透視高考真題 關注數學閱讀

摘要：結合近幾年全國卷高考真題，在反套路、反刷題上下功夫，注重創新類試題創設真實情境，同時新教材增加了許多數學閱讀內容，對數學閱讀提出了很高的要求，因此在教學中要引導學生關注數學閱讀，提升學生閱讀能力.

關鍵詞：高考真題；關注；數學閱讀；能力考查

1 數學閱讀及數學閱讀能力

1.1 數學閱讀的定義

“數學閱讀”不同于一般的閱讀，數學閱讀是從數學閱讀文本中獲取有用信息進行內化、理解、推理與反省的心理過程，對字符（文字、符號與圖形的總稱）進行正確編碼和轉譯.數學作為一門科學，需要用簡潔、精準的語言來闡述其學科原理，而學生在數學閱讀的過程中也需要借助數學語言對材料進行分析、概括與綜合，這應當建立在一般閱讀能力的基礎上.然而，由于數學學科的抽象性與邏輯性等特點，數學閱讀必須確保一定的閱讀效果和速度，要能通過獲取關鍵信息、思想方法形成解決問題的有效策略，體現學生的邏輯思維能力以及歸類整合意識，因此數學閱讀相較于一般閱讀又有其獨特的一面［1］.

1.2 數學閱讀能力的定義

隨著高考評價體系的實施，高考命題已經從能力立意轉變為價值引領，素養導向，能力為重，知識為基，因此關鍵能力是高考重要的考查目標[2].高考數學學科對關鍵能力的考查貫穿解決問題的全過程，在接觸問題之初，閱讀理解能力起關鍵作用.

數學閱讀能力是指閱讀了數學材料后，在獲取有意義信息時體現出來的心理特質，這其中既有一般閱讀過程的能力，也有數學閱讀學科特殊性所具有的能力.其特殊能力在于對符號語言的理解，這是數學解題的關鍵；其特殊還在于對圖形語言的理解，圖形語言展示圖形中各元素之間的相對位置關系和數量關系.考生需要讀圖、識圖，并把它們的關系用數學表達式表示出來，實現數學建模從而解決問題.

2 透視真題，考查閱讀理解能力

2023年全國高考中的材料閱讀題，全方位地考查了數學閱讀能力.有些試題創設自然真實情境，取材于學生生活中的實際問題，助力閱讀能力的考查，有現實意義，如全國甲卷理第6題和第9題；有些試題設置科學研究情境，不僅考查數學的必備知識和關鍵能力，而且引導考生樹立理想信念，熱愛科學，為我國社會主義事業的建設作出貢獻，如新課標Ⅰ卷第10題、全國甲卷文（理）第19題、新課標Ⅱ卷第19題；還有些試題設計勞動生產情境，考查學生對新概念、新知識的理解和探究能力，如新課標Ⅱ卷第12題、全國乙卷文（理）第17題、全國甲卷文（理）第19題.

下面以一道高考真題為例來透視高考對數學閱讀及數學閱讀能力的要求.

（2023新課標Ⅱ卷·19）某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如圖1、圖2所示的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c）；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q（c）.假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.

（1）當漏診率p（c）=0.5%時，求臨界值c和誤診率q（c）；

（2）設函數f（c）=p（c）+q（c），當c∈［95，105］時，求f（c）的解析式，并求f（c）在區間［95，105］的最小值.

本題以患病者和未患病者的某項醫學指標為基礎，題干中給出了“漏診率”和“誤診率”的相關概念.本題對文字語言、符號語言和圖形語言的理解能力都進行了深入考查，試題情境既有現實意義，又體現了數學學科的應用價值.在反套路、反刷題上下足了功夫，考查數學建模和數學應用等方面的能力，引導平時教學，實現教考銜接；同時也體現了新課程改革對教師的要求，即教師須更新教學觀念，從“指揮者”轉為“引導者”，由重“知識”向重“能力”轉變，關鍵能力中的閱讀能力更是首當其沖.

