數據驅動的時延神經網絡動載荷識別方法

摘要： 載荷識別是指根據測量的結構響應重構結構載荷的問題，屬于力學中的反問題。本文提出了一種基于時延神經網絡的載荷識別方法，通過實驗和仿真相結合的數值算例驗證表明，這一方法相比于一般的反向傳播神經網絡具有更高的識別精度；在時延神經網絡的基礎上，引入了統計池化的思想，并與普通的神經網絡載荷識別方法相比較，證明了該方法在不同強度的噪聲環境下均具有良好的識別效果；基于上述載荷識別方法，提出了一種基于粒子群優化算法的傳感器布局優化策略，相比于隨機的傳感器布局，優化后的傳感器布局可以在考慮傳感器安裝間距的同時，將載荷識別誤差降低90%以上，有效提高了載荷識別精度。

關鍵詞： 載荷識別； 時延神經網絡； 粒子群優化； 反向題

中圖分類號： O327； TB123 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）10-1688-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.10.006

引 言

近年來，隨著計算機軟硬件的進步，機器學習算法蓬勃發展，不少學科領域開始引入機器學習方法進行研究，其中較為常見的就是神經網絡算法。自20世紀40年代McCulloch等［1］首次提出人工神經網絡的概念以來，里程碑式的發明不斷涌現，例如感知機模型［2］、反向傳播算法［3］、卷積神經網絡［4］、深度學習［5］等。

在結構動力學中，載荷識別問題是一類根據測量所得的結構響應來重構結構載荷的逆問題。在基于神經網絡的載荷識別方法被提出之前，傳統的載荷識別方法主要分為兩種：頻域法和時域法，這兩種方法發展較早，各有其優缺點。近年來，隨著機器學習方法的快速發展，一些基于人工智能算法衍生而來的載荷識別新方法逐漸進入了人們的視野。由于神經網絡在數據處理方面的巨大潛力，以及可直接建立數據映射關系的獨特優勢，該算法也逐漸開始被應用于解決載荷識別問題中。而近年來對基于神經網絡的載荷識別方法的研究也展現出神經網絡在該領域中的廣闊前景。將載荷識別與機器學習相結合的研究起步于20世紀末，Omkar等［6］在研究直升機槳轂的受力時，利用神經網絡算法解決了剪切應力的最小化問題。Trivailo等［7］利用神經網絡實現了氣動力載荷重構；近幾年來，基于機器學習的載荷識別算法有了進一步的發展，在機器學習算法的推動下，載荷識別的精度得到了進一步的改善，且有更多的新方法、神經網絡的新應用被提出。Liu等［8］提出了一種新的通用物理信息神經網絡材料（NNMat）模型，該模型采用分層學習策略實現了對生物軟組織本構建模中的機械行為的應力分析；Wu等［9］提出了一種基于深度卷積神經網絡（CNN）的方法來估計線性單自由度（SDOF）系統、非線性SDOF系統、以及3層多自由度（MDOF）系統的鋼框架的動態響應；Liu等［10］建立了一種虛擬載荷場方法來重構結構表面的分布氣動力；Liu等［10］針對工程結構中普遍存在的多源不確定因素，提出了一種基于人工神經網絡（Artificial Neural Network，ANN）和貝葉斯概率框架（BPF）的動態力載荷重構方法；Yang等［11］提出了一種基于深度擴張卷積神經網絡（DCNN）的動態載荷識別方法，該方法具有很強的抗噪聲能力，并且在參數、測量點分布不確定的情況下具有良好的精度、可靠性魯棒性和頻率數據；Zhou等［12］針對非線性結構，提出了一種利用深度循環神經網絡（RNN）的沖擊載荷識別方法，即使在沖擊位置未知的情況下也能成功識別復雜的沖擊載荷；Li等［13］提出了將插值模型與反向傳播（Back Propagation，BP）神經網絡相結合的K?BP模型，提高了應變場反演和載荷識別的精度，并證明該方法能夠以較少的樣本獲得良好的載荷識別效果。

在實際工程應用中，對結構或系統的測量中總會包含系統誤差，而一些載荷識別方法對噪聲等不確定性十分敏感，頻域法可能會因為噪聲而發生矩陣病態現象，基于模型的模態分析法等時域分析方法會因為噪聲而產生累計誤差。也有一些研究針對載荷識別中的噪聲問題進行了改良，何文博等［14］提出了一種基于冗余擴展余弦變換字典的L1范數正則化載荷識別方法，該方法在實際測量噪聲的影響下取得了準確的識別結果，具有良好的魯棒性；Tang等［15］提出了一種基于脈沖響應函數矩陣的最大奇異值和信噪比的正則化參數方法，有效提高了噪聲環境下的載荷識別準確性。

