發展模型意識的要素化教學圖式構建

摘 要 模型意識是小學階段需要落實的數學核心素養之一。當下，發展模型意識的教學活動設計存在情境創設顯單一、探究靶向不精準、知識結構欠完整等問題，究其原因是一些教師在教學路徑規劃上存在盲區。因此，可以圍繞情境、表征和反思這些過程性教學要素構建教學圖式，直觀清晰地展現模型知識教學的主旨脈絡，據此探索核心素養培育教學的路徑轉化方法。

關 鍵 詞 小學數學；模型意識；要素化；教學圖式；逆向設計；活動路徑

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，小學階段重點發展學生的11項核心素養，模型意識是其中之一[1]。當下，一些學校、教師圍繞“發展模型意識”這一主題組織了多種形式的教研活動，積累了大量的教學實踐經驗，形成“識別現實情境，進行數學化后建構關系，經過一般化用以解決同類問題 ”的模型知識教學策略[2]。然而，從實際教學效果看，此種教學活動設計卻存在意圖不夠明確的問題，究其原因是一些教師存在教學路徑規劃的盲區，一定程度上遲滯了學生的模型意識發展。因此，本研究以“加法運算律”一課的教學為例，試圖構建要素化的教學圖式，直觀清晰地展現模型知識教學的主旨脈絡。

一、發展模型意識教學的問題審視

發展模型意識的教學立足真實情境問題，以數學實踐的方式表征模型特點，在建構數學模型的過程中促進學生產生深刻的學習感悟。然而，一些教師未能把握過程性教學要素，導致教學活動設計出現如下一些問題。

1.情境創設略顯單一

以豐富多樣的情境為載體，形成系列化的問題探討，有利于培養學生層層深入的探索精神[3]。指向發展模型意識的情境素材要貼近兒童生活，在問題視角上能展現出類型化的特點，確保學生從一類問題或現象中發現規律，進而展開抽象概括并建立數學模型。然而，在教學實踐中，情境及其問題的創設往往顯得比較單一，即提供單一事件或場景作為學習的背景素材，以及從單一的視角提出數學問題引發學生思考。殊不知，單一有時意味著孤立、片面，易出現學生接受有效信息不多、建模思維發散、聯想與聚合困難等問題，從而降低學生的認知活躍度和參與學習的動力。

2.探究靶向不夠精準

經過思維探究和知識運用獲得的知識更具使用價值，能為學習者所遷移和使用[4]。其中“探究”可以成為引發具身體驗、形成認知理解、獲得學習感悟等一系列認知學習行為的發起點，架構起“探究—體驗—理解—感悟”的模型意識發展路徑。但在教學實踐中，“探究”活動往往圍繞數學模型是什么而展開，卻很少探究建立數學模型的緣由。換言之，探究之路遵循知識邏輯，卻不考慮學生的認知邏輯。如此，必然會陷入“關注知識、不關注學生”“重形式，不重實質”的窠臼，使學生對數學模型知其然，而不知其所以然。這反映出探究教學的靶向不夠精準，影響后續模型知識的遷移及使用。

3.知識結構不夠完整

模型知識的學習過程實質上是一個“特殊—一般”認知發展過程，在此過程中，不僅要解決個別問題，還要反思普遍現象；不僅要縱深挖掘內涵，還要橫向延展知識；不僅要突破知識點，還要勾勒知識面。然而，在教學實踐中，一些教師的模型知識教學始終聚焦在某個點上，具體表現為就樣本講樣本、就概念講概念、就模型講模型等等。樣本、概念和模型三者間只有建立有效的聯系，才能進階至結構化的認識水平。而學生腦海中的模型知識零散、不成體系的現狀，與“將符號代表的新知識與學習者認知結構中已有的觀念建立非人為的和實質性的聯系”的要求相背[5]。

二、發展模型意識要素化教學圖式的構建

面對上述發展模型意識教學活動的設計問題，教師應緊扣情境、表征和反思這些過程性教學要素，建構相應的教學圖式，將“預設”轉化為實際的教學活動[6]，促進學生模型意識的發展。

1.情境圖式，喚醒認知經驗

學生的數學學習是在特定的情境中主動運用已有的知識經驗、嘗試建構新意義的過程[7]。指向模型意識的情境圖式主要圍繞“選擇什么樣的素材”“提出何種數學問題”“生成哪些樣本”“產生怎樣的認知困惑”等問題展開教學預設，形成問題導向下的主體經驗生長式活動路徑。

