高中數學建模素養培養案例分析

摘要：通過建模將實際問題轉化為數學問題，進而利用數學知識解決問題，用模型解釋現實生活中與數學知識有關的現象與規律.本文中以“三角函數的應用”為例，詳細分析了數學建模的過程，旨在促進學生數學建模素養的培養.

關鍵詞：新課標；高中數學；建模素養；培養案例

新課標背景下高中數學建模素養的培養越來越受到重視.本文中以“三角函數模型簡單應用”的一個實際教學案例為例，展示如何引導學生在分析問題、解決問題的過程中培養學生的數學建模素養.

1 呈現實際情境，激發建模意識

在“三角函數的應用”這一課教學中，課程目標要求學生能夠運用已知的三角函數模型解決實際問題，可以將具體周期變化規律的實際問題抽象為三角函數模型，并使用三角函數模型解決一些實際問題[1].學生通過選擇問題、構建及求解數學模型，再到實際問題的解決，經歷了數學建模全過程，綜合考慮了實際問題特點和函數模型間存在的內在關聯性，充分感受到三角函數在日常生活中普遍存在，更加深刻地認識到三角函數在生活中的功能性，促進數學知識應用意識的提升.整堂課涉及到的知識點較多，如果僅僅依賴課堂枯燥乏味的講解，學生很難掌握重難點，建模意識的激發更是無從談起.針對此種情況，筆者認為可以通過問題情境的創設、三角函數知識點清晰呈現，以及一系列問題的提出，引導學生思考，逐漸形成建模意識.通過精心設計“三角函數的應用”教學各個環節，筆者結合學情給出了以下問題：

在日月引力的影響下，海水會出現漲落現象，這一現象被稱之為潮，早潮叫作潮，而晚潮則稱為汐.通常情況下船只會在漲潮的時候駛入航道，向碼頭靠近；將貨物卸完以后，又會在落潮的時候快速返回海洋.某港口某季節每天幾個時刻的水深見表1.

根據表1分析以下問題：

（1）選擇一個函數近似描述此港口水深和時間函數間的關聯性，同時求出整點時間水深近似值（精確到0.1 m）.

（2）如果某船吃水深度是4 m，安間間隙是1.5 m，2：00卸貨，吃水深度減少的速度是0.3 m/h，此時船何時能進入港口？何時必須要停止卸貨，駛向深水域？

通過以上問題情境的呈現，以此為主線進行探究，層層遞進，其中問題（1）引導學生初步感受現實生活中呈周期變化的三角函數問題，運用三角函數模型求解實際問題；問題（2）則鼓勵學生在自主分析實際問題的同時，構建三角函數模型，并解決實際問題，加深對三角函數與實際生活的關聯體驗，掌握數學建模的完整步驟與方法.學生在體會數學思想的過程中，建模意識逐漸增強，數學素養有所提升.

2 正確理解實際問題，建立數學模型

2.1 小組合作，獲得水深與時間關系函數模型

在探討問題（1）時，筆者認為可以先要求學生仔細觀察表1中數據的變化，從中獲取相應信息，鼓勵小組間進行合作探討，然后由代表發言.在各小組深入討論以后，有的小組得出以下結果：水深最大值7.5 m，最小值2.5 m.也有的小組得出結果：水的深度由5.0 m增加至7.5 m以后慢慢開始減少，直至減少到2.5 m，又開始變深，增加至7.5 m以后，開始減少.最后教師總結，水深變化呈現一種周期性規律.為了能夠使學生更加清晰地看到數據變化的規律，筆者認為可以給予學生更多主動權，積極開展動手活動，鼓勵學生通過作圖的形式將這種變化呈現出來，以更加直觀明了地看到周期性變化規律.在此基礎之上，還可進一步總結作圖結果，提出更加深入的問題：“與之前學過的哪個函數類型類似？”緊接著提問：“為什么與正弦型函數y=Asin（ωx+φ）類似（采用的是排除法，關注的是周期性）.新舊知識相結合，讓學生求解.學生選用函數y=Asin（ωx+φ）+h（A＞0，ω＞0）描述水深與時間的關聯性，結合表1的信息求出A=2.5，h=5，T=12，φ=0，ω=π6，所以

y=2.5sinπx6+5.