在載荷識別中，傳感器是結構響應的直接來源，傳感器布局位置在載荷識別過程中也起著重要作用。有不少機器學習方法被應用于傳感器最優布局的求解中。歐陽運芳等［16］基于振動分量，根據平均值篩選原則來優化振動傳感器測點，克服了航空發動機結構復雜、激勵源多的主要困難；B?achowski等［17］使用貪心算法和凸松弛?凸優化方法，以Kammer有效獨立性（Kammer’s Effective Independence，EFI）為準則，解決了承受移動載荷的大型土木工程結構中載荷相關的最佳傳感器布局問題；Lee等［18］設計了一種基于模態置信準則（Modal Assurance Criterion，MAC）和有效獨立性（EFI）的算法，經過迭代從而求出最優傳感器布局。

與時域法、頻域法等載荷識別方法相比，傳統的載荷識別方法，例如模態分析方法等，往往是基于模型本身，當模型較為復雜時，計算量會變得極大，且有限的模型信息往往難以描述整個模型，因此精度也會嚴重地受到影響；而神經網絡具有直接建立數據之間的直接映射關系的特點，因此在載荷識別中，神經網絡可以忽略物理模型本身，直接建立響應數據與載荷數據之間的聯系，可以解決對于復雜模型以及復雜載荷的載荷識別問題，這是神經網絡方法最為明顯的優點之一；另外，由于神經網絡模型的高度非線性化特點，因此噪聲等不確定性干擾的環境對載荷識別結果的影響較小。在神經網絡算法中，時延神經網絡（Time Delay Neural Networks，TDNN）是一類被用于處理序列數據的人工神經網絡，最早于1988年被Waibel等［19］提出，被應用于語音信息的處理與識別；考慮到神經網絡在載荷識別問題中表現出的優勢，因此，本文提出了一種基于時延神經網絡的動態載荷識別方法，通過測量結構的時域信號重構結構載荷，利用時延神經網絡處理信號輸入，并對噪聲環境下的載荷識別的效果進行對比研究。在此基礎上，本文進一步提出了一種基于粒子群優化的傳感器布局多層優化策略，以載荷識別精度為優化目標，求解最優傳感器布局，以實現載荷識別精度的最大化。

1 時延神經網絡的搭建

人工神經網絡（ANN）是一種模仿生物神經網絡的構造和工作原理、模擬人腦神經系統對復雜信息的處理機制的數學模型。神經網絡模型具有高度的非線性、強大的自學習、自組織和自適應能力，能夠構建數據之間的直接映射。在一般的神經網絡的基礎上，時延神經網絡基于輸入信號的上下文進行建模、提取特征；在TDNN 中，每層神經網絡結構中的每個神經單元不僅接收來自下層的特征輸入，還會接收來自上下文的輸入，以實現對輸入模式的分類。

1.1 人工神經網絡的構成與時延神經網絡的搭建

一個人工神經網絡一般由輸入層、一個或多個隱藏層以及輸出層組成。神經網絡通過調整權重，不斷訓練和學習，得出輸入和輸出之間的關系。以BP網絡的學習為例，其學習過程由四個過程組成：首先是模式傳遞過程，輸入模式由輸入層經由中間層向輸出層傳遞；其次是誤差傳遞過程，該過程先計算誤差信號，即網絡的期望輸出與網絡的實際輸出之差，再將誤差信號由輸出層經由中間層向輸入層逐層修正連接權；然后是網絡記憶訓練過程，通過模式順傳播與誤差逆傳播的反復交替實現；最后是網絡趨向收斂的學習收斂過程，即網絡的全局誤差趨向極小值。當目標實際輸出的偏差小于閾值或訓練次數達到給定限制時，學習過程結束。其一般結構如圖 1所示。神經網絡的搭建步驟如下：

