Reissner能量方程視角下的改進Timoshenko梁動力學方程及其在軸力識別中的應用

摘要： 在軸力識別中，動力測試法建立在桿件振動理論的基礎上，因此桿件的振動方程決定了軸力識別的結果。為提高桿件軸力識別的精度，從能量角度出發，推導出軸力作用下Timoshenko梁的自由振動方程。引入縮聚假設，建立了Timoshenko梁關于位移、應力和軸力的Ressiner能量方程；使用極值定理，求得平面梁的運動和應力的平衡方程，化簡上述平衡方程得到軸力作用下Timoshenko梁自由振動的方程，發現與經典結構動力學方程相比，所提出的方程多出與軸力和剪切效應有關的兩項。使用本文推導的方程分別從數值模擬和試驗研究兩個方面對桿件進行軸力識別，發現與傳統的識別方法相比精度有較大的提高，驗證了其正確性和適用性。

關鍵詞： Timoshenko梁； 自由振動； 模態分析； 軸力識別

中圖分類號： O327 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）10-1723-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.10.010

引 言

桿件具有形式簡單、受力明確和易組裝等優點，因此被廣泛應用在工程結構中，如網殼結構、網架結構和斜拉橋等。然而在這些結構服役期間，復雜多變的荷載可能會導致關鍵桿件受力超出設計范圍，進而引起結構損傷甚至倒塌。因此，如何在正常工作狀態下，高效、準確地檢測關鍵桿件所受軸力的變化，對結構主體的健康監測起著至關重要的作用［1］。

目前為止，桿件軸力識別方法按識別機理可以分為：光纖光柵法［2?3］、磁通量法［4?5］、波動法［6?7］和動力測試法［8?10］等。其中，動力測試法以方便、快捷、經濟和精度高等優點被廣泛使用。其主要機理是根據軸力識別的特征方程，利用桿件的振動信息（如頻率和振型）進行軸力識別。而軸力識別的特征方程是在桿件振動理論的基礎上建立的，因此，使用不同的振動理論，桿件軸力識別的結果將產生明顯差異。

起初動力測試法使用弦振動理論，在已知邊界條件下通過建立固有頻率與軸力的關系來識別桿件的軸力［11］。雖然弦理論對柔性細長桿的軸力有良好的識別效果，但由于該理論沒有考慮桿件的彎曲剛度，所以對考慮彎曲變形的桿件軸力的識別效果較差。為了提高考慮彎曲變形的桿件軸力識別的精度，學者首先以Bernoulli?Euler梁理論為基礎，建立軸力識別的特征方程。例如，LI等［12?13］在考慮軸力影響的Bernoulli?Euler梁的基礎上，提出了未知邊界條件下桿件軸力的識別方法。LAGOMARSINO等［14］將桿件簡化為Bernoulli?Euler梁，采用前3階固有頻率對桿件進行軸力識別。然而研究發現Bernoulli?Euler梁理論只能提高對細長桿件軸力的識別精度，對于受剪切變形和轉動慣量影響較大的短桿而言，Bernoulli?Euler梁的識別誤差不可忽略。針對這一問題，學者們開始將Timoshenko梁理論應用在桿件軸力識別的問題中，這是因為Timoshenko梁能夠同時考慮彎曲引起的轉動慣量和剪切變形影響，可以更好地模擬短桿的振動情況。AMABILI等［15］使用經典Timoshenko梁理論模擬實際桿件，提出了一種基于頻率的軸力識別方法。袁永強等［16］采用修正的Timoshenko梁理論，同時考慮傳感器質量的影響，提出了一種改進的軸力識別方法。李東升等［17?19］基于修正的Timoshenko梁理論，分別對不同截面和不確定剛度的桿件進行軸力識別。

在上述研究中，梁的振動方程都是根據力的平衡方程建立的。而本文將采用一種新的推導方法，充分考慮軸力對Timoshenko梁的動力特性的影響。具體過程如下：在GUYADER［20］研究基礎上，從Ressiner能量方程出發，利用極值定理，推導出軸力作用下Timoshenko梁自由振動的方程，并通過MATLAB數值模擬和桿件試驗驗證該方程的正確性和適用性。

1 軸力作用下Timoshenko梁振動方程的理論推導

軸力作用下經典Timoshenko梁的彎曲振動是從材料力學的角度，利用力和彎矩兩個平衡方程得到的［21］。而本節將換個思路：從能量角度推導軸力作用下Timoshenko梁的彎曲振動方程。

