結合2024年高考題談函數概念與性質的復習

函數的概念與性質不僅是函數學習的起點，也是解題的關鍵所在.只有真正掌握了這些基本內容，在遇到復雜的函數問題時，才能迅速找到切入點，有效地解決問題.因此，學生要對函數的概念與性質給予足夠的重視，認真學習、反復練習，確保能夠熟練掌握和靈活運用.教師通過對高考數學函數概念與性質試題的研究，能夠為實際教學帶來一些有益的思考和針對性啟示，促進教學質量的提升.

1 高考數學真題中函數題目的特點

1.1 題目類型多樣化

從題目類型的視角來看，函數題目的展現形式豐富多樣.其中有不少針對基礎知識點設計的單選題和多選題，用以檢驗考生對函數知識的基本理解.

例1（新高考Ⅰ卷第6題）已知函數f（x）=－x2－2ax－a，x<0，ex+ln（x+1），x≥0在R上單調遞增，則a的取值范圍是（）.

A.（－∞，0］

B.［－1，0］

C.［－1，1］

D.［0，+∞）

該題就考查了函數的單調性.

例2（新高考Ⅱ卷第11題）設函數f（x）=2x3－3ax2+1，則（）.

A.當a>1時，f（x）有三個零點

B.當a<0時，x=0是f（x）的極大值點

C.存在a，b使得x=b為曲線y=f（x）的對稱軸

D.存在a使得點（1，f（1））為曲線y=f（x）的對稱中心

本題考查了指數函數與對數函數的單調性、二次函數的圖象與性質，要求考生進行深入分析與探究，對綜合運用能力有較高的要求.

例3（天津卷第15題）已知函數f（x）=2x2－ax－|ax－2|+1有唯一零點，則a的取值范圍為.

例4（新高考Ⅰ卷第18題）已知函數f（x）=lnx2－x+ax+b（x－1）3.

（1）若b=0，且f′（x）≥0，求a的最小值;

（2）證明：曲線y=f（x）是中心對稱圖形;

（3）若f（x）>－2，當且僅當1<x<2，求b的取值范圍.

這些題目涵蓋的知識范疇相當廣泛，不僅涵蓋了函數的基本性質這一核心要素，還融入了函數圖象分析、導數應用、不等式處理等多個維度.這種多元化的題型設置，旨在全方位地評估考生對函數知識體系的掌握深度和應用能力.

1.2 注重基礎知識的考查

函數題目在考查學生對基礎知識的理解和應用方面顯得格外重要.這包括函數的定義域、值域這些基本概念，以及單調性、奇偶性等核心性質.

例5（天津卷第4題）下列函數是偶函數的是（）.

A.y=ex－x2x2+1

B.y=cos x+x2x2+1

C.y=ex－xx+1

D.y=sin x+4xe|x|

例6（上海卷第2題）已知函數f（x）=x，x>0，1，x≤0，則f（3）=.

有些題目通過巧妙的設計，對基礎知識進行變形或拓展，以此來檢驗考生對知識的深度理解和創新應用能力.

例7（新高考Ⅰ卷第13題）若曲線y=ex+x在點（0，1）處的切線也是曲線y=ln（x+1）+a的切線，則a=.

例8（新高考Ⅰ卷第8題）已知函數f（x）的定義域為R，f（x）>f（x－1）+f（x－2），且當x<3時，f（x）=x，則下列結論中一定正確的是（）.

A.f（10）>100

B.f（20）>1 000

C.f（10）<1 000

D.f（20）<10 000

這種對基礎知識的深入考查，不僅有助于考生夯實數學基礎，提升解題能力，更為他們未來更高層次的數學學習提供了堅實的支撐.

1.3 強調綜合運用能力

在高考數學的領域中，函數并非一個孤立的知識點，而是與其他數學內容緊密交織、相得益彰.函數題目經常與不等式、數列、解析幾何等諸多知識點交融共生，形成了一道道綜合性極強的難題.

例9（新高考Ⅱ卷中第16題）已知函數f（x）=ex－ax－a3.

（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）若f（x）有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍.

例10（上海卷第18題）若f（x）=logax（a>0，a≠1）.

（1）y=f（x）過（4，2），求f（2x－2）<f（x）的解集；

（2）存在x使得f（x+1），f（ax），f（x+2）成等差數列，求a的取值范圍.

