基于非線性能量匯胞元的浮筏隔振結構減重研究

摘要： 針對艦艇浮筏隔振系統設計技術瓶頸，特別是嚴格的重量和空間尺寸限制難題，基于非線性能量匯（Nonlinear Energy Sink，NES）的寬頻自適應性能，本文提出應用NES胞元（NES cell）的浮筏隔振結構設計減重方法。NES胞元分別并聯于浮筏隔振系統的所有子結構。建立4自由度的浮筏隔振系統和耦合NES胞元的減振系統的動力學模型，應用諧波平衡法（Harmonic Balance Method，HBM）推導出非線性系統的穩態響應滿足的近似解析表達式，并利用龍格?庫塔法（Runge?Kutta，RK）進行了數值驗證。通過力傳遞率響應對比了不同的系統總重量與胞元數目下的振動抑制效果，并分析了胞元數目和系統總重量對系統振動的影響。結果表明，NES胞元能夠在系統總重量降低的同時有效降低浮筏隔振系統全部模態的振動傳遞率。

關鍵詞： 浮筏隔振系統； 非線性能量匯胞元； 結構優化； 力傳遞率

中圖分類號： TB535； O322 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）10-1739-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.10.012

引 言

艦艇在航行過程中一直存在著振動問題，這對其舒適性和隱蔽性有非常大的影響［1］。為了控制船舶和潛艇的振動，浮筏隔振系統被提出。浮筏隔振系統具有結構簡單、可操作性強、減振效果好等優點［2?4］，可以有效地抑制動力設備傳遞到船體的振動和噪聲，已經在船艦上得到廣泛應用［5］。然而，浮筏隔振裝置的應用會占用船舶和潛艇中更多的重量與空間等資源，增加其總體的運行負擔。因此，降低浮筏隔振系統的總體重量并同時提高其隔振性能具有非常大的研究意義和實際工程價值［6］。

浮筏隔振系統由動力設備、上層隔振器、中間筏架和下層隔振器組成［7］。所有的動力裝置放置在中間筏架上，通過兩層隔振，傳遞到船體的振動可以被有效抑制。由于動力設備是提供能量的發電機組，其重量優化空間有限，因此針對浮筏隔振裝置的結構優化大多將中間筏架視為被優化的對象。近年來，許多學者對浮筏隔振系統進行了廣泛的研究。徐匡迪等［8］以一種平置板架式浮筏為研究對象，采用APDL語言零階優化方法對浮筏隔振結構進行了優化。王壯等［9］將桁架結構應用于傳統浮筏，形成一種新型桁架箱體浮筏隔振結構，并對其重量進行了優化。LEI等［10］采用雙層浮筏隔振系統和顆粒阻尼器組成的復合振動控制裝置來控制系統的劇烈振動。王鋒等［6］利用拓撲優化方法對浮筏隔振系統進行了優化，并采用功率流的分析方法研究了振動能量在浮筏隔振系統中傳遞的特性。綜上所述，浮筏隔振結構已經被廣泛研究并優化。然而，要在實現浮筏隔振系統減重的同時提升其振動抑制效果還存在困難，降低筏架重量并提高動力系統的振動控制效率仍然是目前研究的熱點問題。

非線性能量匯（NES）在過去幾年得到了廣泛的發展［11?13］。作為不含線性剛度的非線性系統，NES能夠在很寬的頻率范圍內抑制振動響應［14］，而且不影響主系統的諧振頻率［15］。主系統的振動能量可以靶向地傳遞到非線性振子，實現高效減振［16?18］。為了實現高可靠性和靈活通用性的寬頻自適應控制，NES胞元化減振策略被提出［19］。NES胞元的減振性能及其應用于不同主系統減振的有效性已被廣泛研究。李猛等［20］分析了由多個NES胞元耦合的遠大于單個NES重量的振動結構所組成的系統的整體響應特征，并研究了胞元數目對共振區響應狀態的影響。ZHENG等［21］將NES胞元應用在平板平臺上，解決了其多模態振動控制問題，并通過實驗進行了驗證。NES胞元的數目可以隨著不同主系統的振動控制需求而改變，用小重量、小尺度的減振胞元的組合替代大重量、大尺度的動力吸振器，能夠分布式應用于抑制系統的不同模態共振，提高NES的適用范圍。而且研究表明，胞元化的減振策略能夠提高NES對不同振動強度的自適應性［20］。

