新人教版高中數學教材中一道三角函數應用題的商榷

摘要：針對2019年新出版的人教A版普通高中教科書·數學必修第一冊第五章“三角函數”的第7節“三角函數的應用”的例2做了深入探討，提出了不同的見解.

關鍵詞：三角函數；吃水深度；新教材

1 教材中的例題

在2019年新出版的人教A版普通高中教科書·數學必修第一冊（下稱“新教材”）中，筆者發現第五章“三角函數”的第7節“三角函數的應用”的例2值得探討，原題呈現如下：

例2海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋.表1是某港口某天的時刻與水深的預報.

（1）選用一個函數來近似描述這一天該港口的水深與時間的關系，給出整點時水深的近似數值（精確到0.001m）.

（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4 m，安全條例規定至少要有1.5 m的安全間隙（船底與洋底的距離），該船這一天何時能進入港口？在港口能呆多久？

（3）某船的吃水深度為4 m，安全間隙為1.5 m，該船這一天在2：00開始卸貨，吃水深度以0.3 m/h的速度減少，如果這條船停止卸貨后需0.4 h才能駛到深水域，那么該船最好在什么時間停止卸貨，將船駛向較深的水域？

解：（1）（2）問的詳細解答見新教材第246～247頁.其中，水深Y（單位：m）與時間x（單位：h）的關系用函數Y=2.5sin5π31x+5近似描述.

（3）新教材中給出的解答如下：

設在x h時貨船的安全水深為y m，那么

y=5.5－0.3（x－2）（x≥2）.

在同一直角坐標系內畫出這兩個函數的圖象，可以看出在6～8時之間兩個函數圖象有一個交點（圖1）.

借助計算工具，用二分法可以求得點P的坐標約為（7.016，3.995），因此為了安全，貨船最好在6.6時之前停止卸貨，將船駛向較深的水域.

2 應用題的探討

教材中的解答考慮到“這條船停止卸貨后需0.4 h才能駛到深水域”，因此將實際水深恰好等于安全水深的時刻（即點P的橫坐標）提早0.4 h，得到約在6.6時之前停止卸貨，將船駛向較深的水域.如圖1所示，這樣在船駛到深水域之前均是安全的，即實際水深大于等于安全水深.

筆者認為上述解答有一定的偏差，具體分析如下：

首先，關于吃水深度的變化，如題干所言，吃水深度是船底與水面的距離，也即貨船浸入水下的深度，如圖2中h1.由物理學原理知：貨船浸到液體中的部分所產生的浮力抵消貨船的重力.設貨船和貨物的總質量為m，海水的密度為ρ，貨船在海水中排開液體的體積為V，貨船和貨物的總重力為G，貨船和貨物受到的浮力為F浮，重力加速度為g，那么

F浮=G，G=mg，F浮=ρgV.

聯立，得m=ρV.

由于海水密度ρ可認為是定值，因此在卸貨過程中，隨著貨物減少，貨船和貨物的總質量m減少，從而V減少，所以吃水深度會隨著卸貨而減小.在本情境中，卸貨導致吃水深度以0.3 m/h的速度減少.一旦停止卸貨，m不再變，從而V也不再變，所以停止卸貨后，吃水深度將不再減少.又由于貨船在某一時刻需要的安全水深等于該時刻貨船的吃水深度h1加上安全條例規定的安全間隙h2=1.5 m，所以停止卸貨后的貨船需要的安全水深也不再減少.

其次，如題干所言“這條船停止卸貨后需0.4 h才能駛到深水域”，深水域可以完全保證貨船不會擱淺，但貨船需要用0.4 h的時間完成如關閉艙門、發動船只、由碼頭經航道駛至深水域等一系列準備工作.在這0.4 h內，貨船不卸貨、安全水深不變，但航道實際水深由于潮汐現象始終以Y=2.5sin5π31x+5的規律發生變化，其中x為時間（單位：h），Y為實際水深（單位：m）.因此，除了保證貨船在碼頭卸貨時水深滿足安全水深的要求之外，從貨船停止卸貨到駛到深水域的這0.4 h的過程中，也要保證水深滿足安全水深的要求.