這類題目對考生的要求極高，不僅需要掌握各個知識點的基礎知識，還需要具備靈活運用這些知識的技巧和方法.解題時需要深入分析題目，找出題目中的關鍵信息，進而運用所學知識進行推理和計算，最終得出正確答案.這種綜合性的考查方式，不僅能夠有效檢驗考生的數學素養和解題能力，更能夠培養他們的邏輯思維和創新精神.

2 函數概念與性質的復習策略

函數概念與性質的復習策略如圖1所示.

2.1 深入梳理與鞏固函數基礎知識

備戰高考數學，對函數基礎知識的深入梳理和鞏固顯得尤為關鍵.學生首先要系統回顧函數的定義和特性，明確函數是從定義域到值域的映射，解函數的不同表示方法，并能在實際中靈活加以運用.其次，深入理解函數的定義域和值域，這關系到能否準確判斷函數自變量和函數值的范圍.在掌握這些知識的基礎上，還要重點把握函數的單調性和奇偶性.單調性關乎函數在特定區間上的變化趨勢，而奇偶性則體現了函數圖象的對稱特點.除了基本性質，函數的運算與復合同樣關鍵.運算涉及加、減、乘、除，復合則是將一函數輸出作為另一函數輸入.這些操作豐富了函數的表達形式，提升了解決問題的靈活性.在鞏固函數基礎知識時，需結合理論與實踐，通過適當的練習與應用，這樣學生才能夠更好地理解和掌握函數的基礎知識，提高自身的解題能力和數學素養.

2.2 加強專題訓練與技巧提升

在夯實了函數的基礎知識之后，加強專題訓練與技巧提升成為關鍵步驟.對于函數的定義、性質等核心要點，教師應設計出具有針對性的專項練習題，這些練習題應兼具深度與廣度.在此過程中，學生不能僅僅滿足于做題的數量，更要注重做題的質量.每做完一道題，都應進行深入的分析和總結，理解題目考查的知識點、解題思路和可能存在的陷阱.這樣，學生在面對同類型題目時，才能夠迅速找到解題的切入點，提高解題效率.此外，歷年高考真題和模擬題也是學生進行專題訓練的重要資源.通過分析這些題目，學生可以了解到函數題目的出題規律和常考知識點，進而掌握解題技巧和方法.

2.3 注重綜合應用與能力提升

在復習函數知識時，學生更應聚焦于它的綜合應用，以及如何在實踐中提升自身的解題技巧和思維能力.首先，函數與其他數學知識點，如不等式、三角函數、導數等存在著千絲萬縷的聯系.這就意味著在復習過程中不能孤立地看待函數，而應該將它放在一個更為寬廣的數學體系中來理解和應用.通過整合練習，學生可以更好地把握函數與其他知識點的內在聯系，從而在實際問題中靈活加以運用.其次，注重函數的綜合應用，意味著學生需要更多地接觸和解決實際問題.通過分析、解決這些問題，學生可以更加深入地理解函數的本質和特性，同時也能提升自身的解題能力和實踐技能.此外，學生還應該關注一些新穎、有挑戰性的函數題目.這些題目往往能夠激發學生的學習興趣和熱情，同時也能幫助其拓展視野，培養創新思維和解題能力.

2.4 關注高考趨勢與動態調整復習策略

在當前高考數學命題變革與創新的大背景下，教師、學生都需要緊密關注函數部分的命題趨勢與核心要點，以確保復習方向與考試要求緊密相連，不偏離考試核心.為了做到這一點，教師首先要仔細研讀并深入研究數學課程標準以及相關的命題解析資料，這些資料中往往蘊含了命題專家對高考數學命題趨勢的精準判斷和預測.通過仔細研讀，教師可以清晰地了解函數題目的命題方向、考查重點以及潛在的出題陷阱，從而在解學時做到心中有數，應對自如.其次，針對函數部分的重點知識點和難點題型，教師可以幫助學生制定更加具有針對性的復習計劃，通過多做題、多總結、多反思來提升學生的解題能力和思維水平.此外，教師還要引導學生對錯題進行反思和總結，找出不足之處，并制定相應的改進計劃，以提高應對高考數學函數概念與性質試題的能力.