非線性結構系統的局部連接剛度辨識方法研究

摘要： 連接結構在工程應用領域廣泛存在，連接位置處的局部非線性特征對結構系統的動力學建模與特性預示具有重要影響。針對非線性結構系統局部連接參數未知或難以測量的問題，本文從結構動力學反問題的角度出發，提出一種基于頻響函數變換的局部線性連接剛度辨識方法，通過與時域非線性子空間辨識方法相結合，可進一步獲取非線性結構系統的局部線性和非線性連接剛度。設計并搭建三自由度結構系統的數值算例和實驗系統，開展辨識方法的數值和實驗驗證，結果表明，所提方法能夠分離并辨識得到非線性結構系統的標稱線性系統頻響函數和非線性參數，進而實現局部線性和非線性連接剛度的聯合辨識。

關鍵詞： 連接剛度辨識； 連接結構； 非線性系統； 非線性子空間辨識方法

中圖分類號： O327；O322 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）10-1698-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.10.007

引 言

在機械、土木、航空航天等工程領域，大型結構系統中廣泛存在著各種各樣的連接形式，例如螺栓、鉚接、焊接、楔環等［1?4］。由于加工、裝配誤差和使用磨損等因素，連接位置不可避免地存在局部非線性特征，給系統的動力學建模與特性預示帶來挑戰，甚至影響其工作性能，威脅結構的整體運行安全［5?7］。針對含局部連接的結構系統動力學問題，一方面需要進行非線性機理研究，探索局部連接的精細化建模方法［8?12］；另一方面需要開展數據驅動的局部連接特性辨識，對正向建模中難以精確表征的內部機理進行捕捉，進而準確獲取真實工作條件下連接結構系統的動力學特性，是本文的研究重點。

關于系統辨識的研究始于20世紀50年代［13］，早期多以線性系統為研究對象，隨著工程應用需求的日益拓展，辨識理論與方法研究不斷深入，非線性系統辨識已逐漸成為當前工程應用研究領域的熱點問題［14?18］。非線性系統辨識方法可分為線性化方法、時域方法、頻域方法、時頻分析、非線性模態分析、黑箱建模和模型更新等幾大類［17?20］，近年來已在不同領域的工程結構系統辨識中得以應用，例如螺栓連接結構［21?23］、太陽能電池板［24］、衛星結構［25］、飛行器舵面［26?29］等，表現出了較大的發展前景。

在眾多非線性系統辨識方法中，基于輸出反饋思想的辨識方法近年來得到了較多關注。Adams等［30］最先提出輸出反饋思想，其核心在于將非線性恢復力視為內部反饋力，令其與外部激勵共同作用于標稱線性系統以產生原始非線性系統的響應，并發展了基于輸出反饋思想的頻域非線性系統辨識（NIFO）方法［31］。Marchesiello等［32］基于輸出反饋思想提出了時域非線性子空間辨識（Time?domain Nonlinear Subspace Identification，TNSI）方法，并應用于機械系統非線性參數辨識。Marchesiello等［33］提出消除辨識模型階數過估計導致虛假極點的策略，提高了TNSI方法的辨識精度。Zhang等［34］分兩步估計標稱線性系統頻響函數（Frequency Response Function，FRF）和非線性參數，在保證辨識精度的前提下，降低了TNSI方法的計算復雜度。Liu等［35］引入分離策略在不同激勵幅值下分別辨識標稱線性系統和非線性參數，降低了TNSI方法同步處理線性部分和非線性部分時由于兩者數值量級相差較大而引起的耦合誤差。Ma等［36］提出了一種僅輸出的TNSI方法，在標稱線性系統的特征矩陣或狀態空間矩陣已知的前提下，只需測量輸出數據即可對非線性參數進行辨識。孫玉凱等［29］采用TNSI方法對含間隙非線性的二元翼段進行辨識，得到了標稱線性系統和非線性參數，并與條件逆向路徑法進行了對比驗證。Zhu等［37］引入相似系數和距離函數對標稱線性系統的模態信息進行聚類，實現了TNSI方法的自適應模型定階。

基于輸出反饋思想的辨識方法提供了一類重要的非線性系統辨識框架，以TNSI方法為例，通過將非線性恢復力視為內部反饋力，可有效辨識標稱線性系統和非線性參數。但需要說明的是，當結構系統某一位置同時存在線性和非線性連接剛度時，TNSI方法會將線性部分的連接參數歸入標稱線性系統中，導致局部連接參數的辨識結果中僅包含非線性部分，從而與真實情況產生嚴重偏差。與此同時，這類方法在估計標稱線性系統時，可獲得其頻響函數以及固有頻率、阻尼比等模態信息，但不能直觀地獲取局部連接位置的物理參數。因此，針對很多工程結構系統的局部連接參數未知或難以測量的問題，仍需進一步研究能夠準確獲取局部連接參數的非線性系統辨識方法，以期為工程連接結構的動力學建模與特性預示提供技術支撐。

