六點(diǎn)搞定課堂情境與問題創(chuàng)設(shè)的有效性

摘要：創(chuàng)設(shè)情境、問題驅(qū)動、合作探究、經(jīng)歷過程已經(jīng)成為新課標(biāo)數(shù)學(xué)教學(xué)的理論共識.但具體到課堂實踐中，如何真正有效實施？本文中以一節(jié)課的實施過程為線索，提出了“從單元教學(xué)入手，整體理解教材；從核心概念深入，提煉基本問題；從兩個維度切入，體驗發(fā)現(xiàn)過程；從學(xué)生認(rèn)知著手，呈現(xiàn)教育形態(tài)；從導(dǎo)問環(huán)節(jié)精進(jìn)，追求有效引導(dǎo)；從活化練習(xí)拓展，構(gòu)建真實問題”六點(diǎn)策略，以發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：情境；問題；實施策略

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《課標(biāo)2017版》）提出，教師在使用新教材的過程中，要以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的問題，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式［1］.《課標(biāo)解讀》進(jìn)一步指出，核心素養(yǎng)是在特定情境中表現(xiàn)出來的知識、能力和態(tài)度，情境和問題是聯(lián)系在一起的，一個情境是否合適并不僅僅取決于情境本身，而在于所提出的問題是否能夠揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì).

創(chuàng)設(shè)情境、問題驅(qū)動、合作探究、經(jīng)歷過程已經(jīng)成為新課標(biāo)數(shù)學(xué)教學(xué)的理論共識.但具體到課堂實踐中，如何真正有效實施？筆者結(jié)合自己的教學(xué)實踐和粗淺思考，以人教A版教材

“10.1.1有限樣本空間與隨機(jī)事件”為例，提出情境與問題在教學(xué)實施中的六點(diǎn)策略，僅供參考.

1 立足點(diǎn)：從單元教學(xué)入手，整體理解教材

“重視以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領(lǐng)，使課程內(nèi)容情境化，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實”的新課標(biāo)精神，要求數(shù)學(xué)教學(xué)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性，要以適切的情境和高質(zhì)量的問題促成核心概念的思維建構(gòu)過程、基本思想領(lǐng)悟過程、基本活動經(jīng)驗的積累過程［2］.這就倒逼教師要深入到數(shù)學(xué)內(nèi)部研究教材內(nèi)容，明晰教材的整體知識結(jié)構(gòu)以及各知識點(diǎn)在單元內(nèi)部、課時之間、數(shù)學(xué)內(nèi)外部之間的聯(lián)系，洞悉知識背后的思想及相互聯(lián)系.了解單元與數(shù)學(xué)學(xué)科整體結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，以學(xué)科知識的整體結(jié)構(gòu)統(tǒng)攝課時內(nèi)容.

筆者執(zhí)教本課的思考流程如下.翻開教材先問自己第一個問題：這節(jié)課“教什么？”促使自己思考概率論是什么？因而找到章引言中的學(xué)科價值——概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律……然后思考第二個問題：“為什么教？”促使自己思考高中階段為什么要學(xué)習(xí)它？進(jìn)而找到概率論的育人價值——通過對隨機(jī)現(xiàn)象的探索……發(fā)展學(xué)生認(rèn)識不確定性現(xiàn)象的思維模式，使學(xué)生學(xué)會……成為……的人才.再思考第三個問題：“怎么教？”從而開啟了教學(xué)分析——一看課程標(biāo)準(zhǔn)的要求制定教學(xué)目標(biāo)，二看教材設(shè)計思路構(gòu)思教學(xué)資源，三看學(xué)生基礎(chǔ)創(chuàng)設(shè)問題與情境，系統(tǒng)梳理后鎖定概率的單元整體化研究路徑為：從具體實例中抽象概念（樣本點(diǎn)、樣本空間、隨機(jī)事件）并將隨機(jī)事件數(shù)學(xué)化→事件的關(guān)系與運(yùn)算→古典概型→概率的基本性質(zhì)→事件的特殊關(guān)系（獨(dú)立性）→頻率與概率關(guān)系、隨機(jī)模擬試驗→概率計算手段的進(jìn)一步擴(kuò)大（條件概率、全概率公式、貝葉斯公式）……

本單元研究概率可以使用的數(shù)學(xué)方法有：歸納（從直觀例子中抽象出核心概念）、類比（類比函數(shù)）、一般化、特殊化.要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)有：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算.

