觸三角形原型，積累了感性經驗，初步具有空間觀念和推理能力，為學習三角形提供了支持。總之，學生能夠直觀認知三角形，大部分學生能簡要描述其顯性特征，但學生在理解三角形三邊關系時遇到困難，僅23.7%的學生能合理說明3根小棒能圍成三角形的理由。單元前測及數據統計與分析為找準本單元的教學起點提供了依據。

（二）素養導向：確定單元學習目標

本單元的教學基于課標要求與學情基礎，引導學生在觀察、操作、想象、比較等活動中理解三角形各要素特征，溝通要素之間的聯系，不斷豐富對三角形的整體認知，促進學生空間觀念的發展。由此，確定了以下單元學習目標：

（1）通過觀察、操作和實驗探索等活動，理解三角形邊、角、高的特征；

（2）能綜合運用三角形的特征，按不同標準對三角形進行分類，能用尺規畫三角形；

（3）通過邊、角的運動和變化，溝通邊與角之間的聯系，發展學生的空間觀念；

（4）通過分析、比較、歸納等活動，培養學生的推理意識；

（5）感受數學與生活的聯系，感悟三角形的穩定性。

（三）任務驅動：設計學習進階路徑

數學探究學習是以素養為導向、以問題為驅動，引導學生運用類似科學探究的方式，通過觀察、提問、實驗、類比、驗證、推理、概括、表達、運用等活動，實現對數學知識發生發展的理解，以及對數學知識的運用和遷移。［3］教師既要關注局部，又要注重整體，進行結構化、系統化設計，讓學生經歷觀察、實驗、猜測、推理、驗證等過程。這種設計直接關聯數學知識的理解和思想方法的形成，引導學生有效建構知識，積累經驗，感悟思想，提升數學學科核心素養。

本單元圍繞單元學習目標，以任務為驅動，從探究三角形邊、角、高的特征出發，遵循要素解析、關聯搭建、整體構建的邏輯順序，根據認識三角形的動態結構，分三個維度創設情境，引導學生開展觀察、猜想、驗證、歸納等數學實踐活動，促進學生學習進階，使學生逐步從外部到內部、從局部到整體認識三角形。具體課時安排如表1所示。

1.識三角形：聚焦要素探究特征

圍繞認識三角形這個核心任務，教師把三角形進行要素分解，精心設計了三個子任務，分三個課時探究三角形特征。

第一課時是“三角形的三邊關系”，從邊的維度深入剖析三角形的特征。教師提供了3組小棒，每組3根，分別為5cm、7cm、12cm，5cm、7cm、10cm，5cm、7cm、14cm，讓學生嘗試圍三角形。學生在操作中發現：有的三條邊能圍成三角形，有的不能圍成三角形。進而思考三角形三條邊長度之間的關系，感悟“任意兩邊之和大于第三邊”。然后，教師引導學生用“兩點之間線段最短”這個基本事實說明該命題的正確性，使學生形成推理意識。

第二課時是“三角形的內角和”，從角的維度揭示三角形的特征。教師引導學生通過畫、量、折、分等操作活動，讓學生主動探索三角形內角和的奧秘，使學生發現三角形內角和為180°的規律。在此過程中，教師注重培養學生的數學研究方法，將這些學習經驗遷移至多邊形內角和的探究中，引導學生感悟多邊形內角和的探究方法。

第三課時是“三角形的高”，從高的維度深化對三角形的認識。在學生初步認識三角形高的基礎上，教師通過格子圖，使三角形底邊固定不變，變化頂點的位置，使頂點上下、左右移動，引導學生觀察、對比和分析，并讓學生思考高發生了怎樣的變化。從而得到高的長短代表頂點與底邊的距離，感悟三角形高的內涵，理解三角形“從一個頂點出發有且僅有一條高”和三角形高的位置關系。

2.分三角形：經歷分類理解概念

三角形的邊、角、高是三角形的基本要素，以三要素為依據對三角形進行分類可以促使學生深入理解概念的同時培養推理能力，完善對三角形的認識。教學時，教師應引導學生用關聯的眼光看待不同分類標準下的三角形，結合邊、角、高的因素認識三角形。三角形分類有三種方法：一是按邊的長短分為不等邊三角形、等腰三角形（包括等邊三角形）；二是按角的大小分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；三是按高的位置分為三條高都在內部的三角形、兩條高在邊上的三角形、兩條高在外部的三角形（如圖3）。學生可能會按高的條數分，但分不出來，教師可以引導學生深化對高的認識，感悟每個三角形都有三條高。

如圖3所示，教師可以引導學生在溝通不同類三角形之間關系的同時，豐富學生頭腦中三角形形狀的素材庫。適時追問“等邊三角形會是直角三角形或鈍角三角形嗎？”“等腰直角三角形3個角的度數有什么特殊之處？”等問題，引發學生思維碰撞，進一步深化學生對三角形的認識。這一過程實質上是學生認知結構的自我建構過程。

