“三新”背景下的解題教學

在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下，高中數學課堂的教學更加關注知識的發生與發展過程，基于此過程中數學思維品質的提升與數學關鍵能力的提高，課程觀與作業觀需在一定程度上轉變與創新.

1 問題變式的深度

在教學過程中，為幫助學生達成學習目標，往往需要從問題變式中依次提升難度，評估學生的知識掌握情況與思維發展水平，以真正實現解題感悟.

例1（2024年河北省部分示范性高中高三下學期一模數學試卷·8）已知實數a，b∈（1，+∞），且2（a+b）=e2a+2ln b+1，e為自然對數的底數，則（）.

A.1<b<a

B.a<b<2a

C.2a<b<a

D.ea<b<e2a

解析：由2（a+b）=e2a+2ln b+1，可得e2a－2a－1=2（b－ln b－1）=2（eln b－ln b－1）.

同構函數f（x）=ex－x－1（x>0），函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，且f（0）=0.

由于a，b∈（1，+∞），有ln b>0，則f（ln b）>0，因此f（2a）=2f（ln b）>f（ln b），即2a>ln b.故e2a>b.

又e2a－2a－1>2（ea－a－1）＞0，則f（2a）=2f（ln b）>2f（a），即ln b>a，亦即b>ea.

綜上，可得ea<b<e2a.

另外，問題可轉化為2（b－ln b－1）=e2a－ln e2a－1，構造函數g（x）=x－ln x－1（x>1）亦可解決.

點評：大小比較類的問題是近年高考常見的一類考題，借助函數同構這一問題的剖析，引導學生歸納解決函數同構問題的方法以及體會解題感悟.從問題分析中不難發現，同構是該問題解決的關鍵，放縮是問題解決的靈魂.

筆者結合本題給出同源變式及方法變式作為作業（具體題目如下），從問題的細微差異中改變學生思考問題的角度，幫助學生發現題目間的內在聯系；同時，在作業中也應突出方法的類比運用，讓學生在主動思考中實現知識的有效遷移，體現作業價值的最大化，促進深度學習的發生.

同源變式已知實數a，b∈（1，+∞），且a+b=ea+ln b+1，e為自然對數的底數，則（）.

A.1<b<a

B.a<b<ea

C.ea<b<e2a

D.ea<b<e3a

方法變式〔2023屆湖北省鄂東南省級示范教育教學改革聯盟學校高三（上）期中數學試卷〕已知a=e－2，b=1－ln 2，c=ee－e2，則（）.

A.c>b>a

B.a>b>c

C.a>c>b

D.c>a>b

2 技巧方法的應用

技巧方法類的題目，側重于高階思維的培養，通過對題干信息進行一系列加工處理，抓住問題的整體結構使問題得到巧妙解決，在解題感悟的基礎上加以合理應用.

例2若存在非零實數t，使t+1t2+at+1t+2b=0（a，b∈R）成立，則a2+4b2的取值范圍是.

解析：依題，借助變量主元思維，可以將t+1ta+2b+t+1t2=0看作直線方程，設點P（a，2b）為直線t+1tx+y+t+1t2=0上任意一點，a2+4b2即為點P與坐標原點O的距離的平方.

數形結合可知（a2+4b2）min=t+1t2t+1t2+12=t+1t2+1－12t+1t2+1=t+1t2+1+1t+1t2+1－2.由于t+1t2+1=t2+1t2+3≥2t2×1t2+3=5，當且僅當t2=1t2，即t=±1時等號成立，結合雙勾函數y=x+1x在區間[5，+∞）上單調遞增，因此可知

（a2+4b2）min=5+15－2=165.

故a2+4b2的取值范圍是165，+∞.

點評：該問題中，以含有多變量的方程問題為切入點，把代數式中的主元與常量進行換位（即將主元看作常量）處理，借助技巧方法，讓學生產生一種認識上的轉化，有助于打破思維定式.

3 教材閱讀的拓展

數學閱讀與思考是解決問題的關鍵.合理利用教材閱讀材料進行作業設計或選題，以促進數學解題感悟，一方面呈現知識的來龍去脈，突出數學概念的本源，另一方面在落實“四基”的基礎上豐富學生的數學視野.