以“加法運算律”教學為例。基于教材的知識背景，情境的創設可以將生活場景作為情境教學的素材，以問題串的形式喚醒學生認數、加法運算等方面的經驗，生成“步數相同、數據相異”的等式樣本；并針對等式樣本展開初步研究，在深入反思的過程中引發學生產生新知學習的困惑，為探究新知、發現模型知識本質積累豐富的教學素材（如圖1）。

2.表征圖式，定位探究靶點

一目了然的知識性材料是無所謂探究的[8]。探究活動設計的邏輯是：學生哪里出現認知問題，研究的方向就指向哪里。表征圖式一方面將學生的新知學習困惑轉化為具有實踐性特征的探究任務；另一方面，還要預設科學的數學實踐方式，以及可能生成的思維成果。因此，這一圖式不僅能準確定位探究活動的靶點，還能指明以數學實踐為導向的自主化活動路徑。

教學“加法運算律”一課，針對學生中出現的“等號兩邊的加數位置是怎樣改變的？”“等號兩邊的括號位置改變、沒括號和括號在后面的情況意味著什么？”等學習困惑，探究活動可以以此作為認知突破的靶點，引導學生使用文字、數字、符號等展開表征操作，經歷“生疑—解惑”的問題解決過程，生成有關加法交換律、加法結合律可視的、個性化的思維成果（如圖2）。

3.反思圖式，建立知識結構

反思的目的是把已經能夠進行心理操作的數學基本活動經驗，抽象概括為數學的基礎知識[9]。從教學過程上看，反思圖式要預設數學模型的建構路徑，即從反思原始樣本開始，經歷抽象基本概念、建立數學模型、延伸模型形式等過程，形成指向結構化認知的活動路徑。從教學結果上看，反思圖式要能體現樣本、概念和模型三者間的聯系，系統呈現模型的知識結構。

以“加法運算律”教學為例，反思活動圍繞類型化的等式樣本展開，首先分析樣本特點，抽象概括“加數相同”“和不變”“加數位置改變”等加法交換律概念，以及“加數位置不變”“運算順序改變”的加法結合律概念；接著，展開類比和推理，建立加法交換律、加法結合律的數學模型；然后，進行關聯和延展，挖掘出加法交換律、加法結合律模型的新形式，進而完成加法運算律的知識結構搭建（如圖3）。

三、發展模型意識要素化教學圖式的路徑轉化

靜態的情境、表征和反思圖式要能轉化為動態的實踐活動路徑，并以此溝通經驗與內容、知識與素養、過程與方法等要素間的聯系，使得單一的教學部分或單個的教學要素得以演進，并向整體、縱深發展。

1.情境圖式的路徑轉化：從“入境”到“生疑”

反向思考情境圖式，教師需要將其轉化為“呈現情境—生成樣本—衍生疑問”的活動路徑，將學生卷入情境內容中，主動運用已有的知識經驗解決問題，確保樣本素材的出現和認知疑惑的產生，為后續組織、開展探究活動奠定基礎。

（1）呈現情境。與其他素養導向的情境創設要求一致，發展模型意識的情境素材選擇要貼近學生的生活經驗、年齡特點和認知加工特點，構造的學習場景要真實可信且具吸引力，使學生自然地入“境”、生“情”。如，教學“加法運算律”。教師可以引入諸如跳繩比賽、分享食物、購買文具等生活場景，并提出整數、分數、小數等加法運算問題。通過情境問題喚醒學生已有的知識經驗，快速進入思維加工的準備狀態，嘗試解決數學問題。

（2）生成樣本。一般而言，數學模型的建構主要采用不完全歸納的推理思維。因而，情境中的問題設

（3）衍生疑問。情境創設不只為了引導學生展開先驗性學習，還要為后驗性學習埋下伏筆。先驗性學習主要表現為：喚醒學生已有知識經驗，生成類型化樣本，發現樣本的基本特征等；后驗性學習則以產生認知困惑、催生學習動機為標志。如教學“加法運算律”，通過分析等式樣本，學生不僅發現等式的變化特點，還衍生出“等號兩邊的加數位置是怎樣改變的”“等號兩邊的括號位置改變，沒括號和括號在后面究竟意味著什么”等認知困惑，這就引發了深度學習的心理需求，開啟了后驗性學習的進程。