得出刻畫水深與時間關系的三角函數模型后，為保證選擇的函數更加精準，筆者認為鼓勵學生進行檢驗也是非常有必要的.此時可提出建模過程——選模、求模、驗模、應用，在此模型基礎之上，讓學生以小組為單位探討：“通過此模型大致可以知道水深與時間關系的哪些情況？”學生思考與探討以后做出如下回答：如周期、單調性、每時每刻的水深.在學生將幾個值計算出來后，教師展示水深與整點時間數值表.整個過程突出小組間的合作與探討，利于幫助學生獲取更多的知識點，準確獲取水深與時間關系函數模型[2].

2.2 強化跨學科建模思想，培養創造遷移能力

新課標要求重視學生數學核心素養的培養，促進思維品質以及數學能力的提升.在數學教學環節中滲透建模思想，對于學生實踐能力的培養非常有利[3].

筆者認為在講解貨船安全深度未變這一知識點時，可以進一步呈現貨船載滿貨物進入港口這一內容，并與物理學科知識點有效結合提出問題：卸貨時船身逐漸減輕，船身上浮，同時吃水深度均發生變化，此時如何選擇進出港時間？此問題提出以后，引導學生探究問題（2）.學生在經過討論后得出：實際水深≥安全水深，即

2.5sinπx6+5≥5.5－0.3（x－2）.

在探討以后選擇運用幾何法求解，并利用幾何畫板作圖進行呈現，如圖1所示.學生借助圖象便可直觀看到：即將到達p時刻時，貨船需要停止卸貨，向深水區駛去，如何求解點P的坐標呢？學生思考、討論求出點P的橫坐標.

或采用數形結合法、二分法求得近似解.根據圖形可獲得點P的橫坐標在區間［6，7］內，因此僅需將6：00，6：30，7：00這3個時間點安全水深和實際水深值（見表2）計算出來，就可以解答問題.

結合以上分析，為了進一步培養學生的創造力，筆者提出問題“若時間控制不合理，貨船便會發生未卸完貨就要暫時離港，待水位上漲以后方能駛回繼續卸貨的情況，無形之中浪費了人力、財力”，鼓勵學生探討如何解決此問題.學生得出結論：卸貨時間加快，換言之加快安全深度降低的速度.建模的時候通過數學語言構建了數學與其他學科間的關系，突破了三角函數的重難點，使學生站在物理視角解決數學問題，同時基于數學視角了解物理知識，促進了創新遷移能力的提升.而拓展性問題的提出，給予了學生更多想象的空間，基于現有數學模型，結合所學三角函數知識，根據生活經驗解決現實生活中的實際問題，實現了數學知識的再創造與遷移.

高中數學教學過程中涉及到的各知識點具有較強的邏輯性、實踐性[4]，要想使學生全面且系統化地掌握這些知識點，筆者認為這就需要在講解基礎知識的同時，借助數學建模活動的開展，給予學生正確引導，通過數學建模思想快速解決問題，在促進學生建模意識形成的過程中，便可以系統化梳理知識結構，促進建模素養的培養.這樣，數學學習效果會更加理想.

參考文獻：

[1]李佳香.新課程新教材對高中數學教學中數學建模的啟發[J].數理天地：高中版，2023（17）：59-61.

[2]馬利雅.談新課標下高中生數學建模能力的培養策略[J].中文科技期刊數據庫（引文版）教育科學，2023（5）：185-189.

[3]彭介顧.新課程標準下的高中數學建模教學實踐研究[J].數學學習與研究，2022（17）：125-127.

[4]袁慧春.新課標背景下高中數學教學中培育學生建模意識的方法[J].天津教育，2023（11）：104-106.