綜合以上兩點，若在x0時停止卸貨，貨船需要的安全水深為y0=5.5－0.3（x0－2），x0時以后，貨船不再卸貨，準備進入深水域，安全水深始終為y0=5.5－0.3（x0－2）.在這個過程中，航道實際水深由停止卸貨時的Y1=2.5sin5π31x0+5，減小到（x0+0.4）時刻貨船進入到深水域時的Y2=2.5sin5π31（x0+0.4）+5.要保證貨船安全，必須使整個駛離過程，即區間［x0，x0+0.4］內的最小水深大于等于卸貨后的安全水深，也即

Y2≥y0或2.5sin5π31（x0+0.4）+5≥5.5－0.3（x0－2）.

在同一直角坐標系內刻畫上述關系，如圖3.

借助計算工具可得x0≤6.479.故保守估計，該船最好在6.4時之前停止卸貨，駛向較深的水域.

從以上分析可看出，貨船安全水深y與時間x的關系應該是以停止卸貨時刻為分界點的分段函數，但教材中給出的解答是基于貨船駛到深水域之前的安全水深始終以y=5.5－0.3（x－2）的規律減少，沒有考慮到貨船停止卸貨后吃水深度就不再減少的事實.

3 關于新教材題目設計的理解與改進

在舊人教版相應位置中，該題第（3）問為：

（3）若某船的吃水深度為4 m，安全間隙為1.5 m，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3 m的速度減少，那么該船在什么時間停止卸貨，將船駛向較深的水域[1]？

舊人教版中的設問不考慮貨船駛往深水區的具體時間差，認為船一旦駛離碼頭就是安全的.對這種假設并不提出異議，因為建立數學模型解決實際問題，所建的模型總是近似的.舊人教版教材中并配有如下思考題：

“如圖1，設P（x0，y0），有人認為，由于P是兩個圖象的交點，說明在x0時，貨船的安全水深正好與港口水深相等，因此在這時停止卸貨將船駛向深水域就可以了，你認為對嗎？”[1]

舊人教版配套教師用書中對上述思考題作出的闡釋是：“考慮到安全因素，在貨船的安全水深正好與港口水深相等時停止卸貨將船駛向較深水域是不行的，因為這樣不能保證貨船有足夠的時間發動螺旋槳.”[2]這里結合實際，考慮到從停止卸貨到貨船離開有一定的時間差.所以在舊人教版教材中，只要考慮到存在這樣的時間差、知道要取點P橫坐標的不足近似即可.編者在新教材中增加“這條船停止卸貨后需0.4 h才能駛到深水域”這一條件，可能是意圖將舊教材中思考題考慮的因素補充到題干中，但一旦明確指出這個時間差是0.4 h，就產生了新的要求，正如本文所描述的“安全水深y與時間x的關系應該是以停止卸貨時間為分界點的分段函數”，但難以從圖象中直觀地確定分界點的值，只能通過代數式計算并且借助計算工具求解.

若將新增的條件改為“這條船停止卸貨前需0.4 h啟動發動機才可以離港”，問“該船最好在什么時間啟動發動機”，那么情境就變成了：先發動船只準備離開，發動過程中可繼續卸貨，停止卸貨并駛離碼頭確保安全.此時在離港之前貨船始終在卸貨，安全水深y始終以函數y=5.5－0.3（x－2）減少，這樣新教材中對此問的原有解答才是合適的.

另外，新教材補充題目條件之后仍配有上述一模一樣的思考題，但題干中新增的條件已經傳達了停止卸貨到離開港口之間存在時間差，那么思考題就略顯冗余.若保持新教材中題干不變，想要提醒學生注意臨界點的不足近似，筆者認為可以將思考題改為“能否讓停止卸貨時的水深剛好等于進入深水域之前的最小水深？”新教材配套的教師教學用書中也沒有針對該題的改動作出實質性的調整[3]，新人教版高中數學教材對該應用問題的改編值得商榷.

參考文獻：

［1］人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書數學4必修（A版）[M].2版.北京：人民教育出版社，2007.

［2］人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書數學4必修（A版）教師教學用書[M].2版.北京：人民教育出版社，2007.

［3］人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書數學必修第一冊（A版）教師教學用書[M].北京：人民教育出版社，2019.