綜上所述，本文旨在發展非線性結構系統的局部連接剛度辨識方法。首先，利用結構系統剛度矩陣的性質，提出一種基于頻響函數變換的局部線性連接剛度辨識方法；其次，將局部線性連接剛度辨識方法與TNSI方法相結合，以實現結構系統局部線性和非線性連接剛度的聯合辨識；最后，基于數值算例和振動實驗對所提結構系統的局部連接剛度辨識方法進行驗證。

1 局部連接剛度辨識方法

1.1 局部線性連接剛度辨識

基于結構動力學方程的一般形式，本節對局部線性連接剛度辨識理論進行推導。對于一個自由度線性時不變結構系統，假設其質量矩陣為，阻尼矩陣為，剛度矩陣為，位移響應為，外激勵為，則其動力學方程可用以下微分方程表示：

（1）

將式（1）變換到頻域為：

（2）

式中 ；和分別為位移響應和外激勵的傅里葉變換。由式（2）可得位移頻響函數的表達式為：

（3）

對線性結構系統而言，其頻響函數可基于輸入?輸出數據，采用時域線性子空間辨識（Time?domain Linear Subspace Identification，TLSI）方法進行估計。如在該結構系統第個自由度與邊界之間附加線性連接剛度，則其位移頻響函數的表達式為：

（4）

式中 為附加線性連接后的位移頻響函數；為結構系統與邊界之間附加的線性連接剛度矩陣，其第行第列的元素為，其余元素均為零。

由式（3）和（4）可知，通過位移頻響函數逆矩陣做差的方式可求得結構系統與邊界之間附加的線性連接剛度矩陣：

（5）

進一步，取矩陣的第行第列的元素即可得到結構系統與邊界之間附加的線性連接剛度。當結構系統的響應信號為速度或加速度時，可先計算得到速度或加速度頻響函數，再變換得到相應的位移頻響函數，具體變換關系為：

（6）

式中 ，和依次為位移、速度和加速度頻響函數。為敘述方便，后文僅針對位移頻響函數進行討論。

假設式（3）中結構系統的第個自由度與邊界之間原本無線性彈簧連接，則其維剛度矩陣在第列上的元素之和為零：

（7）

式中 為剛度矩陣第列的元素之和。顯然，當在結構系統的第個自由度與邊界之間附加線性連接剛度后，如式（4）所示，此時新系統的剛度矩陣變為，其第列的元素之和不再為零，而是恰好等于。

將式（4）中頻響函數逆矩陣第列元素的實部相加，可得：

（8）

式中 表示頻響函數逆矩陣第列元素的實部之和，是一個以頻率為自變量的二次曲線，其常數項部分恰好為。由此結合式（7）可知，用形式的二次曲線對進行擬合，取其常數項即可辨識得到局部線性連接剛度。

綜上所述，基于頻響函數變換的局部線性連接剛度辨識方法可歸納如下：首先采用TLSI方法估計頻響函數，其次對頻響函數逆矩陣列元素的實部進行求和，最后用形式的二次曲線對求和結果進行擬合，取其常數項即為結構系統與邊界之間的局部線性連接剛度。

1.2 局部非線性連接剛度辨識

上一節中的局部線性連接剛度辨識方法不僅適用于線性結構系統，對非線性結構系統的標稱線性部分同樣適用，但前提是需要首先得到標稱線性系統的頻響函數。因此，針對非線性結構系統，可采用TNSI方法分離其標稱線性系統和非線性參數，在辨識得到非線性參數的同時，獲取標稱線性系統的頻響函數，進而完成局部線性連接剛度的辨識，具體過程如下。

對于非線性結構系統，其動力學方程為：

（9）

式中 非線性恢復力為個分量的總和，其中每個分量取決于表示非線性類型的描述函數；為需要辨識的非線性參數；表示非線性的位置向量。

將式（9）中的非線性恢復力視作內部反饋力，可進行如下變換：

（10）

引入狀態向量和輸出向量，并將式（10）的右側視為廣義輸入向量，則式（10）可改寫為如下狀態空間模型：

（11）

式中 ，，和分別為系統矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣和反饋矩陣，具體形式如下：

（12）

在已知結構系統的輸入?輸出數據的情況下，可采用TNSI方法辨識得到式（12）中的各個矩陣［32，36，38］，進而得到非線性結構系統的狀態空間模型。進一步可計算得到非線性結構系統的擴展頻響函數，如下：