1.1 基本公式

首先引入推導過程中所需的三個基本公式。

1.1.1 直梁位移和應力的縮聚假設

考慮如圖1所示的三維直梁的幾何模型。其中，寬度b和高度h兩個維度方向上的尺寸比梁長L小，且軸線x1與梁的中心線重合。

將梁上任一點的位移和應力進行泰勒級數展開，其表達式為［20］：

（1）

（2）

式中 為空間梁上任意一點的位移；為空間梁上任意一點的應力。

由上式可知：梁上任意點的位移和應力與函數，和等有關。然而這些函數都是未知的，為了解決這一難題，下面將任意點的位移和應力的泰勒展開式進行改寫，其表達式為：

（3）

（4）

式（3）和（4）與式（1）和（2）是完全等價的，只是將偏導數的形式改寫成未知函數的表達式，此時未知函數，和等是相互獨立的，且相互之間不存在聯系。這樣就把梁的三維問題轉換為單維度問題，這種方法就稱為縮聚假設。

1.1.2 Reissner能量方程

當梁的應力、外力和位移都已知時，可以用Reissner能量方程表示梁的總能量，其表達式為：

（5）

式中 R1為梁單元總能量；p為梁的密度；εij為應變；fi為體力；Fi為外力；V為梁單元的體積；為梁單元的外表面積；Sijkl為柔度系數；t0，t1分別表示任意兩個時間段。

1.1.3 方程極值計算的定理

基于時間和位移的梁振動方程表達式如下所示：

（6）

令，，本文給出j=2時，關于上述泛函中w（x，t）的極值計算的定理為［22］：

（7）

1.2 公式詳細推導

當平面梁發生彎曲振動時，將在軸1和2方向上分別產生橫向位移和剪切位移，如圖2和3所示。而梁的橫向和剪切位移會引起正應力和剪應力的出現。彎曲振動的平面梁經過縮聚假設后位移和應力的表達式為：

位移：

（8）

應力：

（9）

由式（8）和（9）可知：對于平面梁而言，位移存在兩個未知變量和，應力也有兩個未知變量和。此時，平面梁的振動問題轉化為求解上述四個未知數的問題。

為了求解上述四個未知變量，就必須建立四個未知變量之間的關系。因此，本文利用Reissner原理，建立了考慮軸力影響的四個未知變量的Timoshenko能量方程。

首先給出各向同性材料應力?應變的關系為：

（10）

并由彈性力學相關知識，給出軸力N在平面梁上所做的功為：

（11）

然后，在已給條件下建立了關于軸力N和的Timoshenko梁的Reissner能量方程為：

（12）

轉動慣量和面積的表達式為：

（13）

因此，方程（12）可以簡寫為：

（14）

隨后，對方程（14）運用極值定理，求出關于軸力N和的等式方程為：

（15a）

（15b）

（15c）

（15d）

其中，方程15（a），（b）分別為沿1，2軸方向的運動方程；而15（c）和（d）為關于應力的平衡方程。

化解方程15（c）和（d），得到應力未知變量和與位移未知變量和的關系為：

（16a）

（16b）

將方程（16）代入方程15（a）和（b）中，得到只有位移未知變量和方程的表達式為：

（17）

最后，進一步將公式（17）兩式聯合整理可得：

（18）

由于，且將橫向位移用w表示，再把x1替換成x表示，從而得到軸力作用下的Timoshenko梁的自由振動方程為：

（19）

通常，剪應力在梁橫截面上均勻分布，因此需要引入剪切變形系數ky對G進行修正，其表達式為：

（20）

因此，軸力作用下經典Timoshenko梁的彎曲自由振動方程寫為：

（21）

從式（21）中可以發現：與力的平衡方法［22］相比，本文推導的動力學方程前6項與力的平衡方法得到的結果完全相同，但還多出與軸力和剪切效應有關的后兩項，即和 。

2 運動方程在桿件軸力識別中的應用

本節簡略介紹一下使用本文推導的軸力作用下Timoshenko梁振動方程進行桿件軸力識別的過程，詳細過程請參考文獻［16］。

首先使用分離變量法求解式（21），并且假定平面梁的彎曲振動方程為：

（22）

式中 和分別表示平面梁的圓頻率和相應的振型。

將式（22）代入式（21）中可得：

（23）

式中 a，b和c的表達式分別為：

（24）

由式（24）可知，與力的平衡方法相比，在軸力識別過程中，系數a多出一項，同時系數b也多出一項，而振型函數的通解為：

（25）

式中 系數只與邊界條件有關；參數的詳細表達式見文獻［16］。

當桿件邊界未知時，可以利用桿件上某一模態振型上的5個點處位移值，得到4個位移模態比，例如：

（26）

緊接著，對式mnT5ucJm+aSYuZ5kyamu8NSQseYXfNC213aDHCZOw/U=（26）進行變換，得到了關于4個待定參數C1，C2，C3，C4的聯立方程：