本文將NES胞元應用于浮筏隔振系統的結構設計和振動控制中，旨在通過引入NES胞元，在大幅提高中間筏架隔振效果的情況下，減輕系統的總質量。考慮3組動力設備和筏架系統，建立了4自由度浮筏隔振系統的動力學模型，并通過模態分析得到浮筏隔振系統的固有頻率與振型矩陣。采用力傳遞率來評價系統的減振效果，通過改變胞元數量與中間筏架重量，比較不同總重量的浮筏隔振系統的振動傳遞效果。

1 系統動力學模型與模態分析

船艦或潛艇中的動力設備是為其提供動力的發電機組，也是振動的主要來源。在浮筏隔振系統中，所有動力設備通過上層隔振器放置在中間筏架上，然后利用下層隔振器將筏架連接到船體上［22］。由此，本文建立了如圖1所示的4自由度浮筏隔振系統動力學模型。動力設備的重量一般為固定值，本文考慮的結構減重通過改變中間筏架的質量來實現。

在圖1所示的4自由度浮筏隔振系統力學模型中，3個動力設備的質量分別為M1，M2和M3，對應的位移分別為X1，X2和X3。中間筏架的質量為M0，位移為X0。上層隔振器由阻尼C1，C2，C3和線性剛度K1，K2，K3組成，下層隔振器由阻尼C0和線性剛度K0組成。

本文將3個動力設備運行時由于偏心轉動產生的慣性力視為系統的外激勵，分別作用在動力設備M1，M2和M3上。實際浮筏隔振系統中的外激勵形式是多樣的，可能存在相位差和幅值差。然而受限于篇幅，本文僅采用最簡單的激勵形式來證明NES 胞元對多自由度浮筏隔振系統振動控制和結構減重的有效性。將系統的外部激勵取為F = AΩ2sin（ΩT），其中，A為動力設備偏心質量與偏心距離的乘積；Ω為外激勵的圓頻率；T為時間，用于描述外激勵力隨時間的周期性變化。

浮筏隔振系統的運動微分方程寫為：

（1）

將式（1）寫為矩陣形式：

（2）

對應的無阻尼自由運動微分方程為：

（3）

其中，質量矩陣與剛度矩陣可分別表示為：

（4）

系統的位移向量表示為：

（5）

簡諧振動的解定義為：

（6）

式中 ω為浮筏隔振系統的固有圓頻率；X*為各節點的模態矩陣。

將式（6）代入式（3），得到：

（7）

在自由振動條件下，模態矩陣X*不全為0，于是得到：

（8）

浮筏隔振系統參數如表1所示。未進行結構減重前，筏架重量與動力設備總重量比值為72%［23］，動力設備和浮筏隔振系統總重量為309.6 kg。此外，動力設備偏心質量與偏心距離的乘積A = 0.1 kg·m。

本文對浮筏隔振系統的安裝模態進行分析，由于NES不含線性剛度，將NES胞元引入浮筏隔振系統后，系統的線性模態未受影響。通過求解式（8）可以得到浮筏隔振系統的固有頻率，然后將ω代入式（7）可以得到系統的振型向量。計算得到的浮筏隔振系統的固有頻率如表2所示。

計算所得模態矩陣為：

（9）

繪制浮筏隔振系統的模態振型圖如圖2所示。

根據模態分析結果，將浮筏隔振系統的前3階模態視為低階模態（20～60 Hz），第4階模態視為高階模態（110～140 Hz）。式（9）所示的模態矩陣中，低階模態下，3個動力設備的位移較大；高階模態oRh0YJx06HuSnmHHHlzKqER9jKZBt27f9lslwRIwLLk=下，中間筏架的位移較大。為保證NES胞元在系統總重量降低的同時有效降低浮筏隔振結構全部模態的振動傳遞率，將NES胞元安置在系統的所有子結構上。

2 NES 胞元減振系統動力學模型

如圖3所示，建立了耦合NES胞元的浮筏隔振系統減振模型，NES胞元的結構設計參考文獻［21］。NES胞元擺放在系統的所有子結構上，系統所受外激勵的作用位置不變，仍作用在動力設備M1，M2和M3上。3個動力設備與中間筏架上所添加的NES胞元的數目相同，均為n。圖4為單個NES胞元的動力學模型圖。

3個動力設備M1，M2和M3上添加的單個NES胞元質量分別為MN1，MN2和MN3，阻尼系數分別為CN1，CN2和CN3，三次非線性剛度系數分別為KN1，KN2和KN3。中間筏架上所添加的單個NES胞元質量、阻尼系數和三次非線性剛度系數分別為MN0，CN0和KN0。中間筏架與動力設備M1，M2和M3上添加的單個NES胞元的位移分別為XNz（z = 1，2，…，n），XNu（u = n+1，n+2，…，2n），XNv（v = 2n+1，2n+2，…，3n）和XNw（w = 3n+1，3n+2，…，4n）。即浮筏隔振系統的每個單獨子結構上擺放的NES胞元具有相同的附加質量、阻尼系數和非線性剛度系數。系統的運動微分方程為：