（1）收集數據以構建訓練集，應包括輸入和輸出兩部分，并具有一一對應關系；

（2）標準化、歸一化等數據預處理工作，以免出現梯度爆炸或消失的問題；

（3）構建神經網絡結構，確認訓練參數；

（4）訓練神經網絡；

（5）驗證與測試。

傳統的神經網絡處理時域信號時，往往是一個離散時間點內的輸入信號對應于一個離散時間點的輸出；為了更好地處理時序問題，在普通的神經網絡的基礎上進一步引入時延神經網絡的概念。該網絡與普通的神經網絡最主要的區別在于它可以同時輸入多個時間點的輸入數據。時延神經網絡的結構如圖2所示，圖中展示了一個時延步數為d的神經網絡。該神經網絡系統首先對原始輸入信號進行了時延處理，將輸入信號向量，，…，合并為一個新的向量，其中下標表示離散時間點編號；將處理后的序列作為神經網絡的輸入進行運算。

1.2 引入統計池化的時延神經網絡

上一節中介紹了時延神經網絡的基本結構與形式。然而，若輸入信號含有噪聲等干擾，該時延神經網絡的識別效果會受到較明顯的影響。Snyder等［20］在處理語音信號時，在時延神經網絡中引入了統計池化的處理方法，這一方法通過對信號的卷積運算，將信號進行“池化”，從而達到提取信號特征的目的。這一處理方式有助于降低噪聲等干擾對載荷識別結果的影響。

在一個時延步數為d的神經網絡中，將原始輸入信號向量，，…，進行加權和計算處理，得到一個新的序列，即

（1）

式中 被稱為卷積核。為了使變換后的序列的時間長度與原始信號長度一致，需要在原始信號的開始與結尾兩端加入“0”作為填充，如圖3所示。

對于第k個離散時間點的信號，若時延神經網絡讀入的輸入信號上下文范圍為 ，則需要先在原始信號的起點處加入個“0”，在結束后加入個“0”作為填充。

1.3 基于TDNN的載荷識別方法流程

訓練一個用于解決載荷識別問題的時延神經網絡包含以下4個步驟：

（1）為神經網絡的訓練集樣本設定隨機載荷樣本，并定義對應的數據格式；

（2）有限元分析計算載荷樣本對應的結構響應，形成訓練集數據集；

（3）設計TDNN的參數。一方面，對于神經網絡自身來說，需要確定其隱藏層層數、神經元及其激活函數、收斂條件以及學習速率等訓練參數；另一方面，對于TDNN，還需要確定該神經網絡中的時延步數、卷積核的取值。設定完畢后，根據訓練集訓練神經網絡模型；

（4）訓練完成后，將待識別的結構響應數據輸入到神經網絡中，并定義相關指標，以分析識別結果的準確性。對于動態集中載荷的重構，可以把識別誤差定義為重構結果和真實值之間的相對誤差，即

（2）

式中 表示L2范數。

2 基于粒子群算法的傳感器布局優化問題

傳感器布局優化也是載荷識別中的一個重要問題。一方面，由于傳感器的數量遠少于結構的有限元模型的自由度，因此，需要找出傳感器的最優布局，以改善載荷識別的效果；另一方面，由于在實際的載荷識別問題中，在結構表面安裝傳感器存在一定的難度，因此傳感器的數量、傳感器之間的間距等方面也會受到限制，所以需要確保設定的傳感器布局方案可以應用于實際的載荷識別問題中。傳感器布局的優化可以通過粒子群優化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法來完成。

2.1 粒子群優化算法的原理與實現

粒子群優化算法類似于鳥類覓食的過程：分散在各處的鳥群最終會在食物最多的地點聚集［21］。而粒子群優化算法首先在全局展開搜索，找到可能的極值點范圍后就會在此區間進行更密集的搜索，經過多次迭代后就能找到全局最優解。

粒子群優化算法的一般流程為：

首先構造函數，量化特定傳感器布局下的載荷識別效果。在傳感器布局中主要考慮精度以及傳感器間距限制兩個方面，因此可以表示為：

（3）

式中 error項表示在當前傳感器布局下載荷識別的誤差，其定義方式即式（2）；而為了防止傳感器之間的間距過小，設定了penalty項用于排除這些不符合傳感器安裝條件限制的布局，其定義為：