具體到“10.1.1有限樣本空間與隨機(jī)事件”，這一課時在單元中的地位屬于預(yù)備知識，在教材中屬于起始課，承擔(dān)的主要任務(wù)是抽象概率的研究對象，了解本章的研究內(nèi)容和研究路徑，重點(diǎn)是理解三個概念（樣本點(diǎn)、樣本空間、隨機(jī)事件）.難點(diǎn)是結(jié)合生活實例歸納隨機(jī)實驗的三個特征，并將隨機(jī)試驗結(jié)果數(shù)字化，這二者都是在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.本課教學(xué)實施可“以隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)字化”為導(dǎo)向，“以不同語言的相互轉(zhuǎn)化”為參照，按照“呈現(xiàn)生活中的隨機(jī)現(xiàn)象實例→歸納隨機(jī)試驗的特點(diǎn)→隨機(jī)試驗的數(shù)字表達(dá)（先解決樣本點(diǎn)、樣本空間的概念）→（集合視角下）隨機(jī)事件的數(shù)字表達(dá)”的研究路徑來組織.

基于以上教材分析，創(chuàng)設(shè)各類情境問題貫穿本節(jié)課教學(xué)始終，圍繞隨機(jī)現(xiàn)象的特征，樣本點(diǎn)、樣本空間、隨機(jī)事件的概念及其關(guān)系等提出問題是發(fā)展思維的關(guān)鍵.課堂中問題與情境的創(chuàng)設(shè)，不能孤立地關(guān)注某些環(huán)節(jié)，而應(yīng)從整體上思考，注重所創(chuàng)設(shè)的情境、所解決的問題是否承載了核心素養(yǎng)的目標(biāo)，是否能激起學(xué)生持久的思考和探究，從單元教學(xué)入手，整體理解教材應(yīng)成為課堂情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計的立足點(diǎn).

2 關(guān)鍵點(diǎn)：從核心概念深入，提煉基本問題

“核心概念”也稱為大概念或核心任務(wù)，是指能夠強(qiáng)化學(xué)生思維、連接不同知識片段、使學(xué)生具備應(yīng)用和遷移能力的工具，它可以是一個詞、一個短語、一個句子或一個問題.“基本問題”指的是能促進(jìn)對某一特定主題內(nèi)容的理解、能激發(fā)知識間的聯(lián)系和遷移、并指向和突出核心概念的好問題，是學(xué)生深入理解核心概念的階梯.

在本課中，核心概念是隨機(jī)事件，樣本點(diǎn)和樣本空間是為了將隨機(jī)試驗的結(jié)果轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言而引入的必備概念.為了讓學(xué)生理解什么是隨機(jī)事件，可以提出這樣一些基本問題：什么是隨機(jī)現(xiàn)象？隨機(jī)現(xiàn)象的研究對象是什么？什么是樣本點(diǎn)？什么是樣本空間？樣本點(diǎn)、樣本空間與隨機(jī)事件三者之間是什么關(guān)系？教材說“隨機(jī)事件是樣本空間的子集”，由此你能聯(lián)想隨機(jī)現(xiàn)象與樣本空間是什么關(guān)系？設(shè)計意圖是期望學(xué)生類比隨機(jī)實驗，即每個可能結(jié)果數(shù)字化樣本點(diǎn)ω（元素），隨機(jī)事件數(shù)字化樣本空間的子集A（集合），得出“隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)字化樣本空間（全集）”的結(jié)論.通過這一系列問題的設(shè)計，幫助學(xué)生理解隨機(jī)試驗數(shù)字化的路徑：“每個可能結(jié)果∈隨機(jī)事件隨機(jī)現(xiàn)象”

數(shù)學(xué)化為

“樣本點(diǎn)ω∈樣本空間的子集A樣本空間Ω”.