（10）

對于本文的非線性系統，可以采用諧波平衡法（HBM）求得近似解析解。假定減振系統的位移響應解析解為：

（11）

式中 Ai，j和Bi，j為調和系數，i = 0，1，…，3，Nz，Nu，Nv，Nw；諧波階數表示為j，其中j = 1，2，…，p。

系統的速度與加速度響應分別表示為：

（12）

（13）

將式（11）～（13）代入式（10）中，同時令τ =，并利用伽遼金法，式（10）可寫為：

（14）

式中 δ（τ） =，k通常與近似位移解的諧波階數相同。Rm的值分別為：

（15）

通過伽遼金法可以表示為：

（16）

式中 S = diag（D，D，D，D，D，D，D，D）； R = diag（R0，R1，R2，R3，R4，R5，R6，R7）。D的值為：

（17）

調和系數Ai，j和Bi，j的值可以通過雅可比矩陣得到，然后采用偽弧長法繪制系統的響應曲線。中間筏架的幅值響應與系統傳遞到船體的力Fb可分別表示為：

（18）

（19）

系統的力傳遞率（dB）定義為［24?25］：

（20）

式中 RMS（Fb）與RMS（F）分別表示傳遞到船體的力與激勵力的均方根值。本文將諧波階數考慮為3階。

浮筏隔振系統上添加的NES胞元的參數如表3所示，NES胞元參數的選取參考文獻［19］。單個NES胞元的附加質量與其相連接結構的質量比固定為0.2%，即MN0/M0=MN1/M1=MN2/M2=MN3/M3=0.2%。

為了驗證文中推導得到的近似解析解的準確性，可采用龍格?庫塔（RK）數值法繪制系統的響應曲線與之對比。通過HBM與RK獲得的耦合NES胞元的減振系統的中間筏架的幅頻響應對比如圖5所示，圖中f=Ω/（2π）；mreft，mpu分別表示中間閥架與動力設備的質量。取中間筏架與動力設備的質量比為72%，胞元數目n = 20，可以看出兩種分析方法得出的響應曲線具有高度的一致性。

3 浮筏隔振系統的結構減重

在本節中，通過調整NES胞元數量與中間筏架的重量來改變系統的總質量，比較了不同總重量下系統的力傳遞率響應，并分析了胞元數目與系統總重量對第1階模態振動的影響。同時將未添加NES胞元的浮筏隔振系統的力傳遞率?頻率響應繪制在圖6中，可以看出浮筏隔振系統在前3階模態處的力傳遞率分別為48.0，40.6和34.8 dB。高階模態處的力傳遞率為32.5 dB。可見系統在第1階模態處的力傳遞率是最大的。

同時為了描述中間筏架與3個動力設備的質量比值，定義如下等式：

（21）

式中 Mr和Mp分別表示中間筏架的質量和動力設備的總質量。選取4種筏架質量對比浮筏隔振系統的不同減振效果，分別取μ1=72%，μ2=60%，μ3=48%和μ4=36%。在筏架重量改變的同時調整線性剛度K0的大小，使得筏架的單自由度系統的固有頻率保持不變，即ω0=（K0/M0）1/2=109.2 Hz。

未添加NES胞元時，為了觀察筏架重量的改變對4種不同重量的浮筏隔振系統振動傳遞的影響，分別繪制低階和高階模態處的力傳遞率?頻率響應對比如圖7所示。未添加NES胞元時，同比改變筏架的重量和線性剛度K0會略微影響系統低階（前3階）固有頻率，但是對高階（第4階）模態的固有頻率和共振傳遞率的影響較大。隨著筏架重量的減小，浮筏隔振系統的第4階共振頻率隨之增大，第4階模態共振區域向高頻轉移，降低了高頻區的隔振效率，但是第4階模態共振的最大的力傳遞率略有減小的趨勢。

由于筏架重量降低后系統的減振效果沒有得到有效改善，為了補償振動控制效果，相應地增加NES胞元的數量。對應地將NES胞元數量分別選取為10，15，20和25個。系統的總質量等于3組動力系統的總質量、筏架的質量和各個子結構上NES胞元的總質量之和，即表述為：