此題得分率不高，主要是學生沒能很好地理解題意.其中，對“漏診率”和“誤診率”這兩個概念學生就沒弄明白，無法抓住關鍵，沒有理解文字概念背后的數學意義和數學相關知識.其實，“漏診率”是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c），題中給出了明確的定義，為什么學生此處沒有理解呢？考生在這里忽視了圖形語言的價值，沒能通過“患病者”和“未患病者”兩個頻率分布直方圖的差異未理解元素之間的相對位置關系和數量關系，更不會通過“無圖”畫圖來解決問題.仔細觀察患病者和未患病者的兩個頻率分布直方圖中橫坐標分組數據，可以發現相關信息，如圖3：

漏診或誤診的原因是患病者與未患病者的某項醫學指標都包括了［95，100］和（100，105］兩組數據，這兩組數據所對應的人群可能是陰性也有可能是陽性，這就要看檢測標準臨界值c是多少了.一旦c確定，“漏診率”是在“患病者”的頻率分布直方圖中找出小于c的比例（頻率視為概率），“誤診率”是在“未患病者”的頻率分布直方圖找出大于c的比例（頻率視為概率）.

第一小問提出當p（c）=0.5%時，求臨界值c，學生無法理解數學符號的意義，不知道在哪確定c的值，此時應回到“患病者”頻率分布直方圖中.

如圖1，第一組［95，100］所對應的的頻率為（100－95）×0.002=1%>0.5%，由此可以斷定臨界值c在［95，100］之間，列出等式（c－95）×0.002=0.5%，從而求得c=97.5.再根據“誤診率”的概念回到“未患病者”的頻率分布直方圖中，如圖2，由臨界值c=97.5，可知未患病者中［97.5，100］和（100，105］這兩組對應的頻率和就是誤診率了，于是列出等式q（c）=（100-97.5）×0.01+0.002×5=3.5%.

第二小問當c∈［95，105］時，有了第一小問的答題經驗和分段函數的知識，可以得知［95，100］和（100，105］兩段的臨界值不同，應根據p（c），q（c）的定義將c分為c∈［95，100］和c∈（100，105］進行討論.當c∈［95，100］時，與第一小問情況一樣，得到p（c）=（c－95）×0.002，q（c）=（100-c）×0.01+0.002×5；當c∈（100，105］時，由圖可知，患病者中［95，100］和（100，c］這兩段都被漏診，未患病者中只有（c，105］這段被誤診.

于是當c∈（100，105］時，漏診率和誤診率關系式為

p（c）=0.002×5+（c－100）×0.012，

q（c）=（105-c）×0.002.

整理，得到分段函數

f（c）=－0.008c+0.82，95≤c≤100，0.01c－0.98，100<c≤105，

最終得到f（c）的圖象，通過圖象求出最小值為0.02.

該真題深入考查了對文字語言的閱讀理解能力，要求考生從日常生活語言和圖形語言中抽象出數量關系，轉換成符號語言.可以看出，文字語言、圖形語言、符號語言三種數學語言信息的相互翻譯，恰恰是學生數學學習的“短板”，在很大程度上影響了學生的正常閱讀活動.這類問題需要學生有一定的學科理論儲備、抽象概括能力與閱讀基本功，多種能力聚合才能在三種語言間流暢切換.

3 真題啟示，關注數學閱讀能力

數學閱讀理解能力不單單是文字閱讀理解能力，還需要有數學的知識、背景作為基礎和依托，理解其中的數學含義.數學閱讀處理分三個方面進行突破：首先理解用文字描述的數學定義、定理，理解其中的數學含義；其次理解、掌握數學閱讀中的抽象的數學語言，進行提煉，認識和發現數學規律；最后需要對圖形語言進行抽象、總結，不管是有圖還是無圖，都需要對圖形的信息進行加工、整理，進一步抽象出其中包含的解題的關鍵信息，建立數學模型.

3.1 重視數學語言教學，掃清閱讀障礙

數學語言形式是多樣的，有文字語言、符號語言、圖形語言三種常見形式，對題目閱讀匯總需要將三種語言進行相互轉化，還原知識應用的實際過程，回歸人類認知的本源，這對學生的閱讀能力有很高的要求.高考中數學閱讀題經過精心打磨和反復推敲，惜字如金，環環相扣，閱讀信息量大，題目比較長，這對考生閱讀能力提出了超高的要求，另將生活中問題數學化，需要設置諸多限制性條件，同時為了科學性和嚴謹性，會引入許多新概念.