后續(xù)的課堂環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生觀察試驗（擲一枚硬幣、投一枚骰子、電路元件的工作狀態(tài)）結(jié)果，寫出試驗的樣本空間，進(jìn)一步感受用數(shù)字表達(dá)結(jié)果的簡潔性和必要性.這種從核心概念深入，提煉基本問題，以生活化情境問題為素材搭建由直觀到抽象橋梁的策略，較充分地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

3 基準(zhǔn)點(diǎn)：從兩個維度切入，體驗發(fā)現(xiàn)過程

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)“數(shù)字化”的過程.從現(xiàn)實情境發(fā)現(xiàn)問題并抽象出數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)問題的符號化過程稱為“橫向數(shù)字化”，從不同角度和層次分析、表征與解決模型或問題的形式化過程為“縱向數(shù)字化”［3］.組織教學(xué)要根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和實際生活經(jīng)驗，將一系列教學(xué)材料通過“再組織”將之“數(shù)學(xué)化”地組織起來，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)創(chuàng)設(shè)問題和情境，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的再發(fā)現(xiàn)過程.因此可以從兩個維度切入：

維度一：如果數(shù)學(xué)問題來源于生活問題或科學(xué)問題，情境創(chuàng)設(shè)要盡可能與學(xué)生生活實際密切聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的生活價值或科學(xué)價值，引領(lǐng)學(xué)生沿著“橫向數(shù)字化”抵達(dá)數(shù)學(xué)模型或問題的領(lǐng)域.

維度二：如果知識產(chǎn)生于數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展需要，可在數(shù)學(xué)內(nèi)部將概念或原理情境化，或創(chuàng)設(shè)微情境使得抽象的符號具象化，幫助學(xué)生將一個個數(shù)學(xué)概念、原理、公式、法則有機(jī)地組織在一起，形成完善的知識體系，從而獲得對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

概率單元中，概率是高度抽象的核心大概念，為了讓學(xué)生理解概率，在具備預(yù)備知識后，先借助古典概型這個直觀示例，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般直觀感受概率，再結(jié)合現(xiàn)實生活中的豐富實例（擲硬幣、投骰子、抽獎、摸球等）歸納概率的特征，從而“橫向數(shù)字化”形成對概率的直觀認(rèn)識.然后類比函數(shù)的研究路徑，從概率的非負(fù)性、規(guī)范性、可加性、單調(diào)性、加法公式等性質(zhì)，逐步拓展學(xué)生對概率本質(zhì)的理解（思維路徑：描述性定義→古典概率定義→頻率定義→公理化定義），在數(shù)學(xué)內(nèi)部建立起概率結(jié)構(gòu)體系，從而實現(xiàn)“數(shù)字縱向化”.最后通過模型化思想、特殊與一般等手段擴(kuò)大概率解決實際問題的領(lǐng)域.也就是說，學(xué)習(xí)路徑為：現(xiàn)實問題橫向數(shù)字化數(shù)學(xué)問題縱向數(shù)字化學(xué)科知識體系應(yīng)用現(xiàn)實問題.

第一個維度中的情境或問題可以是現(xiàn)實情境，多角度的直觀具體的問題.第二個維度因為指向?qū)W科知識體系，因此應(yīng)該多創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，確定好核心大問題及必要的小問題.從橫縱兩個維度切入，既讓學(xué)生經(jīng)歷了知識再發(fā)現(xiàn)過程，又推動了學(xué)生的思維向縱深發(fā)展.

4 核心點(diǎn)：從學(xué)生認(rèn)知著手，呈現(xiàn)教育形態(tài)

數(shù)學(xué)專著或數(shù)學(xué)史書內(nèi)容是以學(xué)術(shù)形態(tài)呈現(xiàn)的一堆數(shù)字化的形式結(jié)果，看不到知識的起源與發(fā)展，感受不到數(shù)學(xué)家曲折而豐富的思考過程.現(xiàn)行高中教科書雖不同于專著，但也是從各類專著中節(jié)選、編訂出來的，基本是按照“定義、定理公式法則的證明、應(yīng)用”的順序來組織的，因而喪失了知識形成的各種細(xì)節(jié)和數(shù)學(xué)家走過的各種彎路和挫折.雖然此輪人教A版新教材在此環(huán)節(jié)已經(jīng)做了很好的協(xié)調(diào)處理，但是《課標(biāo)2017版》第94頁明文指出：“教材編寫要處理好數(shù)學(xué)的科學(xué)形態(tài)與教育形態(tài)的關(guān)系，要為教師自主選擇、增補(bǔ)和調(diào)整教學(xué)內(nèi)容預(yù)留必要空間.”從學(xué)生認(rèn)知著手，以情境和問題將數(shù)學(xué)的“原始形態(tài)”和“科學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為適合學(xué)生學(xué)習(xí)的“教育形態(tài)”是合理使用教材、有效提高課堂效率的途徑之一.

