新發(fā)現(xiàn)的“三垂足定理”新的證明

文[1]遵循原始的發(fā)現(xiàn)過程，給出了筆者獨(dú)立發(fā)現(xiàn)且命名為“三垂足定理”的分類證明，而今另辟蹊徑，又找到定理新的證明，且對定理的表述有所改進(jìn).

先重溫圓錐曲線的統(tǒng)一方程：

如圖1，過點(diǎn)M作MN⊥準(zhǔn)線EG交于點(diǎn)N，設(shè)F為相應(yīng)于準(zhǔn)線的焦點(diǎn)，e為離心率，則M∈{M｜|FM|=e|MN|}.

取過焦點(diǎn)F且與準(zhǔn)線垂直的直線為x軸，點(diǎn)F（O）為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則|OM|=x2+y2.設(shè)準(zhǔn)線EG的方程為x=-p，于是

x2+y2=e|x+p|.

兩邊平方，化簡得

（1-e2）x2+y2-2pe2x-p2e2=0.①

三垂足定理：任取圓錐曲線上一點(diǎn)為切點(diǎn)作切線，過切點(diǎn)作焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的垂線得垂足Ⅰ，過焦點(diǎn)作切線的垂線得垂足Ⅱ，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為垂足Ⅲ，則

（1）三個(gè)垂足以垂足Ⅱ?yàn)轫旤c(diǎn)張成直角；

（2）垂足Ⅱ到垂足Ⅰ、垂足Ⅲ、切點(diǎn)、焦點(diǎn)的距離成比例.

如圖2，坐標(biāo)系的建立如上所述.示意圖

任取圓錐曲線上的一點(diǎn)P作切線PL，又作PH⊥x軸于點(diǎn)H（垂足Ⅰ），過焦點(diǎn)F作FQ⊥PL于點(diǎn)Q（垂足Ⅱ），準(zhǔn)線EG交x軸于點(diǎn)G（垂足Ⅲ）.

求證：

（1）∠HQG=90°;

（2）|QH|∶|QG|=|QP|∶|QF|.

證明：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x0，y0），對上述圓錐曲線方程①求導(dǎo)，得（1-e2）x+yy′－pe2=0.

解得y′=pe2－（1－e2）xy.

于是，在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線PL的斜率為kPL=pe2－（1－e2）x0y0，所以切線PL的方程為

y－y0=pe2－（1－e2）x0y0（x－x0）.

整理，得

y0y=（pe2-x0+e2x0）x+（1-e2）x20+y20-pe2x0.②

由點(diǎn)P在圓錐曲線上，得（1-e2）x20+y20-2pe2x0-p2e2=0，即

（1-e2）x20+y20=2pe2x0+p2e2.③

③代入②式，得切線方程為

y0y=（pe2-x0+e2x0）x+pe2x0+p2e2.④

將④式與準(zhǔn)線方程聯(lián)立，得

x=－p，y0y=（pe2－x0+e2x0）x+pe2x0+p2e2.

解得

x=－p，y=px0y0.

所以交點(diǎn)S的坐標(biāo)為-p，px0y0.

以下進(jìn)行分類討論：

（ⅰ）當(dāng)x0>0時(shí)，如圖3，已知FQ⊥PL于點(diǎn)Q，準(zhǔn)線EG⊥x軸于點(diǎn)G.

已設(shè)PQ交EG于點(diǎn)S，于是∠SGF+∠SQF=180°，所以G，S，Q，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，連接FS，則∠GQS=∠GFS.連接FP，又PH⊥x軸于點(diǎn)H，則∠PQF+∠PHF=180°，所以Q，P，H，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，則∠HQF=∠HPF.

因?yàn)閠an∠HPF=|FH||PH|=|x0||y0|，

又tan∠GFS=|GS||GF|=px0y0|－p|=|x0||y0|，

且∠HPF與∠GFS均為銳角，所以∠HPF=∠GFS.

所以∠HQF=∠GQS.

所以∠HQF+∠FQG=∠GQS+∠FQG.

所以∠HQG=∠FQS=90°，結(jié)論（1）成立.

又由Q，P，H，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，得∠GHQ=∠FPQ（同弧上的圓周角相等），

于是Rt△HQG∽Rt△PQF.

所以|QH|∶|QP|=|QG|∶|QF|.

故|QH|∶|QG|=|QP|∶|QF|.

（ⅱ）當(dāng)x0=0時(shí)，如圖4，此時(shí)點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)H與點(diǎn)F重合.

將x0=0代入切線方程④，得

y0y=pe2x+p2e2.

所以點(diǎn)G（-p，0）滿足此方程，則切線過點(diǎn)G.

由FQ⊥PL，得∠HQG=90°，故結(jié)論（1）成立.

