數學史融入高中數學課堂的實踐探討

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，數學文化應融入高中數學教學活動，教師應有意識地引導學生了解數學的發展歷程，感悟數學的價值，提升學生的學科精神、應用意識和人文素養，激發學生的數學學習興趣，開拓學生視野，提升數學學科核心素養.數學史是一種非常重要的教學資源，是滲透數學文化的有效途徑之一.教師通過還原數學歷史或結合學生的認知水平適當地改編歷史，將數學史融入數學教學活動中，有助于學生了解數學的本質，激發學生學習數學的興趣，從而提升教學質量.

數學家與數學教育家也十分重視數學史的價值，M＼5克萊因認為“數學史是教學的指南”，宋乃慶教授和張奠宙教授均認為“學習數學史有助于我們理解數學的本質”.自新一輪課程改革以來，越來越多的數學史滲透在高考題中.因此，探討如何將數學史融入高中數學課堂教學中，具有重要的意義.本文中將以“數系的擴充與復數的概念”的教學為例展開研究.

1 教學設計與實施

1.1 創設情境，引出研究問題

探究1：請同學們小組合作，完成下列“拆數游戲”，并思考其對應一個什么數學問題？

①將4拆成兩個數即和，使其乘積為3；

②將4拆成兩個數即和，使其乘積為2；

③將4拆成兩個數即和，使其乘積為5.

生：將4拆成x和4－x，使它們的乘積為一個定值，本質上是解方程x（4－x）=a，取a=3，2，5.

追問：若使用配方法求第③個方程的解，會出現（x－2）2=－1在實數范圍內無解的情況，這可以進一步簡化為哪一個方程是否有解？

生：方程x2=－1是否有解.

教學說明：通過改編歷史上卡丹拆數的故事設計了“拆數游戲”（即解方程）來引入，體現數學問題來源于生活問題（游戲），引導學生意識到這三組拆數游戲本質上是在求解一元二次方程，其中第三個方程（x－2）2=－1在實數范圍內無解，進而引出一般性的研究問題——方程x2=－1在R中無解，是否存在某個數集，使得此方程在該數集內有解？

1.2 合情推理，引入新數

師生活動：教師引導學生回憶，在以往的學習過程中也遇到過類似的方程在給定數集內無解的情況，例如方程x+1=0在自然數集中無解，我們通過引入新數（負數）和新符號（負號“－”），將自然數集擴充為整數集，使得方程x+1=0在整數集中有解，從而解決了現實生活中與之對應的負債等實際問題.按照這一思路，教師帶領學生回顧自然數系到實數系的擴充過程（如圖1）.

問題1對于方程x2=－1在實數系中無解的問題，你認為可以如何解決？

生：引入新數和新符號將實數集擴充，使得方程x2=－1在新數集中有解.

教學說明：以數學內部的發展需求（解方程的需要）和生活實際問題為線索，回顧從自然數系到實數系的擴充過程，引導學生自然而然地想到，可以通過引入新數去解決x2=－1在R中無解的問題，變生硬接受為主動地“創造”，為引入復數做好鋪墊.

追問1：引入的新數需要滿足什么？

生：新數要滿足方程x2=－1，也即它的平方需等于－1.

師：歷史上，瑞士著名數學家歐拉在1777年首次提出引入新數“i”，使i2=－1，這樣x=i就是方程x2=－1的一個解.其中“i”是“imaginary”一詞的首字母，本意是這個數是虛幻的，我們把這個數稱為“虛數單位”.引入新數后實數系得到擴充，在新數集中規定的加法和乘法運算，與實數集中規定的加法和乘法運算及運算律協調一致.

追問2：已知i2=i＼5i=－1，則i3=，i4=.

生：i3=i2＼5i=－i，i4=i2＼5i2=1.

師生活動：學生思考、口答，教師點評，使學生熟悉i2=－1，并引導學生思考in的取值.最后教師介紹歐拉生平以及充滿數學和諧美的式子（歐拉公式）——eiπ+1=0.

教學說明：教師介紹與虛數單位i有關的歷史，并結合追問強化對虛數單位的認識，最后科普歐拉及歐拉公式的相關歷史，對學生進行人文教育和數學美育，激發學生探秘數學的興趣.

1.3 抽象概括，深化理解

師：新數的形式又是怎樣的呢？回顧有理數集擴充后，將有理數與新引入的無理數進行“組合”（即做加法、乘法運算）就得到了新數，例如有理數4加上無理數3就得到實數4+3，有理數2乘無理數2就得到實數22，有理數12加上有理數－1與無理數3的積就得到實數12－3.類似地，實數集擴充后，將實數與新引入的虛數i進行“組合”，就可以得到新數.

探究2：任選實數－2，1，0，57，3，π與虛數i進行任意“組合”，能得到哪些結果？請同學們小組合作，寫出你們組合出來的新數.

師生活動：學生小組合作，寫出可能的新數形式，例如－2+i，3－i，-2i…….教師請某一小組的學生將他們寫出的新數板書在黑板上，其他小組可以補充.

追問1：你能歸納出上述新數的統一表達形式嗎？

生：a+bi，其中a，b∈R.

追問2：你能寫出新數集的集合嗎？

生：形如{a+bi|a，b∈R}.