2.表征圖式的路徑轉化：從“實踐”到“表達”

模擬與反推表征圖式，教師需要將其轉化為“布置任務—探究表征—小組評議”的活動路徑，驅動學生自主展開表征、展示、評議等活動，探索模型知識的本質，促進學生群體核心素養的協同發展。

（1）布置任務。探究任務是將學生的認知困惑轉化為以實踐性研究為主的、展現自主學習動能和個性化思考的、最終獲得模型知識本質理解的學習活動。如教學“加法運算律”，針對學生提出的“等號兩邊加數位置怎樣改變”這一問題，教師可以布置“用自己喜歡的方式表示加數位置如何改變的，可以畫一畫、寫一寫，并與小組同學分享自己的方法”的探究任務，引導學生展開數學實踐活動，表征數學問題的思考，展現個性化的思維成果。

（2）探究表征。表征既是數學的一部分，又是理解數學的一個教學手段[10]。面對多元特質的學生，教師能做的是凸顯個性化思維以增加表征的多樣化，由此提升學生的關鍵能力和學習品質。如教學“加法運算律”，探究“加數位置怎樣改變”這一問題時，有學生用“前”“后”這樣的文字表達加數位置變化情況；有學生用①、②這樣的數字符號說明加數位置變化情況；還有學生用“箭頭”這樣的圖式演繹加數位置的變化。上述借助表征操作而形成的思維成果不僅可以展現學生的數學理解力，還發展了數感、符號意識等核心素養。

（3）小組評議。對于某一問題的思考要能從個人觀點走向群體共識，以體現認知學習的社會性。因此，模型知識教學過程有必要引入小組評議環節，以促成大面積、大體量的師生間對話交往活動，使得核心素養在群體范圍內得以發展。正如前文所言，學生圍繞“加數位置怎樣改變”這一問題展開表征操作，生成了多樣性的、個性化的思維成果。對此，教師可以先行安排組內研討、再行組間評議，進而發展學生群體的推理意識，形成“交換等號兩邊的加數位置，和依然不變”的本質思考。

3.反思圖式的路徑轉化：從“關聯”到“結構”

逆向思考反思圖式，教師可以將其轉化為“產生關聯—多向延展”的活動路徑，引導學生經歷具有關聯性、延展性的模型知識思考過程，展現結構化的認知和理解，進入大單元學習的孕伏狀態。

（1）產生關聯。當知識以一種結構化的形式儲存時，便可大大提升知識應用時的檢索效率[11]。模型知識結構的產生具有階段性，主要經歷“樣本”與“概念”、“概念”與“概念”，以及“概念”和“模型”等關聯性思考過程。如教學“加法運算律”，一步計算的加法等式樣本與“加數不變”“加數位置改變”“和不變”等概念產生關聯，能建立“樣本”和“概念”的解釋結構；“加數不變”“和不變”等概念自身的關聯，能建立“概念”與“概念”的邏輯結構；“加數不變”“加數位置改變”“和不變”與“a+b=b+a”產生關聯，能建立“概念”與“模型”的轉換結構。上述的結構集合催生了模型的知識結構，有助于學生理解記憶和遷移使用。

（2）多向延展。模型知識的學習不能僅局限于當前的問題研究、拘泥于課時內容的教學，還要盡力向單元及域外延展。其一，課時內容的橫向擴展。如，圍繞課時內容，可以提出“有沒有一種等式既包含加法交換律，還蘊含加法結合律”的引申性問題，延展建立加法交換律、加法結合律的數學模型；再如，提出“加法交換律和加法結合律有什么相同點和不同點”的比較性問題，順勢構造“加法運算律”的特征框架（見表1）。其二，單元教學的縱向延伸。如聯系單元教學，可以提出諸如“除了加法運算律，其他運算是否也存在運算律”“除了‘和不變’這樣的等式形式，還有沒有別的等式形式”等聯想性問題，勾連運算律單元的其他內容，促成新的認知學習導向。

模型知識教學不只在于建構和識別模型，還包括運用模型解決問題、體會模型價值等內容。對此，教師先行構造相應的教學圖式，據此逆向轉化為符合學生認知規律的、能有效促進核心素養發展的活動路徑，這應成為一線教師實踐課程標準、提升專業教學能力的應然追求。

參考文獻

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