（13）

式中 為非線性結構系統的標稱線性系統頻響函數，其形式與式（3）類似，具體為：

（14）

通過式（13）可對擴展頻響函數進行分離，得到非線性參數和標稱線性系統頻響函數。進一步地，基于分離出的，通過采用第1.1節中提出的基于頻響函數變換的局部線性連接剛度辨識方法，可辨識得到非線性結構系統的局部線性連接剛度。

1.3 局部連接剛度辨識流程

基于上述過程，可歸納出結構系統的局部連接剛度辨識流程，如圖1所示。對于線性結構系統，首先基于時域的輸入?輸出數據，采用TLSI方法估計頻響函數，其次對頻響函數逆矩陣列元素的實部進行求和，最后用形式的二次曲線對求和結果進行擬合，取其常數項即為結構系統與邊界之間的局部線性連接剛度。對于非線性結構系統，首先采用TNSI方法估計擴展頻響函數，再將其進行分離可得到局部非線性連接剛度和標稱線性系統頻響函數，最后基于分離出的標稱線性系統頻響函數對局部線性連接剛度進行辨識，進而實現結構系統局部線性和非線性連接剛度的聯合辨識。

2 數值驗證

2.1 局部線性連接剛度辨識算例

為驗證所提辨識方法的有效性，本節考慮一個三自由度結構系統數值算例，如圖2所示。在第二個自由度處附加一個與邊界相連的線性彈簧，其剛度為。三自由度結構系統的質量、阻尼和剛度矩陣如下所示：

（15）

在3個自由度上均施加白噪聲激勵，同時在得到的位移響應中加入信噪比為20 dB的噪聲信號?；诩詈秃肼暤奈灰茣r域數據，采用TLSI方法辨識得到三自由度結構系統的頻響函數H11如圖3所示，其中紅色虛線為理論值，藍色實線為辨識值。

圖4給出了頻響函數逆矩陣第一列到第三列的列元素實部的求和曲線，進一步用形式的二次曲線對其進行擬合，擬合結果如表1所示，其中常數項為相應自由度與邊界之間的線性連接剛度，二次項系數反映的是相應自由度的質量大小。對比擬合值與理論值的偏差可知，基于頻響函數變換的辨識方法具有準確獲取局部線性連接剛度的能力。

將附加彈簧的剛度分別改為和，對各自頻響函數逆矩陣的第二列元素的實部進行求和，得到不同連接剛度下的曲線擬合結果如表2所示，結果表明，對于不同量級的連接剛度，所提出的辨識方法均具有較高的辨識精度。

2.2 局部非線性連接剛度辨識算例

在第二個自由度處同時附加一個線性彈簧和一個單側間隙非線性彈簧，如圖5所示。單側間隙非線性彈簧的描述函數如圖6所示。

非線性恢復力的具體表達式如7式所示：

（16）

式中 d為間隙值；為間隙非線性剛度。

取線性彈簧剛度為，間隙非線性彈簧剛度為，間隙值為d=0.001 m。將間隙的理論值0.001 m代入非線性描述函數，采用TNSI方法對三自由度非線性結構系統進行辨識，分離出的標稱線性系統頻響函數如圖7所示，同時可得到間隙非線性剛度的辨識結果如圖8所示。

對分離出的標稱線性系統頻響函數矩陣求逆，圖9給出了頻響函數逆矩陣第二列元素實部的求和曲線及其擬合表達式，其中紅色圓圈為列元素實部的求和結果，藍色實線為其擬合后的二次曲線，可發現擬合曲線的常數項與線性連接剛度的理論值基本一致。綜合圖8和9的辨識結果可知，對于非線性結構系統，將基于頻響函數變換的辨識方法與TNSI方法相結合，可實現結構系統局部線性和非線性連接剛度的聯合辨識。

3 實驗驗證

對所提出的局部連接剛度辨識方法進行實驗驗證。對應上一節中的數值算例，搭建三自由度結構的實驗系統，其原理圖和實物圖分別如圖10和11所示。在第二層質量塊m2處可附加線性和非線性彈簧，其中線性彈簧剛度可由測力計事先測量得出。為獲取實驗系統完整的頻響函數矩陣，在每層質量塊處均施加激勵，同時布置加速度傳感器以拾取響應信號。開展不同條件下的振動實驗，然后基于輸入?輸出實測數據，采用基于頻響函數變換的辨識方法和TNSI方法，對實驗系統的局部附加連接剛度進行辨識。

3.1 局部線性連接剛度辨識實驗

在第二層質量塊處附加一個剛度為的線性彈簧，采用移動力錘法分別對3層質量塊進行連續錘擊激勵，采樣頻率為2048 Hz，采樣時間為8 s，其中敲擊第二層質量塊時的激勵?加速度的時域數據如圖12所示。

