多角度 拓思維 研一題 通一類

摘要：本文中針對2023年全國甲卷理科第16題，在研究其若干解法的基礎上，溯源人教A版新教材，總結求解“爪型”三角形的通法，探究問題的本質以及變式題的編制.

關鍵詞：“爪型”三角形;一題多解;全國甲卷理科第16題

1 真題呈現

（2023年全國甲卷理科第16題）在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，BC=6，D為BC上一點，AD為∠BAC的平分線，則AD=.

2 解法探究

數學家波利亞［1］在《怎樣解題》中將解法的思維過程分解為弄清題意、制定計劃、執行計劃、檢驗回顧四個步驟，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著.針對本題，便可以按照這四個步驟解決問題：

（1）弄清題意：已知三角形的兩邊及其中一個對角，求已知角的角平分線長.

（2）制定計劃：對于解“爪型”三角形的問題，考慮解兩個三角形或添加輔助線來求解.

（3）執行計劃：實行解決方案，核對每個步驟.

（4）檢驗回顧：核驗答案，總結建模.

上海市特級教師文衛星［2］老師主張以思維導圖的形式對解題思路進行形象總結，此題解法思維導圖如圖1所示.

已知兩邊與其中一邊的對角a=6，c=2，A=π3

進一步，解△ABC由正弦定理得：C=45°B=75°

第二步，解△ABD，∠ADB=75°AD=AB=2

第一步，解△ABD，∠ADB=75°AD=AB=2

3 試題解析

思路1：角度關系.

解法1：正弦定理.

第①步：在△ABC中，因為AB=2，∠BAC=60°，BC=6，所以

由正弦定理得csin C=asin A，

即2sin C=632=22，

則sin C=22.

又AB<BC，所以C為銳角，因此C=45°，B=75°.

第②步：在△ABD中，∠BAD=30°，∠B=75°，所以∠ADB=75°，即△ABD是等腰三角形.

因此AD=AB=2.

解法2：余弦定理1.

在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，BC=6，由余弦定理有cos ∠BAC=AB2+AC2－BC22AB·AC，

代入可得AC2－2AC－2=0，解得AC=1+3（舍負）.

第①步：在△ABC中，已知AB=2，BC=6，AC=1+3，

所以cos ∠ABC=AB2+BC2－AC22AB·BC=6－24，解得B=75°.

第②步：在△ABD中同解法1，有AD=AB=2.

解法3：余弦定理2.

同解法2，有AC=1+3.

第①步：在△ABC中，已知AB=2，BC=6，AC=1+3，

由cos ∠ACB=AC2+BC2－AB22AC·BC=22，得C=45°，所以B=75°.

第②步：在△ABD中同解法1，有AD=AB=2.

解法4：張角定理.

同解法2，有AC=1+3.

由張角定理可以得到sin ∠BADAC+sin ∠CADAB=sin ∠BACAD，即12AC+12AB=32AD，

所以AD=2.

附張角定理及其證明：

定理內容：如圖2所示，在三角形ABC中，D是邊BC上一點，∠CAD=α，∠BAD=β，則sin （α+β）AD=sin αAB+sin βAC.

簡證：由S△ABC=S△ACD+S△ABD=

12AC·AB＼5sin （α+β）=12AB·ADsin β+12AC·ADsin α，整理即得sin（α+β）AD=sin αAB+sin βAC.

點評：

（1）解法1～3都是通過計算三角形中的不同角度，再利用內角和定理求解三角形.可見，通法之下也有很多變化.解法4的張角定理是初中補充的一個平面幾何知識，若知道這個定理可實現秒殺.

（2）解兩個三角形是“爪形”三角形問題求解的典型方法.

思路2：長度關系.

解法5：角平分線定理1.

同解法2，有AC=1+3.由角平分線定理可得BDCD=ABAC=23+1，

所以BD+CDCD=3+33+1=3.整理得6CD=3，所以CD=2.