（4）

式中 K為傳感器總數；為第i個傳感器的位置向量；為設定的傳感器最小安裝間距。布局中的傳感器坐標可以用一個向量來表示，構成了算法中的自變量，即

（5）

因此，傳感器布局優化的問題就轉化為求解函數Obj的最小值點的問題。

然后進行初始化，設定粒子運動的范圍、運動速度范圍；隨機設定粒子初始位置與速度；定義學習率參數的值；確定粒子數量、迭代周期上限、傳感器數量范圍等。

接著，啟動PSO算法，每一步迭代中，粒子的速度和位置會按照局部極值和全局極值進行更新，對于第i步的更新為：

（6）

式中 和分別表示第j個粒子的位置和速度；和為在區間［0，1］上的隨機數；和G分別為目前的局部最優解和全局最優解，二者分別表示單個粒子曾到達過的極值點和所有粒子曾到達過的極值點；為慣性參數；，為學習參數。

受到一項關于自適應PSO算法的研究啟發［22］，為了改善算法的搜索能力與效率，在迭代計算過程中，學習參數也會更新自身：

（7）

（8）

一般取，，，，，，為設定的迭代步數上限。

最后，經過多次迭代，當滿足終止條件時，G的取值即為全局最優解。

2.2 利用PSO算法確定最優傳感器數量及布局

2.1節給出了傳感器布局優化的基本方法。然而，本文中的傳感器布局優化問題包含了三個方面的優化：首先，需要確定傳感器的數量；其次，要確認TDNN模型延遲的步數；最后，在上述兩個基本條件下，找出傳感器的最優布局位置。針對上述三個方面，本文提出了如圖 4所示的多層優化流程。其基本思想為通過遍歷不同的優化條件，找出最佳的傳感器數量和TDNN延遲步數組合，并在該參數組合下求解最優傳感器布局。

3 數值算例

本節以一個復合材料薄板及其修正后的有限元模型為例，分析其在沖擊載荷、以及集中動態載荷作用下的響應，并以此為輸入進行載荷識別；最后，將載荷識別結果與真實載荷數據作對比，分析載荷識別方法的識別誤差。

圖 5和圖 6展示了該復合材料薄板的實物外觀、傳感器布置以及對應的有限元模型。其中圓孔處即為加載點；復合材料的鋪層方式為［45/0］5。材料屬性如表1所示。

3.1 基于TDNN的沖擊載荷與動載荷識別

對于圖 5所示的模型，首先通過試驗加載的結果來修正圖 6中的模型，使模型在同等加載條件下的結構響應與試驗結果一致（具體圖表詳見附錄）；然后，在加載點處按如下兩種工況進行加載，并通過有限元正向計算傳感器位置處的數據：

工況1：沖擊載荷，分別于0.480 s和1.200 s時產生峰值約為400 N和725 N的沖擊力；

工況2：動力集中載荷，用關于時間的函數可以近似表示為。

圖 7展示了所構建的神經網絡的結構。其中，神經網絡的訓練是基于Levenberg?Marquardt優化算法實現的，隱藏層共包含三層，采用的激活函數類型分別為線性、雙極性S函數、線性，神經元個數分別為4，11，2個；圖 8展示了工況2中的訓練集數據，該訓練集由20組隨機的載荷樣本及其對應的結構響應數據組成。表2和圖 9列舉并對比了不同延遲步數的TDNN在載荷識別中的相對誤差。特別地，當延遲步數為0時，TDNN即為一般的BP神經網絡系統。從表2和圖 9中可知，相比于一般的BP神經網絡（延遲步數為0），延遲1～20步的TDNN在載荷識別中的精度均優于無延遲的普通神經網絡；在兩種工況中，當延遲步數分別為11和12步時，載荷識別的精度最高。在工況1中，誤差最小的為延遲11步的TDNN，其相對識別誤差為1.388%，相比于普通的BP網絡，誤差降低了73.2%，而工況2中延遲12步的TDNN則將相對誤差降低了88.7%，說明在TDNN中選用恰當的延遲步數可以顯著改善載荷識別的精度。兩個最優解的識別誤差與普通BP網絡的識別結果對比如圖 10所示。

通過上述對比，發現當TDNN延遲步數為11或12步，即延遲步數適中時，可以最大限度地降低載荷識別誤差。這是因為當延遲步數較少時，輸出的識別載荷值只與較少的時間點相關聯，因此精度不高；而當延遲步數較多時，識別載荷值與過多的時間點相關聯，輸入信號的時間跨度過大，反而又會對載荷識別結果構成干擾，因此精度會下降；只有當延遲步數適中時，才能取得最佳的載荷識別精度。