基于實驗系統的輸入?輸出數據，采用TLSI方法辨識得到的頻響函數曲線如圖13所示，其中紅色虛線為經典H1估計結果，藍線實線為辨識結果。由圖可知，二者吻合良好。

對頻響函數逆矩陣第二列元素的實部求和，用形式的二次曲線對其進行擬合，如圖14所示，可以發現擬合結果的常數項與真實的連接剛度基本吻合。如將附加彈簧的剛度改為，擬合結果依舊吻合良好。

圖15給出了不同附加彈簧下基礎固定端與m3之間的連接剛度辨識結果，該結果由頻響函數逆矩陣第三列元素的實部求和得出。對比可知，在不同附加彈簧連接剛度下，曲線擬合結果基本一致，這是由于附加彈簧并不會改變基礎固定端與m3之間的連接剛度，也進一步證明了上述辨識方法及流程的合理性。綜合圖14和15的辨識結果可知，基于頻響函數變換的辨識方法具有獲取線性結構系統局部連接剛度的能力。

3.2 局部非線性連接剛度辨識實驗

在第二層質量塊處同時附加一個線性彈簧和一個單側間隙非線性彈簧，其中線性彈簧的剛度為。在原有實驗裝置中加入激光位移傳感器測量第二層質量塊的位移，圖16給出了第二層質量塊處激勵?位移的時域數據，基于位移數據可構造間隙非線性描述函數。

采用三線性函數法確定間隙值［28，32，38］，將uwP2ssMbZn9LJe6YJluvJw==假定的間隙區間［0.314 mm，0.319 mm］劃分為5個等距的間隔，圖17給出了區間內非線性恢復力的分布情況，可知，間隙值主要集中在0.316 mm附近。

進一步將間隙值d=0.316 mm代入單側間隙非線性描述函數中，基于非線性實驗系統的輸入?輸出實測數據，采用TNSI方法對實驗系統的線性部分和非線性部分進行分離。圖18給出了標稱線性系統頻響函數H22的辨識結果，其中紅色虛線為實驗系統未觸發間隙時的H1估計結果，藍色實線為TNSI的辨識結果。

非線性彈簧連接剛度的辨識結果如圖19所示。該結果在低頻段較為穩定，可觀察到辨識結果接近，基本符合真實的非線性連接剛度特性。基于TNSI分離出的標稱線性系統頻響函數，可得線性連接剛度的辨識結果如圖20所示，綜合圖19和20的辨識結果可知，所提出的辨識方法能夠對非線性結構系統中局部線性和非線性連接剛度進行聯合辨識。

4 結 論

面向工程應用研究領域中的連接結構動力學問題，本文提出了一種非線性結構系統的局部連接剛度辨識方法。一方面，根據結構系統剛度矩陣的性質，提出了基于頻響函數變換的局部線性連接剛度辨識方法，同時結合TNSI方法可實現局部線性和非線性連接剛度的聯合辨識；另一方面，分別基于三自由度結構系統的數值算例和實驗系統進行辨識方法驗證。結果表明，所提方法能夠對非線性結構系統中的局部線性和非線性連接剛度進行有效辨識，可用于獲取非線性結構系統的局部連接剛度參數，服務工程連接結構的動力學建模與特性預示。

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Local connection stiffness identification for nonlinear structural systems

REN Yan-song1，2，MA Zhi-sai1，2，LI Ya-nan3，YU Jia-hui3，ZHANG Zhong3，DING Qian1，2

（1.School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300350，China； 2.Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Control，Tianjin 300350，China； 3.Beijing Institute of Structure and Environment Engineering，Beijing 100076，China）

Abstract： Jointed structures are widely used in engineering applications，and local nonlinear characteristics at the connection interface have an important influence on their dynamic modeling and characteristic prediction. Aiming at the problem that local connection parameters of nonlinear structural systems are unknown or difficult to measure，this paper proposes an identification method of local linear connection stiffness based on the FRF transformation from the perspective of inverse dynamic problems. By further combining with the time-domain nonlinear subspace identification method，the local linear and nonlinear connection stiffness of nonlinear structural systems can be finally obtained. The numerical example and experimental setup of the three degrees-of-freedom structural system are designed and further built to validate the proposed method. The results demonstrate that the proposed method can separate and identify the underlying linear FRF and nonlinear parameters of the nonlinear structural system，and subsequently realize the joint identification of the local linear and nonlinear connection stiffness.

Key words： connection stiffness identification；jointed structure；nonlinear system；nonlinear subspace identification method

作者簡介： 任彥松（1999―），男，碩士研究生。E-mail： renystju@163.com。

通訊作者： 馬志賽（1988―），男，博士，副教授。E-mail： zhisai.ma@tju.edu.cn。