在△CAD中，根據余弦定理可得cos ∠CAD=AC2+AD2－CD22×AC×AD=32，解得AD=2.

解法6：角平分線定理2.

第①步：同解法5，有CD=2，則BD=6－2.

第②步：在△ABD中，由余弦定理得cos ∠BAD=AB2+AD2－BD22×AB×AD=32，解得

AD=2.

解法7：角平分線定理3.

第①步：同解法5，有CD=2.

第②步：在△ACD和△ABC中，由余弦定理有cos C=AC2+CD2－AD22×AC×CD=AC2+BC2－AB22×AC×BC.

解得AD=2.

解法8：斯庫頓定理.

第①步：同解法6，有CD=2，BD=6－2.

第②步：由斯庫頓定理，得AD2=AB·AC－BD·CD=2（3+1）－2（6－2）=4.

所以AD=2.

附斯庫頓定理及其證明：

定理內容：在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，則AD2=AB·AC－BD·CD.

證明：如圖3所示，作△ABC的外接圓，延長AD交圓于點E，連接CE，

則∠ABD=∠AEC.由角平分線，得∠BAD=∠EAC.

所以△ABD∽△AEC，有ABAD=AEAC.

所以AB·AC=AD·AE=AD·（AD+DE）=AD2+AD·DE.

由相交弦定理有AD·DE=BD·CD，所以AB·AC=AD2+AD·DE=AD2+BD·CD，

所以AD2=AB·AC－BD·CD.得證.

點評：解法5～8都是通過角平分線定理得到兩條線段的長度，再使用余弦定理或斯庫頓定理，從三角形中的長度關系尋找到目標邊長.解題過程中由于選擇的三角形不同，運算難度也有所不同，解題時要學會篩選出運算量更小的幾何圖形.

思路3：面積關系.

解法9：面積法1.

同解法2，有AC=1+3.

第①步：S△ABC=12AB·ACsin 60°=3+32.

第②步：S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB·AD＼5sin 30°+12AC·ADsin 30°=3+34AD.

所以AD=2.

解法10：面積法2.

同解法2，有AC=1+3.

第①步：如圖4，過點D作DE⊥AB于點E，過D點作DF⊥AC于點F，設DE=DF=h.

第②步：S△ABC=12AB·AC＼5sin 60°=3+32.

又S△ABC=12（AB+AC）h=3+32h，

所以h=1，則AD=2h=2.

解法11：面積法3.

同解法2，有AC=1+3.

第①步：由角平分線的性質有S△ACDS△ABD=ACAB=3+12，所以S△ACD=3+12S△ABD.

因此S△ABC=S△ABD+S△ACD=3+32S△ABD.

第②步：又因為S△ABC=12AB·ACsin 60°=3+32，所以S△ABD=1.

所以S△ABD=12AB·ADsin 30°=12AD=1.

所以AD=2.

點評：解法9～11都是從面積來入手，由于三角形角平分線模型中蘊含“同高”“等高”的特點，巧用三角形的面積公式，可以直觀、快速地建立起邊角關系，突破難點.面積法的核心原理是“算兩次”，即通過兩個不同切入點，依據等面積或面積之比來建立方程求解，這與立體幾何中的等體積法的原理相同.計算△ABC面積的不同方法就形成不同的解法.

思路4：平面幾何法.

解法12：作垂線.

如圖5所示，過點B作AC的垂線交AC于點E.

第①步：在△ABE中，因為∠BAE=60°，∠AEB=90°，所以∠ABE=30°.

又AB=2，所以在直角三角形△ABE中，可得AE=1，BE=3.

第②步：在直角三角形BEC中，BC=6，BE=3，所以EC=3，則

∠CBE=∠ECB=45°.

因此∠ABD=∠ABE+∠EBC=75°，

∠ADB=∠DAC+∠ACD=75°.

所以AD=AB=2.

解法13：作平行線.

如圖6所示，過點D作AB的平行線交AC于點E，則∠ADE=∠BAD=∠DAE=30°.