（22）

于是，不同筏架質量與胞元數量下4種系統的總質量分別為：

（23）

4種重量系統與未受NES減振的浮筏系統（Uncontrol）的力傳遞率?頻率響應對比如圖8所示。圖8（a）和8（b）分別展示了低階模態和高階模態的力傳遞率。需要說明的是，改變筏架重量的同時，其上放置的單個NES胞元的附加質量與筏架的質量比保持MN0/M0=0.2%不變。也就是說，對應于不同筏架質量，并聯在各個子結構上的NES胞元總重量與各個子結構重量的比值分別為2%，3%，4%和5%。

NES本質上作為一個非線性系統，存在不影響主系統共振頻率的特點，所以與圖7的結果相比，NES胞元數目的增加未對系統低階和高階模態的共振頻率產生影響，即圖8中系統共振頻率的變化仍然是由筏架重量和線性剛度K0的改變而引起的。

由圖8（a）可見，對于前3階模態的低頻共振，較輕重量的筏架展示出更好的減振效果。隨著浮筏隔振系統總重量的減少，為了提高振動控制效果，NES胞元數目相應地增加。另外，由于NES與主結構的質量比增大，系統在低階模態處的力傳遞率響應峰值隨之降低，傳遞到船體的力也對應減小，筏架與NES胞元組合控制的減振效果變得更好。未添加NES胞元的原浮筏隔振系統總質量為309.6 kg。當μ = 36%，胞元數目n = 25，系統總質量為257.0kg，即浮筏隔振系統總質量減少52.6 kg時，系統前3階模態的力傳遞率響應峰值與未受控制的浮筏隔振系統相比分別降低21.1，24.2和27.2 dB。

由圖8（b）可見，對于第4階模態的高頻共振，較輕重量的筏架也同樣展示出更小的振動傳遞率。隨著NES與主結構質量比的增大，第4階模態共振的力傳遞率響應峰值隨之大幅減小，第4階模態共振的抑制效果變得更好。當系統總質量為257.0 kg，即浮筏隔振系統總質量減少52.6 kg時，系統第4階模態共振響應的力傳遞率峰值與未受控制的浮筏隔振系統相比降低了29.3 dB。圖9為未受控制浮筏隔振系統與4種不同總質量減振系統在全部模態處的力傳遞率?頻率響應對比，清晰地展示出了NES胞元對寬頻范圍內的所有共振峰的高效率減振作用。

基于上述分析可以得出結論，對于浮筏隔振系統全部模態的振動，利用NES胞元減振可以實現在更小的系統總質量下擁有更好的振動抑制效果，達到了浮筏隔振結構減重的目的。

4 結 論

（1）同比改變筏架重量和剛度K0對系統前3階固有頻率影響較小，但對第4階固有頻率影響較大，第4階固有頻率隨著筏架重量的減小而增大。

（2）通過引入NES胞元，可以在降低浮筏隔振系統總重量的同時降低各階模態共振的力傳遞率，實現更好的振動抑制效果。

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Weight reduction design of floating raft vibration isolation structure by using nonlinear energy sink cell

WANG Hong?li1，2，YIN Xue?wen1，DING Hu2

（1.China Ship Scientific Research Center，Wuxi 214082，China； 2. School of Mechanics and Engineering Science，Shanghai University，Shanghai 200444，China）

Abstract： Floating raft vibration isolation systems in the ships or submarines have the requirement of low weight and small volume. To reduce the weight of floating raft vibration isolation systems and improve its vibration suppression effect，nonlinear energy sink cell （NES cell） is applied to the structural optimization of the floating raft vibration isolation system. NES cells are placed on all the substructures of the floating raft system. The mechanical model of the floating raft system with four degrees of freedom and the vibration damping system with NES cell are established. The modal analysis of the floating raft system is carried out. The approximate analytical expression of steady-state response for nonlinear system is derived by Harmonic balance method （HBM） and verified by Runge-Kutta （RK）. The vibration suppression effect under the different total weight and NES cell number is compared by force transitivity response，and the influence of the NES cell number and total weight of the system for the 1st-order mode is analyzed. The results show that NES cell can effectively improve the vibration suppression efficiency of the floating raft system for all the modes while reducing the total weight of the system and realize the structural optimization of the floating raft system effectively.

Key words： floating raft vibration isolation system；nonlinear energy sink cell；structure optimization；force transmissibility

作者簡介： 王紅利（2000―），男，碩士研究生。E?mail： 22723948@shu.edu.cn。

通訊作者： 丁 虎（1978―），男，博士，研究員。E?mail： dinghu3@shu.edu.cn。