師：我們稱這種形式的數為復數z，對應的新數集為復數集C={a+bi|a，b∈R}.其中實數a稱為復數的實部，實數b稱為復數的虛部.

教學說明：通過“組數游戲”，引導學生類比自然數系到實數系的擴充過程中所遵循的“規則”，由特殊到一般，抽象概括出復數的結構形式和復數集，讓學生體會數系擴充過程中人類理性思維的作用，提升學生的邏輯推理和數學抽象等核心素養，從而突破本節課的教學難點.

問題2你能將寫出來的新數進行分類嗎？分類的依據是什么？

生：對于復數a+bi（a，b∈R），當b=0時，復數a是一個實數；當b≠0時，復數a+bi是虛數，特別地，當b≠0且a=0時，復數bi是純虛數.

追問：請用Venn圖表示復數集、實數集、虛數集和純虛數集之間的關系.

生：如圖2所示.

問題3復數集和實數集之間有什么關系？

生：實數集R是復數集C的子集.

追問：實數例如0，57，3，π是復數嗎？如果是，請將其寫成復數的一般形式.

生：實數也是復數，例如3=3+0i，0=0+0i.

教學說明：教師引導學生由特殊到一般、明確復數的分類，能從數和形兩個角度深化對復數的理解，并進一步厘清復數集和實數集之間的關系.

師：對于給定的復數2+i，它的實部a=2，虛部b=1；反之，實部為2、虛部為1的復數也是唯一確定的，即2+i.因此，復數2+i和有序實數對（2，1）是一一對應的.

問題4一般地，復數a+bi和有序實數對（a，b）之間具有怎樣的關系？

生：一一對應.

追問1：兩個復數a+bi（a，b∈R）和c+di（c，d∈R）相等的條件是什么？

生：a=c且b=d.

追問2：特別地，a+bi=0（a，b∈R）的充要條件是什么？

生：a=b=0.

教學說明：引導學生體會復數a+bi和有序實數對（a，b）之間是一一對應的，理解兩個復數相等當且僅當它們的實部和虛部都分別相等，也就是說復數由它的實部和虛部唯一確定，為后續研究復數的幾何意義及復數的三角表示奠定基礎.

1.4 運用新知，鞏固訓練

例1指出下列各復數的實部與虛部，并指出

哪些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數？

5+2i，i（1－3），2+7，0，3i－2i2.

例2當實數m取什么值時，復數z=m+1+（m－1）i是下列數？

（1）實數；（2）虛數；（3）純虛數.

例3已知（x+y）+（y－1）i=（2x+3y）+（2y+1）i，求實數x，y的值.

師生活動：教師用PPT展示例題，例1由學生思考、口答，教師點評，例2、例3由學生獨立完成后用多媒體交流展示，教師點評并規范解題步驟.

教學說明：例1考查學生對復數的基本概念及其分類的理解，例2考查學生對復數的分類的掌握情況，例3考查學生對兩個復數相等含義的理解.

1.5 反思總結，提煉收獲

問題5通過本節課的學習，你收獲了哪些數學知識與思想方法？

師生活動：學生思考作答，教師從數學知識和思想方法兩個方面進行補充和完善.

（1）數學知識：了解了數系擴充的基本“規則”，復數的基本概念（復數、實部、虛部、虛數、純虛數等），兩個復數相等的含義，復數的分類；

（2）思想方法：實數系擴充到復數系運用了類比的研究方法.

教學說明：通過回顧數系擴充過程及復數相關概念，凝練數學知識與思想方法，促使學生對本節課的學習有一個全面、系統的認識，積累研究數學問題的經驗.

2 教學反思

2.1 歷史重現，理解數學本質

在數學課堂中還原數學史或結合學情適當改編歷史，可以滲透數學文化和數學精神，促進學生對數學本質的理解.本節課通過改編歷史上卡丹拆數的故事，設計了“拆數游戲”來引入，讓學生體會數學問題來源于生活問題.筆者結合學情適當改編歷史，使問題情境更簡化，目的在于引導學生意識到，當遇到方程在原數集中無解時，可以類比自然數系到實數系的擴充過程，通過引入新數、擴充數集來解決問題，使學生感受引入復數的必要性.然后，教師介紹歐拉與復數的淵源，深化學生對虛數單位的理解，并對學生進行人文教育，激發學生學習數學的興趣.

2.2 游戲探究，發展數學思維

本節課設計了“拆數游戲”，引導學生探究方程的求根問題，感受引入復數的必要性；通過類比自然數系到實數系擴充的一般規則，設計了“組數游戲”，引導學生合作探究復數的基本結構、相關概念和分類.學生通過獨立思考、合作探究的方式，在活動中逐步形成并不斷深化對復數的理解，主體性得到了充分的體現.本節課以游戲探究的形式，激發了學生的學習興趣，發展了學生的數學思維品質.

2.3 問題引領，滲透數學思想

本節課通過設置層層遞進的問題串，引導學生循序漸進地探究引入復數的必要性、復數的基本結構、相關概念及其分類，學生的思維跟隨著教師的問題鏈不斷發生碰撞，認知水平和解決問題的能力不斷增強.好的問題可以使整節課串成一個邏輯鏈條，各環節相互聯系、層層遞進，利于揭示知識的本質，使學生知其所以然.問題鏈教學也是最能體現數學邏輯之美的教學方法，通過理性的方式向學生展示數學之美.