設AE=DE=x.

同解法2，有AC=1+3，則EC=3+1－x.

又△ABC∽△EDC，所以ECED=ACAB，即3+1－xx=3+12，解得x=233.

在△ADE中，DE=233，∠DAE=30°，∠AED=120°，所以

由正弦定理得ADsin 120°=233sin 30°.

所以AD=2.

點評：在平面幾何中，作垂線或平行線是常用的添加輔助線的方法.解法12是作垂線，對于已知兩邊與其中一邊對角的解三角形問題，都可以從已知的兩邊交點出發作高，構造兩個直角三角形，再從已知角的直角三角形開始求解，兩個直角三角形的邊角均可解出.解法13則是添加平行線利用相似三角形求解.

思路5：向量工具.

解法14：坐標法.

同解法2，有AC=1+3.

第①步：如圖7所示，以A為坐標原點，AD所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系.

由|AB|=2，|AC|=3+1，∠BAD=∠CAD=30°，且點C，B分別在第一、四象限，可得B（3，－1），C3+32，3+12.

第②步：設D（x，0），由BC，BD共線可得1x－3=3+13－1，

解得x=2.

所以AD=2.

解法15：基底法1.

同解法2，有AC=1+3.

第①步：因為AD平分∠BAC交BC于點D，所以

由三角形內角平分線定理有BDCD=ABAC=21+3，

所以BD=23+3BC.

所以AD=AB+BD=AB+23+3BC=AB+23+3（AC-AB）=

23+3AC+1+33+3AB.

第②步：上式兩邊平方得|AD|2=1（3+3）2＼5［4（1+3）2+4（1+3）2+4（1+3）2］=4.

所以AD=2.

解法16：基底法2.

第①步：同解法15，有BD=23+3BC，所以AD=AB+BD=23+3AC+1+33+3AB.

第②步：又AB·AD=2|AD|cos 30°=3|AD|，

所以AB·AD=AB·23+3AC+1+33+3AB=63=3|AD|，解得|AD|=2.

所以AD=2.

點評：解法14～16通過將幾何問題代數化的思路，利用向量作為工具將形和數結合在一起.利用平面向量解決幾何問題的兩種常用解法為坐標法和基底法.用坐標法解決，關鍵在于建立恰當的坐標系.用基底法解決，關鍵在于選擇合適的基底向量.

本題的解題思路如圖8所示.

4 題目溯源

解“爪型”三角形在近幾年的高考試題中曾多次出現，在教材中也存在以中線和角平分線為背景的“爪型”三角形.

溯源1（人教A版標準實驗教科書必修5第20頁，習題1.2A組第13題）

△ABC的三邊分別為a，b，c，邊BC，CA，AB上的中線分別記為ma，mb，mc，應用余弦定理證明：

ma=122（b2+c2）－a2，

mb=122（a2+c2）－b2，

mc=122（a2+b2）－c2.

溯源2（人教A版標準實驗教科書必修5第19頁，習題1.2A組第3題）

如圖9，已知一艘船以30 n mile/h的速度往北偏東10°的A島行駛，計劃到達A島后停留10 min后繼續駛往B島，B島在A島的北偏西60°的方向上.船到達C處時是上午10時整，此時測得B島在北偏西30°的方向，經過20 min到達D處，測得B島在北偏西45°的方向，如果一切正常的話，此船何時能到達B島？

5 變式練習

（1）△ABC中，∠BAC=60°，∠BCA=45°，AB=2，∠BAC的角平分線交BC于點D，則BA·BD=.

（2）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，BC=27，∠BAC的角平分線交BC于點D，則AD=.

參考答案：（1）4－23；（2）43.

參考文獻：

［１］波利亞.怎樣解題［Ｍ］.徐泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2007.

［2］文衛星.用思維導圖解答壓軸題——從通法到“秒殺”——以解析幾何為例［Ｊ］.中學數學，2021（9）：54-55，63.