3.2 噪聲環境下基于TDNN的沖擊載荷識別

在實際的載荷識別問題中，傳感器自身存在著測量誤差，且結構實際工作環境中必然存在噪聲，因此，有必要在載荷識別問題中考慮噪聲帶來的影響。

本算例通過有限元仿真的方式來模擬高斯白噪聲環境下的載荷識別。此類噪聲對原始信號的干擾量符合標準高斯分布N（0，1），因此，將有限元計算得到的響應信號中按照如下方式進行變換：

（9）

式中 s’和s分別為含噪聲信號和原始信號的n維向量； SNR為信噪比，表示信號和噪聲干擾量的比值；randn（1，1）為按照標準高斯分布產生單個隨機數的函數。

圖 11分別展示了無噪聲、5%噪聲和10%噪聲下，針對3.1節中的沖擊載荷工況，基于一般的BP神經網絡的載荷識別結果。從圖中不難看出，當輸入的信號含有較強噪聲時，載荷識別結果將會表現出很明顯的波動與偏差，在圖像中表現為幅度極大的鋸齒狀。表3中也展示了噪聲環境下載荷識別的相對誤差，說明噪聲對載荷識別的精度有極其顯著的負面影響。為了降低噪聲帶來的干擾，本算例利用第1.3節中提及的基于統計池化的TDNN處理含噪信號。

表3展示了基于4種不同取值的卷積核的TDNN對噪聲環境下載荷識別效果的改善情況。對于卷積核的取值，有兩種思路：其一，將時間點及其相鄰時間點的輸入信號以相同的權重相加，例如延遲5步的卷積核，其取值為［0.2，0.2，0.2，0.2，0.2］；其二，降低相鄰時間點的權重，與給定時間點之間間隔越遠的輸入，其權重越低，例如延遲5步的卷積核，其取值為［0.1，0.2，0.4，0.2，0.1］。值得說明的是，本節所采用的卷積方法僅為探究TDNN在噪聲環境下的載荷識別表現，不代表該取值是最優的。圖 12展示了在10%噪聲環境下，延遲步數為5步、卷積核取值為［0.2，0.2，0.2，0.2，0.2］的TDNN的載荷識別效果。與圖 11中基于普通BP神經網絡的載荷識別結果相比，可以看出基于統計池化的TDNN載荷識別方法在噪聲環境下也有較好的表現，對于含噪信號的處理有著明顯的優勢。

3.3 面向載荷識別精度的傳感器布局優化

在3.1節動載荷識別的基礎上，對傳感器布局進行優化。在基于TDNN的載荷識別方法中，除了傳感器位置以外，需要考慮如下兩個相互獨立的優化變量：傳感器的數量和TDNN的延遲步數。在本算例中，考慮傳感器的數量為3～9個，TDNN的延遲步數為9～13步；而PSO優化算法的過程已經在2.2節給出，其中各項參數的取值為：粒子數N = 10，傳感器安裝最小間距為10 mm，最大迭代步數為250步。

在優化開始之前，需要先計算所有樣本點中結構的所有傳感器備選位置處的結構響應，以構成訓練集；在優化的過程中，每一次改變傳感器布局的位置，都需要根據傳感器的布局位置從訓練集中選取數據，并重新訓練和測試神經網絡。而這一過程消耗的計算時間只與神經網絡構造、訓練學習參數、訓練集的規模有關，與模型自身的復雜程度無關，保證了該優化算法的優化效率。

圖13展示了迭代過程中目標函數最優值的變化過程。在優化的早期，學習參數c1較大，c2較小，在全局的搜索范圍比較廣泛，因此目標函數值迅速下降，逼近最優解；而后期c1減小，c2增大，則加強了算法的局部搜索能力，能夠以更短的搜索步長對最優解進行更詳細地搜索，從而提高了該方法的優化效率。

將不同傳感器數量、不同TDNN時延步數下的優化結果匯總，并針對目標函數最優值進行比較，最終得出在TDNN延遲10步、傳感器數量為6個時取得傳感器布局的最優解，如圖 14所示。具體的傳感器布局位置如圖 15所示。

最后，再對比分析傳感器布局優化對載荷識別效果的改進情況。仍以圖 13為例，圖中的優化條件為TDNN延遲10步、傳感器數量6個，觀察優化迭代過程的第一迭代步和最后一步可知，在初始化時隨機選取的傳感器布局方案中，載荷識別的相對誤差達到了29.4%；而通過基于PSO算法的傳感器布局優化找出的全局最優解中，載荷識別的誤差降低到了2.46%。上述數據表明，傳感器布局優化可以明顯改善載荷識別的精度。