本課是學(xué)生學(xué)習(xí)概率的起始課，學(xué)生可以利用的知識經(jīng)驗比較有限，隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)試驗的特點(diǎn)很不容易歸納.因此，可以教師講解歸納為主，輔之以現(xiàn)實的情境問題幫助學(xué)生獲得感性理解；樣本空間和隨機(jī)事件的概念教學(xué)則可以創(chuàng)設(shè)具體情境（如彩票搖獎或擲硬幣投骰子），由適當(dāng)?shù)膯栴}引導(dǎo)學(xué)生思考、交流，最后師生共同總結(jié)；因?qū)W生還沒有形成用集合的語言刻畫一個數(shù)學(xué)對象的思維習(xí)慣，將隨機(jī)事件數(shù)學(xué)化是本課的一個難點(diǎn)，教學(xué)中教師可以先示范一個例子（比如擲硬幣），引導(dǎo)學(xué)生用文字、字母、數(shù)對、數(shù)串等多種方式表達(dá)樣本空間，讓學(xué)生感受數(shù)字表達(dá)的簡潔性，然后舉例模仿表達(dá).本環(huán)節(jié)中，問題和情境素材成為學(xué)生抵達(dá)抽象思維的階梯.

教師需要在整體把握數(shù)學(xué)學(xué)科知識的前提下，根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科本源知識和學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)重構(gòu)教材，盡可能選擇恰當(dāng)問題設(shè)置有效情境開展教學(xué)，以問題驅(qū)動學(xué)生理解概念、獲得原理.

5 關(guān)節(jié)點(diǎn)：從導(dǎo)問環(huán)節(jié)精進(jìn)，追求有效引導(dǎo)

再好的設(shè)計，如果教師課堂導(dǎo)問不好，學(xué)生的思維也難以被激發(fā).教學(xué)過程是一種不斷提出問題與解決問題的活動，“教師的教不在于全盤授予，而在于相機(jī)誘導(dǎo)”.“教”意味著教師對學(xué)生預(yù)設(shè)性的引導(dǎo)，這種引導(dǎo)要引發(fā)有意義的內(nèi)容生成、促成有挑戰(zhàn)的思維訓(xùn)練、驅(qū)動持續(xù)性的學(xué)習(xí)過程、實現(xiàn)預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo).

本課屬于概念教學(xué)課，核心素養(yǎng)目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力，使用的主要數(shù)學(xué)方法是歸納、類比，教師的導(dǎo)問水平極大影響課堂效果.比如，由觀察具體實例歸納隨機(jī)試驗的特點(diǎn)這一環(huán)節(jié)，讓學(xué)生概括是非常困難的，所以不宜組織學(xué)生小組討論、交流后概括，教師直接圍繞隨機(jī)試驗三特點(diǎn)進(jìn)行講解，然后讓學(xué)生結(jié)合實例理解三特點(diǎn)即可.再比如，在“擲兩枚硬幣，寫出試驗結(jié)果的樣本空間”一例中，可能會有學(xué)生回答3種結(jié)果（正正、正反、反反），這時教師不要直接評價該生，可以請支持4種結(jié)果的學(xué)生指出上述學(xué)生錯在哪里，鼓勵小組之間互辨，最終使全班理解隨機(jī)試驗中“每個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性要相等”這一本質(zhì)特征.

長期以來，很多教師課堂導(dǎo)問習(xí)慣于“教師提問→指定學(xué)生回答→教師點(diǎn)評”等點(diǎn)對點(diǎn)交流模式，這是教師本位課堂的后遺癥.以生為本的課堂倡導(dǎo)生生互動，更需要“教師提問→學(xué)生小組討論→小組代表發(fā)言”“學(xué)生提問→教師轉(zhuǎn)述問題或規(guī)范表達(dá)→學(xué)生討論→代表發(fā)言”等點(diǎn)對面、面對面的交流模式，因為不是每一個問題都需要教師親自去教，不是每一個學(xué)生都需要教師親自輔導(dǎo).教師的課堂引導(dǎo)一定要講究技巧、時機(jī)，一般來說要把握好四個“度”：