在Rt△GFP中，根據(jù)射影定理，可得|QF|2=|QP|＼5|QG|，即|QH|∶|QG|=|QP|∶|QF|.

（ⅲ）當(dāng)x0<0時(shí)，如圖5，P不是圓錐曲線的頂點(diǎn).

由∠SQF=∠SGF=90°，知

S，G，Q，F(xiàn)四點(diǎn)共圓.連接FS，有∠GQS=∠GFS.

又∠PHF=∠PQF=90°，所以

Q，P，F(xiàn)，H四點(diǎn)共圓.

連接FP，則

有∠HQF=∠HPF.

因?yàn)閠an∠HPF=|FH||PH|=|x0||y0|，

tan∠GFS=|GS||FG|=0－px0y0|0－（－p）|=|x0||y0|，

且∠HPF與∠GFS均為銳角，所以∠HPF=∠GFS.

所以∠HQF=∠GQS.

又∠FQS=90°，則

∠HQG=90°，故結(jié)論（1）成立.

由Q，P，F(xiàn)，H四點(diǎn)共圓，得

∠GHQ=∠FPQ（圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角）.

于是，Rt△HQG∽Rt△PQF.

所以|QH|∶|QP|=|QG|∶|QF|.

故|QH|∶|QG|=|QP|∶|QF|.

（ⅳ）若切點(diǎn)P是圓錐曲線的頂點(diǎn)，如圖6，則易知點(diǎn)H，點(diǎn)Q都與點(diǎn)P重合，則QH=0.

因零向量的方向是任意的，即零向量可視為與任意一個(gè)非零向量共線，設(shè)點(diǎn)T在切線PL上，則零向量QH與非零向量PT共線，且QG⊥PT，即QG⊥QH，所以∠HQG=90°，故結(jié)論（1）成立.

又|QP|=|QH|=0，且|QF|≠0，|QG|≠0，

故欲證式（2）兩邊皆為零而依然成立.

上述定理的證明過程有一個(gè)鮮明的特征，那就是歐氏幾何的綜合法與笛卡兒的解析法滲透融合［2］，兩種數(shù)學(xué)思想方法交互為用，相得益彰，相映成趣，同時(shí)，還有三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和向量的運(yùn)用，從而使定理的證明臻于簡潔、完美.

由于圓錐曲線是任意的，切點(diǎn)的選擇也是任意的，故三垂足定理顯示了它的普適性.仔細(xì)品味過后，還讓人深切感受到：其普適性既深刻揭示了圓錐曲線統(tǒng)一的屬性，又蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合的精巧美與和諧美.

發(fā)現(xiàn)新定理使我們得到如下啟示：數(shù)學(xué)教師不僅是知識的傳授者，也是數(shù)學(xué)寶庫的探索者和發(fā)現(xiàn)者，

試想，若中學(xué)和大學(xué)有萬分之一的數(shù)學(xué)教師獨(dú)自發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)學(xué)定理，則著名的錢學(xué)森之問的答案豈不就指日可待了嗎？

從單一角色到雙重角色的轉(zhuǎn)換，非常有利于教師在認(rèn)知狀態(tài)上貼近學(xué)生，避免有居高臨下感的教師將學(xué)生的大腦當(dāng)成裝知識的容器.對于滿懷好奇心的學(xué)生來說，任何未知的學(xué)問都極具探索意義和發(fā)現(xiàn)價(jià)值，當(dāng)教師以這種創(chuàng)新的心理引導(dǎo)學(xué)生鉆研時(shí)，強(qiáng)大的感染力與可貴的好奇心高度融合，使命感油然而生，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維之花必將競相綻放，在其潛意識里，一生的興趣和追求或許已經(jīng)構(gòu)筑在數(shù)學(xué)的背景之下.

創(chuàng)新型人才的脫穎而出，有賴于一以貫之的發(fā)現(xiàn)思維能力的培養(yǎng)[3].教師在教學(xué)中從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，視教材為“發(fā)現(xiàn)讀本”，精心設(shè)計(jì)并引導(dǎo)和激勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)、表述、探究數(shù)學(xué)問題，與學(xué)生一起分享發(fā)現(xiàn)的快樂，無疑是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)突破口.這件事抓好了，諸如“題海戰(zhàn)術(shù)”之類的教學(xué)現(xiàn)狀就會有較大的改觀.

參考文獻(xiàn)：

[1]朱仁發(fā).圓錐曲線的一個(gè)新發(fā)現(xiàn)——三垂足定理［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（9）：67-68.

[2]朱仁發(fā).滲透數(shù)學(xué)思想 促進(jìn)融會貫通——解析幾何復(fù)習(xí)之我見［J］.數(shù)學(xué)通

訊（武漢），1993（11）：18-21.

[3]朱仁發(fā).試談發(fā)現(xiàn)思維能力的培養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，1992（11）：5-6.