3.畫三角形：溝通要素感悟關聯

用尺規作三角形是本單元新增加的內容。教師需引導學生畫弧找第三個頂點，體現尺規作圖的價值。學生借助尺規作圖繪制三角形，溝通三角形的邊、角關系。教學分三個層次展開。

第一層次，學生繪制一個邊長為3cm、4cm、3cm的銳角三角形，探究借助尺規繪制三角形的原理。

第二層次，學生繪制邊長為3cm、4cm、5cm的直角三角形和邊長為3cm、4cm、6cm的鈍角三角形，感悟尺規作圖的科學性與優越性。

第三層次，教師引導學生觀察三角形的邊與對應角的關系：當3cm和4cm的兩條邊長度保持不變，而夾角發生變化時，第三條邊的長度也會相應改變；隨著3cm和4cm兩邊的夾角增大，對邊的長度也會隨之延長。以鈍角三角形為例，6cm這條邊所對應的角最大，3cm這條邊所對應的角最小（如圖4）。

學生在畫三角形的過程中，嘗試用尺規作已知三邊的三角形，既能感悟三角形三邊的關系，又能感悟三角形的穩定性。由此，教師圍繞尺規作三角形，串聯起學生已有的圖形知識和操作體驗，讓學生進一步感悟三角形邊與角的聯系，整體認識三角形。

三、數學思維結構化：系統聯結豐富多元體驗

（一）求證猜想：推進數學探究的程序

在“三角形”單元學習中，猜想、驗證、分析和歸納的學習過程，構成了學生數學探究活動的基本程序，培養了學生的問題意識和問題解決能力。這種以問題為導向的探究流程設計，能夠有效突破學生的學習困境，厘清學習路徑，促進學生認知思維從低階向高階發展。在深度學習的過程中，學生逐漸掌握了自主探究學習的方法，學會用數學的視角洞察現實世界，用數學的語言描述現實世界，激發了內在的學習動力，形成“我要學、我要探究”的學習情感。

在后續的學習中，教師需要精心設計學習任務，讓學生在明確的任務驅動下，自覺運用已有的知識經驗自主遷移，經歷猜想、驗證、分析和歸納四個基本程序，幫助學生在嚴謹、理性的學習中，深化對數學概念的理解，豐富對數學思想方法的感悟。

（二）提煉要素：理解數學概念的方法

結構化學習是以數學知識系統和學生已有認知為基礎，以動態建構為切入點，以整體關聯為關鍵環節，以發展思維為最終目標，致力于促進兒童有效認知結構的自我建構過程。在本單元的教學中，教師引導學生探究三角形邊、角、高的特征，借助操作與畫圖等實踐活動，幫助學生理性認識三角形各要素之間的內在聯系。在持續追問與深入探究的過程中，學生的結構化認知得以形成，并依托推理與抽象，深化對原有結構的理解，整體構建認識三角形的完整模型，進而培養空間觀念。

在本單元的結構化教學設計中，教師引導學生從局部要素入手，逐步感知并整體把握三角形的特征。這一思維方式的運用，促使學生形成系統化學習的意識。通過此種方式，學生能夠更加主動地挖掘各知識點之間的內在聯系，深入探究數學知識的深層內涵。

（三）溝通聯系：探尋數學本質的橋梁

在本單元的教學中，教師依據三角形各要素與整體之間的緊密關系，精心設置與之相契合的驅動性任務，使學生在不同層級的變化中洞察本質以及變化的規律性，進而深化對三角形概念的理解，在解決問題的過程中構建起完整的知識體系。通過溝通三角形各要素的關聯性，教師引導學生深入領會各要素蘊含的深層數學內涵，從而幫助學生構建扎實的認知結構。同時，通過問題驅動，以探究為核心，讓學生感悟三角形概念的本質屬性，提升學生的空間觀念和推理能力，促進學生數學學科核心素養的全面發展。

這種溝通聯系的思維方式，有助于學生對數學概念整體性、系統性和結構性的認識，有助于學生對數學本質的深刻洞察，有助于學生在習得數學知識和技能的基礎上，形成穩定的數學思想方法和活動經驗，提升學生的思維品質。以此思維方式進行遷移，能夠提高學生在真實情境中解決實際問題的能力，以及提高學生學習各個學科知識的能力。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］金雷杰，周蕾. 借關聯知整體 因說理而深刻：《三角形》單元教學中的深度學習策略［J］. 小學教學設計（數學），2022（5）：17-20.

［3］李明樹，王曉峰. 基于HPM的數學探究學習建構：以“確定圓的條件”的教學為例［J］. 中國數學教育（初中版），2023（7/8）：14-17，57.

（責任編輯：羅小熒）