效度——課堂導(dǎo)問圍繞本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，要配合語氣或表情激起學(xué)生參與的興趣、思考的激情，可按照能引起全班50%以上的同學(xué)參與思考的問題為檢驗標(biāo)準(zhǔn).難度——課堂導(dǎo)問要適合學(xué)生的心理認(rèn)知基礎(chǔ)和思維水平，要能縮短學(xué)生現(xiàn)有水平與擬達(dá)到目標(biāo)之間的距離，可按照設(shè)計出的問題能使1/3至2/3的學(xué)生經(jīng)過認(rèn)真思考能回答出來為標(biāo)準(zhǔn).密度——根據(jù)認(rèn)知心理發(fā)展規(guī)律，年級越高，教師課堂提問的問題密度應(yīng)逐步減少，盡量減少低層次問題的數(shù)量，增加高層次問題，并為學(xué)生延時回答預(yù)留足夠的時間，具體數(shù)量多少合適要根據(jù)課型和學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)而定.廣度——導(dǎo)問的切入點(diǎn)要窄，要突出重點(diǎn)，切忌面面俱到、盲目擴(kuò)張；問題的出口要廣，要具有發(fā)展性和開放性.廣度的確定可參考一種標(biāo)準(zhǔn)“以核心問題為圓心，難點(diǎn)問題為半徑畫出適合學(xué)生的圓”.

6 發(fā)散點(diǎn)：從活化練習(xí)拓展，構(gòu)建真實問題

“練習(xí)是脫離情境的直接執(zhí)行過程，而問題是表現(xiàn)的內(nèi)在需求，需要考慮情境中的測試者所面臨的諸多選擇與挑戰(zhàn).”因概率的高度抽象性，且隨機(jī)現(xiàn)象一般是現(xiàn)實情境化的，所以教學(xué)過程中一定要避免構(gòu)造脫離學(xué)生生活實際的情境、過于復(fù)雜的情境或牽強(qiáng)附會的情境，提供給學(xué)生的問題要真實，且符合人性、符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ).課后作業(yè)或測試是學(xué)生學(xué)習(xí)的第二戰(zhàn)場，幾乎與課堂學(xué)習(xí)同等重要，如果設(shè)計的練習(xí)題背景枯燥、答案唯一、目標(biāo)指向技能或知識缺乏遷移性，不僅難以促進(jìn)學(xué)生對課內(nèi)知識的理解，也難以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣.

比如，一名運(yùn)動員向一個目標(biāo)連續(xù)射擊3次，用集合表示事件A=“命中目標(biāo)”.這樣的例子就會引發(fā)這樣一些爭議：這名運(yùn)動員三次之間的射擊是互不影響的嗎？這要看平時訓(xùn)練還是比賽吧？或者要看運(yùn)動員的心理素質(zhì)吧？再比如，“若事件A，B互斥，P（A）=0.2，P（A∪B）=0.5，則P（B）=.”這樣完全脫離情境的問題，若把“事件A，B互斥”改為“A，B兩人競選美國總統(tǒng)”需要學(xué)生判定A，B是否互斥的情境問題，就更符合人性.還有的文字背景一大片，看著就嚇人，但數(shù)學(xué)含量很低，這類練習(xí)也應(yīng)回避.

布魯納說，認(rèn)識是一個過程，而不是一種產(chǎn)品.學(xué)習(xí)是學(xué)生主動探究的過程，而不是被動地接受作為產(chǎn)品的知識.教師的作用就是要給學(xué)生提供一種能讓學(xué)生獨(dú)立探究的情境和問題，而不是現(xiàn)有知識.情境與問題是多樣的、多層次的，設(shè)計情境和提出問題的目的是啟發(fā)學(xué)生思考，根基是數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，原則是要有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).為此筆者提出“從單元教學(xué)入手，提煉核心概念，由兩個維度切入，基于學(xué)生認(rèn)知，精進(jìn)導(dǎo)問環(huán)節(jié)，構(gòu)建真實問題”的課堂實施六點(diǎn)策略，搞定了這六點(diǎn)，課堂情境與問題的創(chuàng)設(shè)有望有效實施.

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