教師在平時的教學中，沒有很好地回歸教材和數學本質，而人教A版教材高度重視“數學閱讀”，實現從“教材”向“學材”的轉變.在立體幾何的教學中，我們有很多機會培養學生三種語言相互轉化的能力.如開展直線與平面平行的判定定理的教學時，教師引導學生閱讀教材第136頁的“觀察”中的兩幅圖，先直觀感受，再動手操作教室中的門和桌面上的書，引導學生動手畫出直線與平面平行的直觀圖，再利用動畫定性分析，探究出線面平行的文字語言描述，最后抽象出簡潔的數學符號語言.如圖4.

引導學生把圖形語言轉化成文字及符號語言，如此經常訓練，學生對三種語言不再陌生，并能熟練轉化.久而久之，閱讀能力、轉化能力、解決問題的能力都會潛移默化得到提升.

3.2 深挖教科書內涵，提升閱讀價值

教師在教學過程中不應忽視數學教材的作用，而應深入研究教材，通過讓學生閱讀數學教材達到學習的目的，而不是盲目地煽動學生購置其他數學資料而忽略數學教材.高中數學教材中適當安排了“閱讀與思考”“探究與發現”“信息技術應用”等欄目以及章頭圖和章引言等閱讀材料，其中人教A版教材有關“閱讀與思考”的內容共27篇，這些閱讀材料都是精心設計的，并緊緊圍繞著相應的教材知識而展開.教師應該根據數學閱讀材料設計不同的要求，對其做不同的處理，充分發揮它們的價值.

如開展“直線與圓的方程”這一章內容的學習時，教師首先讓學生自主閱讀人教A版選擇性必修第一冊第二章第50頁的章引言和章頭圖部分.章引言部分闡釋了解析幾何的基本內涵和研究方法、解析幾何在數學發展史上的地位，以及本章要學的主要內容；而章頭圖上描繪的是黃河大橋上的落日，“黃河大橋”代表“直線”，“落日”代表“圓”，明確了本章的研究對象是直線和圓.引導學生閱讀他們平常不太注意的部分，讓學生體會到教材的價值，從而能夠實現對數學教材的自主閱讀學習.

3.3 創新教學新情境，提升閱讀能力

面對新高考的新定義壓軸題，平時教學中要通過創新情境，引導學生發現、提出問題，分析、解決問題，使學生經歷觀察、探究、分析、歸納、反思、整合的過程，培養學生現場學習能力，延伸探究能力.

（2024年全國新課標Ⅰ卷第19題節選）設m為正整數，數列a1，a2，……，a4m+2是公差不為0的等差數列，若從中刪去兩項ai和aj（i<j）后剩余的4m項可被平均分為m組，且每組的4個數都能構成等差數列，則稱數列a1，a2，……，a4m+2是（i，j）－可分數列．

寫出所有的（i，j），1SymbolcB@i<jSymbolcB@6，使數列a1，a2，……，a6是（i，j）－可分數列.

針對上述問題，平時教學中如果能夠做到“回歸課標、重視教材”，根據以上閱讀情境，列出閱讀提綱，學生還是可以輕松答題的.

問題1題干中涉及哪些基本概念？（等差數列）

問題2等差數列{an}與自然數列{n}有什么樣的對應關系？（一一對應）

問題3當m=1時，a1，a2，……，a6是（i，j）－可分數列，可以分幾組？有幾種刪除方法？（結果見表1）

平時教學中要利用教材創設閱讀新情境，通過教學引導學生把文字語言、符號語言轉換成清晰的圖形語言，通過到閱讀提綱幫助學生一步步從具體問題抽象歸納出一般性的結論，使學生在面對新穎情境、陌生問題時能獨立找到解決方法.讓學生擺脫題海戰術，逐步學會運用科學的思維方式解決壓軸難題，成為真正的拔尖創新人才.

章建躍博士認為，教材是使學生學會做人做事的基本載體，脫離教材的教學不是好的數學教學.就有限的閱讀素材及渠道來說，教師在平時的教學中要高度關注數學閱讀，充分挖掘教材閱讀資源，使數學閱讀的價值得到體現，減少無效刷題，實現教考銜接.

參考文獻：

［1］楊紅萍.國內外數學閱讀研究概覽[J].數學教育學報，2013，22（5）：14-17.

［2］任子朝，趙軒，郭學恒.基于高考評價體系的關鍵能力考査[J].數學通報，2020，59（8）：15-20，24.