圓錐曲線綜合探究類題型賞析

摘要：探究性問題是近年來高考數學中出現的新題型，其中圓錐曲線綜合探究類試題包括探究條件、探究結論、創新探究、綜合探究等類型，不僅涉及到的知識點多，而且對觀察、猜測、分析、類比、轉化、計算、證明等能力也有較高的要求，屬于分值高、難度大的題型.解決這類問題，要打破常規，靈活運用“數形結合”“大膽假設，小心求證”“從一般到特殊，從特殊到一般”“轉化變形”等數學思想與方法.

關鍵詞：是否存在問題；對稱問題；向量；掌握方法

“圓錐曲線與方程”是高中數學（人教B版選修1-1）中重要的學習內容，也是高考的一個重要考點，尤其是涉及到與圓錐曲線有關的位置關系問題、弦長問題、面積問題、對稱問題、定點與定值問題、向量問題、存在與否（能否）問題等，多以探究性、綜合性的壓軸題型出現，分值高，計算量大，是考生失分的重災區，因此，熟悉這類題型并掌握答題思路與方法就顯得非常重要.本文中試圖通過與雙曲線、橢圓、拋物線相關的典型例題的解法賞析，就這類題型的思路與解法作一初步探討，僅供參考.

1 探究雙曲線內直線是否存在的問題

探究雙曲線內直線是否存在的問題，屬于探究條件的類型，思路是先假設條件成立，再驗證結論是否成立，成立則存在，否則不存在[1].

例1已知雙曲線x2－y22=1.

（1）過點A（2，1）的直線l與所給雙曲線交于兩點P1，P2，試求線段P1P2的中點P的軌跡方程.

（2）過點B（1，1）能否作直線m，使m與所給雙曲線交于兩點Q1，Q2，且B是線段Q1Q2的中點？試探究：這樣的直線是否存在？如果存在，求出它的方程；如果不存在，請說明理由.

解法1：（1）根據題意，設P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），

則有

x21－y212=1，①

x22－y222=1.②

①-②且因式分解，得

（x1－x2）（x1+x2）－12（y1－y2）（y1+y2）=0.

整理得直線l的斜率

k=2（x1+x2）y1+y2=4x2y=2xy.

因為P，A兩點在直線l上，所以直線l的斜率為k=y－1x－2，故2xy=y－1x－2.

整理得2x2－y2－4x+y=0，即中點P的軌跡方程.

（2）假設直線m存在，那么它的斜率為k=2xy=2×11=2，則直線m的方程為y－1=2（x－1），即y=2x－1，它與雙曲線應該有兩個交點.

由y=2x－1，x2－y22=1，得2x2－4x+3=0，而判別式Δ=16－24<0，該方程無解，這與前面的假設相矛盾，所以這樣的直線不存在.

解法2：（1）設過點A的直線l的參數方程為

x=x0+tcos θ，y=y0+tsin θ（t為參數），

其中（x0，y0）是線段P1P2的中點P的坐標，將參數方程代入雙曲線方程x2－y22=1，化簡得

（2cos 2θ－sin 2θ）t2+2（2x0cos θ－y0sin θ）t+2x20－y20－2=0.③

因為直線l與雙曲線交于兩點P1，P2，所以2cos 2θ－sin 2θ≠0，方程③必有兩實根.又因為（x0，y0）是線段P1P2的中點坐標，所以t1+t2=0，即2x0cos θ－y0sin θ=0.結合l的參數方程，可得直線P1P2的方程為2x0（x－x0）－y0（y－y0）=0.因為直線P1P2過點A（2，1），所以2x0（2－x0）－y0（1－y0）=0，用x，y分別代換x0，y0即可得所求的軌跡方程為2x2－y2－4x+y=0.

（2）若存在這樣的直線m，則當x0=1，y0=1時，方程③必有實根，且兩根之和仍為零，則2cos θ－sin θ=0，即sin θ=2cos θ，代入③得－2t2cos 2θ－1=0，此方程顯然無實根，這與以上所述相矛盾，所以這樣的直線不存在.

解法賞析：本題的第（1）問是求過定點的弦的中點軌跡方程，解法1是運用代入法，解法2是設出直線的參數方程，利用t的意義即t1+t2=0來求解，這兩種方法是解答此類問題的常用方法.本題的第（2）問是探究“存在與否”的問題，解題的思路是“大膽假設，小心求證”，先假設直線m存在，然后將其轉化為方程解的存在性問題來解決.

2 探究橢圓中的對稱問題

探究橢圓中的對稱問題，需要用到對稱問題的基本原理：設A（x1，y1），B（x2，y2），若A，B兩點關于直線y=kx+m對稱，則有y2－y1x2－x1=－1k且A，B兩點連線的中點在直線y=kx+m上，即若x0=x1+x22，y0=y1+y22，則有y0=kx0+m.此類問題還可通過點差法求出中點與斜率之間的關系來解決[2].

