應用場景巧創設，函數問題妙同構

摘要：同構是解決數學問題中比較特殊的一種思維方式，是構造法的一種特殊技巧，在歷年高考數學命題中都有其“影蹤”，倍受命題者的青睞.結合不同的應用場景與條件創設，以不同的方式來實現函數問題的巧妙同構，借助實例剖析，歸納總結同構應用的常見類型，以及解題技巧與方法，指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：函數；同構；變量；恒成立；不等式

在解決一些函數與導數的綜合應用問題時，經常借助題設條件中的代數關系式、函數與方程、不等式等問題中對應關系式的結構特征，合理恒等變形與等價轉化，找出對應等式（或不等式）兩邊所具有的共性或同型，借助相同結構的代數式來巧妙同構函數，進而利用新函數的基本性質（奇偶性、單調性、最值等）來綜合轉化并處理相關的綜合應用問題，實現問題的轉化與突破.

1 變量分離同構

在涉及多變量的代數關系式、函數與方程、不等式等問題中，變量分離同構經常被采用.其實質是借助變量的合理分離與巧妙轉化，通過在等式（或不等式）兩邊配湊相同的變量，以方便進一步的同構函數與應用.

例1（1）若0＜x1＜x2＜a時，x2ln x1－x1＼5ln x2≤x1－x2恒成立，則a的最大值為（）.

A.12

B.1

C.e

D.2e

（2）若對任意的x1，x2∈[－2，0），且x1＜x2，x2ex1－x1ex2x1－x2＜a恒成立，則a的最小值為（）.

A.－3e2

B.－2e2

C.－1e2

D.－1e

解析：（1）由x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2，變形整理得ln x1x1－ln x2x2≤1x2－1x1，即ln x1x1+1x1≤ln x2x2+1x2恒成立.

同構函數f（x）=ln xx+1x，x>0，結合0＜x1＜x2＜a可知，函數f（x）在（0，a）上為增函數，所以f′（x）≥0在（0，a）上恒成立.

由于f′（x）=－ln xx2，令f′（x）=0解得x=1，因此函數f（x）在（0，1）上為增函數，在（1，+∞）上為減函數.

所以a≤1，即a的最大值為1.

（2）依題意，因為x1＜x2，所以x1－x2＜0，則x2ex1－x1ex2x1－x2＜a可轉化為x2ex1－x1ex2＞a（x1－x2），整理得x2ex1+ax2＞x1ex2+ax1.因為x1x2＞0，所以ex1x1+ax1＞ex2x2+ax2.

同構函數f（x）=exx+ax，x∈[－2，0），結合x1＜x2可知，函數f（x）在[－2，0）上單調遞減，所以f′（x）=ex（x－1）－ax2≤0在[－2，0）上恒成立，所以ex（x－1）≤a在[－2，0）上恒成立.

令函數g（x）=ex（x－1），則g′（x）=ex（x－1）+ex=xex＜0在[－2，0）上恒成立，則g（x）=ex（x－1）在[－2，0）上單調遞減，所以g（x）≤g（－2）=－3e2.

則a≥－3e2，即a的最小值為-3e2.

點評：變量分離同構往往用于解決涉及雙變量的綜合應用問題.借助題設條件中的代數關系式、函數與方程、不等式等，通過合理的移項、同乘或同除、系數配湊等方式來運算與變形，巧妙將同一變量的關系式轉換到等式（或不等式）的同一邊，通過觀察等式（或不等式）兩邊中對應關系式的相同結構特征，合理尋找并同構對應的函數來分析與應用.

2 指對跨階同構

在涉及指對混合的代數關系式、函數與方程、不等式等問題中，往往離不開指對跨階同構.其實質是靈活運用對數恒等式a=eln a（a>0），a=ln ea等進行變形，結合和、差、積、商等不同形式的運算類型來合理同構函數，給解題與應用創造條件.

例2（1）已知f（x）=x+e-x，g（x）=xa－aln x（a＜0），若f（x）≥g（x）在（1，+∞）上恒成立，則實數a的最小值為（）.

A.－2e

B.－e

C.－e

D.－e2

（2）當x>0時，ae2x≥lnxaex恒成立，則a的取值范圍為（）

A.0，12ee

B.0，1e

C.1e，+∞

D.12e，+∞

解析：由（1）f（x）≥g（x），得－x－e-x≤aln x－xa，則ln e-x－e-x≤ln xa－xa，即ln xa－xa≥ln e-x－e-x在x∈（1，+∞）上恒成立.