例3〔2024年浙江省9+1高中聯盟高考數學模擬試卷（3月份）·13〕應用拋物線和雙曲線的光學性質，可以設計制造反射式天文望遠鏡，這種望遠鏡的特點是，鏡銅可以很短而觀察天體運動又很清楚.某天文儀器廠設計制造的一種反射式望遠鏡，其光學系統的原理如圖1

（中心截口示意圖）所示.其中，一個反射鏡PO1Q弧所在的曲線為拋物線，另一個反射鏡MO2N弧所在的曲線為雙曲線一個分支.已知F1，F2是雙曲線的兩個焦點，其中F2同時又是拋物線的焦點，且∠NF2F1=45°，tan∠NF1F2=14，△NF1F2的面積為10，|O1F2|=8，則拋物線的方程為.

解析：不妨設F1（－c，0），F2（c，0），N（x0，y0）（x0>0）.由∠NF2F1=45°，tan∠NF1F2=14，可得x0=35c，y0=25c.又S△NF1F2=12|F1F2|·y0=25c2，即25c2=10，解得c=5，可得O1（－3，0），則拋物線的方程為y2=32（x+3）.

點評：問題背景源于數學選擇性必修第一冊教材（2019人教A版）第140頁“閱讀與思考”——圓錐曲線的光學性質及其應用.題目結合背景素材對知識進行開發與整合，將具體問題轉化為求解焦點坐標的問題，并通過帶參的三角形面積問題進行轉化，為求解拋物線方程提供條件.由此可見，教材中大量的閱讀素材為多樣化的教學設計提供了良好的信息載體，教學中可根據不同的學習需求，聚焦于學生自主學習的能力表現，設置層次清晰的問題供學生練習.同時，也可考慮同主題的多文本閱讀內容，讓學生在信息檢索中多角度理解數學概念的內涵與外延，拓展解題感悟，同時發展個人的數學觀.

4 真實情景的融合

區別于傳統的解題法訓練，“無情境不命題”的思想使數學學科與生活聯系更為緊密，因此，結合“建模式”典型問題，更深層次促進解題感悟，可讓學生在解決問題中實現知識的正向遷移.

例4（2024年浙江省杭州市高三年級第二學期教學質量檢測試卷試卷·14）機場為旅客提供的圓錐形紙杯如圖2所示，該紙杯母線長為12 cm，開口直徑為8 cm.旅客使用紙杯喝水時，當水面與紙杯內壁所形成的橢圓經過母線中點時，橢圓的離心率等于.

解析：依題將紙杯進行“幾何化”處理，如圖3所示，則cos∠SAB=13.

在△ABC中，AC=6，AB=8，由余弦定理得BC=217，從而可知橢圓長軸長2a=217，即a=17.

由SO=122－42=82，可得CD=12SO=42，則O′E=12CD=22，其中O′是BC的中點，即為對應橢圓的中心，點D，O，E分別為點C，S，O′在圓錐底面內的射影.

綜上可得DO=2，OE=1，F為過點O′且平行于底面的截面圓的圓心，則OF=O′E=22.結合比例關系可得FM=3，則MN為橢圓的短軸長，如圖4，在Rt△MFO′中，MN=42=2b，則b=22.

所以c=a2－b2=3，則橢圓的離心率e=ca=31717.

點評：解題教學中考慮不同知識之間的交匯與融合，是檢驗學生應用基礎知識、思想方法解決綜合問題的有效途徑，也是評估深度學習理念下單元教學成效的一種表現形式，更能深刻體現學生的數學解題感悟與應用.以上問題中，借助立體幾何場景，巧妙引入圓錐曲線知識，突破學習中空間與平面的維度界限，建立數與形的轉化通道，關聯各主干知識，使學生分析、解決問題的能力得到鍛煉，符合新高考由“知識立意”向“能力立意”的轉變.

在“三新”背景下，隨著“雙減”政策與新課改理念的進一步落實，對高中數學教學與學習過程中教學設計的質量與效益有了更高的要求.以生為本，適度取材，梯度設計，從不同層面入手，為學生知識探究提供廣泛空間，使不同學生在數學學習中都有所發展，不斷進行數學解題感悟，達到“會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界”，從而促進學生數學關鍵能力與創新應用意識得到更進一步發展，體現深度學習的價值.