例2如圖1，橢圓G：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點F1（－c，0），F2（c，0）和頂點B1，B2構成面積為32的正方形.

（1）求橢圓G的方程.

（2）設斜率k（k≠0）的直線l與橢圓G相交于不同的兩點A，B，Q為AB的中點，且P0，－33.

試探究：A，B兩點能否關于直線PQ對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由.

解析：（1）因為四邊形F1B1F2B2為正方形且面積為32，所以c=b，且a2=32.又因為a2=b2+c2，所以2b2=32，b2=c2=16，故橢圓G的方程為x232+y216=1.

（2）設直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）.聯立x232+y216=1與y=kx+m，得x232+（kx+m）216=1，化簡得

132+k216x2+km8x+m216－1=0.

所以，x1+x2=－km8132+k216=

-4km1+2k2.

由Δ=km82－4132+k216m216－1＞0，可得4132+k216－m232×16>0，整理得

m2<32k2+16.

若點A，B關于直線PQ對稱，則kPQ=－1k.

設AB的中點Q（x0，y0），則有

x0=x1+x22=－2km1+2k2，

y0=kx0+m=k－2km1+2k2+m=m1+2k2.

所以Q－2km1+2k2，m1+2k2.

由kPQ=m1+2k2+33－2km1+2k2=－1k，解得

m=1+2k23.將m=1+2k23代入m2<32k2+16，得1+2k232<32k2+16，解得－942<k<0或0<k<942.

故當－942<k<0或0<k<942時，A，B兩點關于直線PQ對稱.

解法賞析：本題考查了橢圓中的對稱問題，涉及到中點坐標公式和直線斜率公式的靈活應用.第（1）問根據正方形的面積與a2=b2+c2的關系即可求得橢圓的方程；第（2）問通過聯立橢圓與直線的方程，采用假設的思路，利用根與系數的關系求出m的值，進而求出k的取值范圍.

3 探究拋物線中與向量相關的問題

探究拋物線中與向量相關的問題，通常是利用向量的坐標運算將向量轉化為與坐標有關的代數式，結合代數式的特征和圖形的性質選擇相應的方法[3]；解題的關鍵是掌握向量關系與幾何圖形中元素之間關系的等價轉化.

例3已知拋物線C：y=2x2，直線y=kx+2交拋物線C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交拋物線C于點N.

（1）證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行.

（2）試探究：是否存在實數k，使NA＼5NB=0？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

解析：（1）如圖2，設A（x1，2x21），B（x2，2x22），把y=kx+2代入y=2x2，得2x2－kx－2=0，則有

x1+x2=k2，

x1x2=－1.

所以xN=xM=x1+x22=k4，可知點N的坐標為k4，k28.因為y=2x2，所以y′=4x，則拋物線在點N處的切線的斜率為4×k4=k.

所以拋物線在點N處的切線與AB平行.

（2）假設存在實數k，使NA＼5NB=0，由（1）得NA=x1－k4，2x21－k28，NB=x2－k4，2x22－k28，所以NA＼5NB=x1－k4x2－k4+2x21－k28＼52x22－k28=x1－k4x2－k4+4x21－k216＼5x22－k216

=x1－k4x2－k41+4x1+k4＼5x2+k4

=x1x2－14k（x1+x2）+116k2＼51+4x1x2+k（x1+x2）+k24

=－1－k4×k2+k216＼51+4×（－1）+k×k2+k24=－1－k216－3+34k2=0.因為－1－k216<0，所以－3+34k2=0，解得k=±2.

故存在k=±2，使NA＼5NB=0.

解法賞析：第（1）問利用了導數的幾何意義，一般情況下，形如y=ax2（a≠0）的拋物線的切線斜率可用求導方法求解；第（2）問的解題思路是把NA＼5NB=0轉化為坐標式，利用根與系數的關系求解.

上述典例只是圓錐曲線綜合類探究問題中的幾種常見題型，其目的在于“窺一斑而見全貌”，希望通過類似的訓練與復習，能夠讓考生加深對圓錐曲線概念、性質的理解，熟練掌握“設而不求、整體代入、換元設參、因式分解、求導、轉化”等求解通法，進而激發學生探究的熱情、思維和靈感，達到舉一反三的目的.

參考文獻：

[1]徐春生.例析圓錐曲線中存在型問題[J].中學生數理化：高二數學，2022（Z1）：46-47.

[2]徐之財.圓錐曲線探究，思維“五步”構建——以2021年新高考Ⅱ卷圓錐曲線壓軸題為例[J].數學教學通訊，2023（6）：84-86.

[3]王美蓮.真題再現，解析突破，多解探索，教學建議——以2023年高考新課標全國Ⅰ卷“圓錐曲線壓軸題”為例[J].數學教學通訊，2023（24）：83-85.