當x∈（1，+∞），a＜0時，0＜xa＜1，0＜e-x＜1.

同構函數h（t）=ln t－t（0＜t＜1），則h′（t）=1t－1＞0，所以h（t）在（0，1）上單調遞增，故有xa≥e-x，則a≥logxe-x=－xln x在x∈（1，+∞）上恒成立.

令函數F（x）=－xln x（x＞1），則F′（x）=1－ln xln 2x，令F′（x）=0，解得x=e.所以當1＜x＜e時，F′（x）＞0，函數F（x）單調遞增；當x＞e時，F′（x）＜0，函數F（x）單調遞減.所以F（x）max=F（e）=－e.

所以a≥－e，即實數a的最小值為－e.

（2）當x>0時，ae2x≥lnxaex恒成立，則有ae2x≥lnxaex=ln x－ln a－x在（0，+∞）上恒成立，即eln a+2x+ln a+2x≥eln x+ln x在（0，+∞）上恒成立.

同構函數f（x）=ex+x，x>0，則f′（x）=ex+1>0，所以函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增.

所以ln a+2x≥ln x在（0，+∞）上恒成立，即ln a≥ln x－2x在（0，+∞）上恒成立.

設函數g（x）=ln x－2x，x>0，可得g′（x）=1x－2=1－2xx，令g′（x）=0解得x=12.所以當x∈0，12時，g′（x）>0，函數g（x）單調遞增；當x∈12，+∞時，g′（x）<0，函數g（x）單調遞減.

所以g（x）max=g12=ln12－1=ln12e.

所以ln a≥ln12e，解得a≥12e.

點評：指對跨階同構往往用于解決涉及指數函數ex與對數函數ln x的相關“指對”混合等式（或不等式）的綜合應用問題.解題時，關鍵是借助“指對”混合等式（或不等式）加以恒等變形，側重于研究指數或對數，目的都是尋找同型或共性，為合理同構函數創造條件.利用指對跨階同構解題時，不同視角的變形對應不同的同構函數形式，往往同構函數并不單一，雖方式各異，但殊途同歸.

3 放縮變形同構

在涉及指數或對數等式（或不等式）的綜合問題中，直接利用指對跨階同構有時無法達到目的，需要借助重要的切線不等式ex≥x+1（當且僅當x=0時等號成立），ln x≤x－1（當且僅當x=1時等號成立），以及不等式的基本性質等加以合理放縮處理，在此基礎上再加以巧妙同構與應用.

例3已知實數a，b∈（1，+∞），且2（a+b）=e2a+2ln b+1，e為自然對數的底數，則（）.

A.1<b<a

B.a<b<2a

C.2a<b<a

D.ea<b<e2a

解析：由于a，b∈（1，+∞），2（a+b）=e2a+2ln b+1，移項并變形可得e2a－2a+1=2b－2ln b.

結合基本不等式可得2b－2ln b<b2+1－2ln b=b2－ln b2+1〔這里由于b∈（1，+∞），取不到等號〕.

再結合重要的切線不等式可得2b－2ln b=（b－ln b）+（b－ln b）>b－ln b+1（這里同樣也取不到等號）.

所以eln b－ln b+1=b－ln b+1<e2a－2a+1=2b－2ln b<b2－ln b2+1=elnb2－ln b2+1.

同構函數f（x）=ex－x－1，x>0，則以上不等式等價于f（ln b）<f（2a）<f（ln b2）.

由f′（x）=ex－1>0知，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，所以有ln b<2a<ln b2，即b<e2a<b2，可得ea<b.

綜合可得ea<b<e2a.

點評：放縮變形同構往往用于解決一些涉及“指對”混合且更為復雜的等式（或不等式）的綜合應用問題.基于解決“指對”混合的指對跨階同構無法直接達到目的，如果借助重要的切線不等式以及其他不等式的基本性質（基本不等式等）進行放縮變形處理，可以更加便捷地尋找等式（或不等式）的同型或共性，為進一步的同構函數與應用創造條件.

利用同構函數處理一些函數與導數的綜合應用問題時，其實質就是通過題目中的代數關系式、函數與方程、不等式等的等價變形，使得對應等式（或不等式）的兩邊的關系式結構相同或相似，進而將問題看成同一個函數的兩個不同函數值問題，借助同構函數來突破對應的等式（或不等式）問題，使問題得以巧妙解決.正是通過同構函數法，在深入掌握代數變形與轉化的同時，進一步理解并掌握數學思想與方法，養成敏銳的觀察能力，有效提升數學品質，提高思維能力.