（27）

式中 S的具體表達式詳見參考文獻［16］。由于待定參數Ci（i=1，2，3，4）作為桿件的邊界條件，必有非零解。因此其系數矩陣S的行列式必為0，然后利用S的行列式為零這一性質，求得桿件真實軸力的大小。

3 數值算例分析

為了驗證本文運動方程推導的正確性和軸力識別的適用性，本節使用文獻［17］提出的改進Timoshenko平面梁單元，通過MATLAB軟件建立與文獻［13］相同的桿件動力學模型，如圖4所示。圖中S1～S5是桿件在長度方向上等距離布置的節點位置。桿件的結構參數如下：彈性模量 Pa，泊松比υ=0.3，密度p=7860 kg/m3，剪切變形系數ky=5/6，矩形截面的寬度和高度分別為b=0.035 m和h=0.005 m。桿件的邊界條件為兩端固支，并且兩端受到軸向拉力N的作用。下面將從以下3個方面進行驗證，并與文獻［21］的動力學方程進行對比分析。

3.1 不同模態階數

首先，以0.72 m長度的桿件作為研究對象，軸向拉力預設為15 kN。用MATLAB軟件對軸力作用下的桿件進行模態分析，并提取了前5階模態的固有頻率和相應振型，詳細數據如表1所示。然后，采用第2節的識別算法對矩形桿件進行軸力識別。隨后，對不同模態階數下的桿件進行軸力識別，詳細的識別結果如表2所示。

圖5給出了第1階模態下桿件軸力與之間的關系曲線，圖中水平虛線表示為0。由圖5可知：采用本文推導的動力學方程對桿件進行軸力識別時，識別結果為15.000 kN，誤差為0%。證明了本文推導動力學方程的正確性；同時也說明該動學方程可用于桿件的軸力識別。

由表2可知，采用文獻［21］中考慮軸力影響的Timoshenko梁動力學方程進行軸力識別時，任意階模態都存在誤差。當使用桿件的1階模態信息進行軸力識別時，識別結果為15.004 kN，誤差僅為0.027%。但隨著模態階數的增加，識別誤差逐漸增大，當使用5階模態信息進行軸力識別時，識別誤差為0.347%。而在相同工況下，采用本文推導的軸力作用下Timoshenko梁自由振動方程進行軸力識別時，任何階模態下軸力識別結果都為15.000 kN，識別誤差為0.000%，證明了本文推導動力學方程的正確性和精確性。

3.2 不同軸力

本節將研究在不同軸力工況下，本文推導動力學方程對軸力識別結果的影響。同樣以0.72 m長度的桿件作為研究對象。此時，軸向拉力5～25 kN逐步加載，步長為5 kN。提取了不同軸力工況下桿件的第3階模態的固有頻率和對應傳感器位置上的振型數據，然后對不同軸力下的桿件進行軸力識別，識別結果如表3所示。

從表3中可以發現，采用文獻［21］中動力學方程對不同軸力情況下的桿件進行識別時，其誤差均小于0.5%，表明軸力大小對桿件識別結果影響較小。與此同時，采用本文的動力學方程在任何軸力工況下進行軸力識別時，其誤差都為0.000%，說明本文的動力學方程對不同桿件軸力進行識別時都有非常高的識別精度。

3.3 不同桿件長度

第1，2節以細長桿件作為研究對象，此時剪切變形對桿件動力學特性影響較小。為了驗證本文推導的動力學方程對剪切變形影響較大的桿件依然適用，本節分析了不同長度的桿件對軸力識別結果的影響。桿件兩端的軸向拉力為15 kN，桿件的長度分別為0.18，0.36，0.54，0.72和0.90 m。利用桿件的第3階模態信息進行軸力識別，詳細的識別結果如表4所示。

從表4中可以看出，文獻［21］的運動方程隨著桿件長度的減短，識別誤差在不斷增大。當L=0.90 m時，誤差僅0.093%，而當L=0.18 m時，識別誤差達到2.373%。而產生這種現象的原因是隨著桿件長度的減短，剪切變形對桿件動力學特性影響顯著。但對于本文提出的動力學方程而言，在任何長度下的識別結果都為15.000 kN，證明本文提出的動力學方程能更好地模擬剪切變形對桿件動力學特性的影響。

