動態與靜態的巧妙融合：一道拋物線題的破解

摘要：依托一道高考模擬題中的拋物線問題，借助問題的動態與靜態的巧妙融合，從代數、距離、焦半徑等不同思維視

角切入，開拓數學思維，拓展解題技巧，合理變式拓展，進行深度學習與探究學習，引領并指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：拋物線;動點;代數;距離;焦半徑

直線與拋物線的位置關系的綜合問題，是高考命題的一類基本類型.此類問題，基于拋物線自身所具有平面解析幾何的基本屬性，或者曲線所對應的平面幾何的性質特征等，特別是拋物線的焦點弦或焦半徑問題、拋物線的光學性質問題等，有效聯系拋物線自身“數”的本質屬性與“形”的幾何特征，合理利用邏輯推理、直觀想象、數學運算等來分析與解決，培養數學核心素養，全面考查學生的數學“四基”與數學基本能力，具有較好的區分度與選拔性，備受命題者青睞.

1 問題呈現

問題已知A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線y2=8x上兩個不同的動點，且滿足y1y2=－16，則|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值為.

此題以拋物線為問題背景，利用拋物線上兩個特殊的動點A，B所滿足的條件（

隱含條件，AB是焦點弦）來設置，進而確定含有兩動點的坐標關系式的絕對值之和的最值問題.

而在解題時，可以從所求式子的代數視角切入，利用純代數法來推理與運算；也可以從所求代數式的結構特征視角切入，利用距離法來推理與運算；還可以回歸焦點弦的本質，從焦半徑公式視角切入，利用焦半徑法來推理與運算.三個不同的思維視角對應三種不同的技巧與方法.

2 問題破解

解法1：純代數法.

依題意可得|x1+y1+2|=y218+y1+2=18（y1+4）2，同理可得|x2+y2+2|=18（y2+4）2.

因為y1y2=－16，所以18（y1+4）2+18（y2+4）2=18[（y1+y2）2+8（y1+y2）+32－2y1y2]=18×[（y1+y2+4）2+48]≥6，當且僅當y1+y2+4=0，即y1+y2=－4且y1y2=－16時，等號成立.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值為6.

點評：純代數法解決平面解析幾何問題，對于代數式的變形與轉化有著非常高的要求，借助絕對值的變化、代數式的配方等，進而利用二次函數的圖象與性質來分析與處理，過程簡捷，步驟優化，是解決該問題的一種非常不錯的“巧技妙法”.

解法2：距離法.

依題可設直線AB的方程為x=my+n，n>0.

聯立x=my+n，y2=8x，消去x并整理可得y2－8my－8n=0，則有y1+y2=8m，y1y2=－8n=－16，解得n=2，故直線AB過焦點F（2，0）.

設AB的中點為M，則yM=12（y1+y2）=4m，xM=myM+n=4m2+2，所以M（4m2+2，4m）.

設點A，B，M到直線l：x+y+2=0的距離分別為d1，d2，d，由梯形的中位線定理可得d1+d2=2d.

利用點到直線的距離公式，可得

d1=|x1+y1+2|2，

d2=|x2+y2+2|2，

d=|xM+yM+2|2.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|=2（d1+d2）=22d=8（m2+m+1）=8m+122+6≥6，當且僅當m+12=0，即m=－12時，等號成立.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值為6.

點評：距離法的依據是所求結果中的代數式吻合點到直線的距離公式，自然聯想到通過點到直線的距離公式來轉化與應用.距離法離不開平面幾何的基本性質，以及平面解析幾何中的點、直線等要素，綜合起來加以應用與轉化，得以實現代數式的最值的求解.距離法的求解比較容易構建，但解題過程要加以合理轉化與巧妙應用.

解法3：焦半徑法.

同解法2可得直線AB過焦點F（2，0）.

由拋物線的焦半徑公式，數形結合可得x1+y1+2=|AF|+y1≥|y1|+y1≥0，同理可得x2+y2+2≥0.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|=|AF|+y1+|BF|+y2=|AB|+y1+y2=|AB|+8m.

而|AB|=1+m2|y1－y2|=1+m2·（y1+y2）2－4y1y2=8（1+m2）.

所以|AB|+8m=8（m2+m+1）=8m+122+6≥6，當且僅當m+12=0，即m=－12時，等號成立.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值為6.

點評：焦半徑法的應用前提必須是對應的直線過焦點，推理并分析直線的性質就成為解決問題的首要條件.而焦半徑法的應用，可以結合拋物線的定義，以及數形結合等數學思維，是一種不錯的解法.同時，焦半徑法的應用，也給此類問題的深入探究與變式拓展提供方向，為深度學習提供條件.

3 變式拓展

3.1 改變條件

根據原問題的焦半徑法，其中利用了拋物線中的定值“y1y2=－p2”，為確定直線AB過焦點F提供條件.那么改變問題條件，從拋物線中的另一個定值“x1x2=p24”入手加以創設，得到以下對應的變式問題［1］.

變式1已知A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線y2=8x上兩個不同的動點，且滿足x1x2=4，則|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值為.

解析：依題，設直線AB的方程為x=my+n，n>0.

聯立x=my+n，y2=8x，消去y，得x2－（8m2+2n）x+n2=0，則有x1+x2=8m2+2n，x1x2=n2=4，解得n=2，故直線AB過焦點F（2，0）.

由以上聯立的方程，消去x并整理可得y2－8my－8n=0，則有y1+y2=8m，y1y2=－8n=－16.

由拋物線的焦半徑公式，數形結合可得x1+y1+2=|AF|+y1≥|y1|+y1≥0，同理可得x2+y2+2≥0.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|=|AF|+y1+|BF|+y2=|AB|+y1+y2=|AB|+8m.

而|AB|=1+m2|y1－y2|=1+m2·（y1+y2）2－4y1y2=1+m2·64m2+64=8（1+m2），所以可得

|AB|+8m=8（m2+m+1）=8m+122+34≥6，當且僅當m+12=0，即m=－12時等號成立.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值為6.

故填答案：6.

3.2 改變設問

根據原問題的距離法，合理改變題設條件或含有兩動點的坐標關系式的所求代數式，以更加復雜的題設條件或直線方程形式來設置，給距離法的應用提供條件，得到對應的變式問題.

變式2已知A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線y2=8x上兩個不同的動點，且滿足x1x2+y1y2=0，則|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值為.（參考答案：18）

變式3已知A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線y2=8x上兩個不同的動點，且滿足y1y2=－16，則|x1+3y1+6|+|x2+3y2+6|的最小值為.（參考答案：10）

4 教學啟示

依托拋物線的方程與基本性質，結合拋物線自身“數”的本質屬性與“形”的幾何特征，給涉及拋物線的綜合應用問題的解決提供更加寬廣的空間.基于此，為問題的深入拓展與變式應用提供條件，為深度學習與探究學習打下堅實的基礎.

從問題的題設條件與解析過程入手，依托“一題多解”與“一題多變”，巧思維探究，妙方法拓展，進一步提升問題的綜合性、應用性以及創新性等，成為更加全面、細致地考查學生的“四基”與“四能”的一種重要方式.

參考文獻：

[1]韓文美.焦點之弦，靈巧善變——基于一道教材例題的探究（拋物線）[J].中學生數理化（高二數學），2022（11）：15-16，18.