4 結 語

本文提出了一種基于時延神經網絡的載荷識別方法，研究了時延神經網絡在載荷識別問題中的應用；同時，提出了基于統計池化方法的噪聲環境下的載荷識別方法；最后在載荷識別方法的基礎上，針對給定結構進行了傳感器布局優化，改善了載荷識別效果。從本文的工作中可以初步得出以下結論：

（1） 通過動載荷加載、沖擊載荷加載這兩種比較具有代表性的加載工況的數值算例驗證了基于時延神經網絡的載荷識別方法的效果，經驗證，該方法的識別精度優于一般的BP神經網絡載荷識別方法；并研究了不同延遲時間步數下的載荷識別精度，確定了在給定的兩種加載工況中最佳的延遲步數為11或12步。

（2） 在TDNN中應用統計池化的思想，通過與一般的BP神經網絡載荷識別方法的對比，表明了基于統計池化的TDNN載荷識別方法在不同強度的噪聲環境下具有更高的載荷識別精度。

（3）在上述載荷識別方法的基礎上，針對給定結構實施了基于粒子群優化算法的面向精度的傳感器布局多層優化策略，該優化方法在確保傳感器布局方案現實可行的同時，還確定了最佳的傳感器數量、神經網絡延遲步數以及對應的傳感器布置位置，最終的傳感器布局最優解經驗證，將載荷識別誤差降低至2.46%，相比于初始時的隨機布局，誤差指標降低了91.6%，證實了該方法的可行性和效果。

（4）本文中的傳感器布局優化方法是基于已知的載荷，即優化算法是與載荷相關的。因此，在啟動該優化算法前，需要根據結構的工作環境對載荷作用點與形式作初步的估計，而這也是該方法的主要局限性。如果要實現與載荷無關的傳感器布局優化，則需要對結構特性進行進一步的分析。例如，在文獻［23］中，傳感器布局優化是基于模態、插值精度等多目標進行的，其優化過程與載荷無關。未來將進一步研究與載荷無關的傳感器優化問題。

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A data-driven dynamic load identification method based on time-delay neural networks

WANG Lei1，ZHANG Hao-yu1，HU Ju-xi2，GU Kai-xuan3，WANG Zhen-yu1，LIU Ying-liang4

（1.National Key Laboratory of Strength and Structural Integrity，School of Aeronautic Science and Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China； 2.School of Naval Architecture，Ocean & Civil Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China； 3.Test Department，Aviation Industry Aerospace Lifesaving Equipment Co.，Ltd.，Xiangyang 441003，China； 4.Marine Design & Research Institute of China，Shanghai，200011，China）

Abstract： The problem of load identification denotes identifying loads based on the measurement of structural responses，which is the inverse problem in structural dynamics. A load identification method based on time-delay neural network is proposed in this paper，and numerical examples based on simulation and experiments are provided to show that the method overperforms normal back-propagation neural network in accuracy of identification. Additionally，statistic pooling is introduced on the basis of the method，and it is proved that the method performs well in noisy environment compared with BP neural networks. based on the load identification methods mentioned above，a sensor placement optimization based on particle swarm optimization algorithm is proposed，and the optimal sensor placement is able to reduce the error of identification by 90% compared with the random sensor placements，meanwhile the minimum spacing of installation among sensors is also ensured during the optimization.

Key words： load identification；time-delay neural network；particle swarm optimization；inverse problem

作者簡介： 王 磊（1987—），男，博士，副教授。E-mail： leiwang_beijing@buaa.edu.cn。

通訊作者： 胡舉喜（1981—），女，博士，研究員。E-mail： hu.juxi@sjtu.edu.cn。

附 錄

3.1節中，在進行載荷識別之前，首先利用一系列基于實物模型的試驗數據，對有限元模型進行了模型修正。其中實物試驗的數據圖像如圖 A1所示。

模型修正的目標是：通過對模型的材料屬性、有限元單元屬性、剛度矩陣等的修正，使得在有限元計算中輸入圖 A1（a）的載荷，有限元計算所得結果與圖A1（b）的實測數據一致，這樣即可認為修正后的有限元模型的仿真計算結果是可以等價于實際試驗結果。