4 試驗分析

第3部分的數值分析證明本文提出的動力學方程的精確性，本節將再次通過試驗方式進行驗證。試驗數據來自文獻［13］，試驗桿件的結構參數與數值分析的完全相同，其中梁長L=0.72 m。5個A353B66加速度傳感器以等間距0.12 m布置在桿件上。動態激勵方式為單點錘擊，然后使用隨機子空間方法對采集到的加速度數據進行分析得到矩形桿件在不同荷載階段的前5階自振頻率和傳感器歸一化模態位移比信息，具體數據見參考文獻［13］。通過對比可以發現：本文表1數值模擬數據與文獻［13］的試驗數據相吻合，也驗證了數值模型的正確性。隨后使用本文推導的動力學方程對試驗桿件進行軸力識別，并與文獻［13］的軸力識別結果進行對比。表5和6分別列出了第1階模態和第4階模態在不同荷載工況下桿件的軸力識別結果和相對誤差。

從表中可知，對于第1階模態，采用本文提出的Timoshenko梁的動力學方程與文獻［13］中歐拉梁的識別結果相近，軸力識別精度最多提高0.20%。而對于第4階模態，本文識別精度顯著提高，其中在實際軸力為10 kN時，識別軸力達到9.79 kN，誤差為-2.10%，識別精度提高了6.90%。出現這種現象的主要原因是：對于梁的振動而言，高階模態的剪切影響不可忽略，因此采取本文推導的Timoshenko梁理論進行桿件識別時，具有更高的識別精度。上述試驗結果表明了本文提出的動力學方程的正確性和在軸力識別中的適用性，且能夠準確模擬實際桿件的振動情況。

5 結 論

本文從Reissner能量方程角度推導出軸力作用下的Timoshenko梁自由振動的方程，通過數值模擬和試驗測試兩個方面驗證了該方程的正確性和在桿件軸力識別中的適用性，主要結論如下；

（1）與經典動力學方程相比，本文提出的改進Timoshenko梁動力學方程更好地考慮了剪切變形對軸向桿件振動特性的影響，因此在桿件軸力識別中具有更好的精度。并且為以后推導更為復雜的梁的運動方程提供了一種思路。

（2）與歐拉梁理論相比，本文提出的改進Timoshenko梁動力學方程在低階模態下的軸力識別結果與歐拉梁的識別結果幾乎相同。而隨著模態階數的增加，本文提出的動力學方程識別結果更好。

（3）數值模擬和試驗都證明了本文推導的動力學方程能夠用于桿件的軸力識別中，并且能夠準確識別出不同工況下桿件的真實軸力。

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An enhanced dynamic equation for Timoshenko beams based on the Reissner energy function and its application to axial force identification

GUO Xin1，WEI Da3，YAO Ya-dong1，2，LI Dong-sheng4

（1.Transportation Institute of Inner Mongolia University，Hohhot 010070，China；2.Inner Mongolia Engineering Research Center of Testing and Strengthening for Bridges，Inner Mongolia University，Hohhot 010070，China； 3.State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China； 4. Guangdong Engineering Center for Structure Safety and Health Monitoring，Shantou University，Shantou 515063，China）

Abstract： The dynamic method for identifying axial force is grounded in vibration theory，making the vibration equation of a bar member crucial for accurate axial force estimation. Traditionally，the Timoshenko beam is derived from the equilibrium of transverse forces and moments. In this paper，an energy-based approach is applied to derive a new vibration equation for the Timoshenko beam under axial loading. The Ressiner energy equation for a Timoshenko beam，incorporating displacement，stress and axial force，is established using a condensation hypothesis from an energy perspective. The motion equation and stress equilibrium are calculated using the extremum principle，leading to a new free vibration equation for the Timoshenko beam under axial force. Compared to classical textbooks，the proposed dynamics equation includes two additional terms related to axial forces and shear effects. The new equation is validated through numerical simulations and laboratory experiments to identify the axial force in bar members. The results demonstrate that the proposed equation significantly improves the accuracy of axial force identification，confirming its correctness and applicability.

Key words： Timoshenko beam；free vibration；modal analysis；axial force identification

作者簡介： 郭 鑫（1991―），男，博士，講師。E-mail： guoxin@imu.edu.cn。

通訊作者： 李東升（1972―），男，博士，教授。電話： （0754）86502982； E-mail： lids@stu.edu.cn。