三角形面積公式的向量形式及其應用

要結論.本文中結合三角形面積公式的向量形式對應定理的給出，進行合理推廣與拓展，借助實例加以剖析與應用，拋磚引玉.

1 三角形面積公式的向量形式的定理和推論

引入平面向量的相關知識后，可以用平面向量及其相關知識來處理三角形面積公式，得到三個與平面向量形式有關的三角形面積公式的結論.

1.1 向量面積公式

定理在△ABC中，若AB=a，AC=b，則△ABC的面積為S=12（|a|＼5|b|）2－（a＼5b）2.

證明：由S=12|AB|＼5|AC|＼5sin A，可得

S2=14|AB|2|AC|2sin 2A=14|a|2＼5|b|2＼5（1－cos 2A）=14|a|2＼5|b|2＼51－a＼5b|a|＼5|b|2=14（|a|2＼5|b|2－（a＼5b）2］.

所以S=12（|a|＼5|b|）2－（a＼5b）2.

三角形面積公式的平面向量形式，在涉及一些與向量、坐標等有關的三角形面積求解與應用時，可以直接有效地加以轉化與合理應用，解決問題更加方便.

1.2 向量坐標形式的面積公式

在以上三角形面積公式的平面向量形式定理的基礎上，結合平面向量的坐標表示，經常直接利用平面向量的坐標及其對應的關系來表示三角形的面積.由此，可以得到用平面向量的坐標（或點的坐標）

表示的有關推論.

推論1：在△ABC中，若AB=（a1，b1），AC=（a2，b2），則△ABC的面積為S=12|a1b2－b1a2|.

證明：設△ABC的面積為S，由上述定理，可知

S=12（|a|＼5|b|）2－（a＼5b）2

=12（a21+b21＼5a22+b22）2－（a1a2+b1b2）2

=12（a1b2－b1a2）2

=12|a1b2－b1a2|.

推論2：在△ABC中，若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則△ABC的面積為

S=12|x1（y2－y3）+x2（y3－y1）+x3（y1－y2）|.

證明：因為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），所以

AB=（x2－x1，y2－y1），AC=（x3－x1，y3－y1）.

由推論1，可知

S=12|（x2－x1）（y3－y1）－（y2－y1）（x3－x1）|

=12|x1（y2－y3）+x2（y3－y1）+x3（y1－y2）|.

借助平面向量的坐標表示或三角形三頂點的坐標，可以直接用來確定與之對應的三角形的面積，在實際解題應用中更加直接有效，也是解決問題中經常選用的一個重要“二級公式”與結論.

2 三角形面積公式的向量形式的應用

利用三角形面積公式的向量形式，可以處理已知三角形三個頂點坐標求有關的三角形面積問題，計算簡單，操作方便.

2.1 面積的求解

例1在△ABC中，若A（－1，－1），B（3，5），C（-2，7），求△ABC的面積.

解析：由推論2，得

S△ABC=12|x1（y2－y3）+x2（y3－y1）+x3（y1－y2）|=12|－1×（5－7）+3×（7+1）－2×（－1－5）|=19.

點評：本題直接根據三角形的三個頂點的坐標，利用三角形面積公式的向量坐標形式的相關結論來分析與求解，更加簡單快捷.此類作為課外拓展與提升的“二級公式”或“二級結論”，可以有針對性地加以了解與掌握.

2.2 面積最值的確定

例2在△ABC中，A（－2，5），B（3，2），點C在拋物線y2=－x上，求△ABC的面積達到最大值時點C的坐標，并求此時△ABC的最大面積.

解析：設點C（－y2，y），則CA=（－2+y2，5－y），CB=（3+y2，2－y），

則由推論1知S△ABC=12＼5|（－2+y2）（2－y）－（3+y2）（5－y）|

=12＼5|3y2－5y+19|=32y－562+20336=32y－562+20324.

所以當y=56時，△ABC的面積達到最大值，

即當點C的坐標為－2536，56時，△ABC的最大面積為20324.

例3已知直線l：y=4x和點R（6，4），在直線l上求一點Q，使直線RQ與直線l及x軸在第一象限內所圍成的三角形面積最小.

解析：設點Q（a，4a）（a>1），則直線RQ的方程為y－44a－4=x－6a－6.

令y=0，則x=5aa－1，所以直線RQ與x軸的交點為P5aa－1，0.

所以OQ=（a，4a），OP=5aa－1，0.

根據推論1，可知S△OPQ=12|a1b2－b1a2|=12a×0－5aa－1×4a=10a2a－1

=10［（a－1）+1］2a－1=10×（a－1）+1a－1+2≥102（a－1）＼51a－1+2=40，

當且僅當a－1=1a－1，即a=2時，S△OPQ取得最小值40，此時點Q的坐標為（2，8）.

故所求面積最小值為40.

點評：合理引入參數，借助三角形面積公式的向量形式的應用，可以更加直接地表示出相關三角形的面積，進而借助函數思維、不等式思維等合理放縮與應用，正確確定相應的最值問題.借助三角形面積公式的向量形式及其應用，往往可以更加快捷地構建三角形面積的表達式，為進一步的應用提供條件.

2.3 參數的求解

例4在△OAB中，O為坐標原點，A（1，cos θ），B（sin θ，1），θ∈0，π2，則當△OAB的面積取最大值時，θ=（）.

A.π6

B.π4

C.π3

D.π2

解析1：由O（0，0），A（1，cos θ），B（sin θ，1），可得OA=（1，cos θ），OB=（sin θ，1），

則由推論1知S△OAB=12|1×1－sin θcos θ|=121－12sin 2θ.

由θ∈0，π2，得sin 2θ∈［0，1］，則

S△OAB=121－12sin 2θ=12－14sin 2θ.

所以當θ=π2時，S△OAB取到最大值12.

故選擇答案：D.

解析2：由O，A，B三點坐標及推論2知S△OAB

=12|0×（cos θ－1）+1×（1－0）+sin θ×（0－cos θ）|=12|1－sin θcos θ|

=121－12sin 2θ.

由θ∈0，π2，得sin 2θ∈［0，1］，則

S△OAB=121－12sin 2θ=12－14sin 2θ.

所以當θ=π2時，S△OAB取到最大值12.

故選擇答案：D.

點評：在同一場景下，三角形面積公式的向量形式的不同視角的應用，對于問題的解決有不同的效果.例4通過兩種不同方法的比較與應用，體會在不同公式條件下的求解思維與解題過程，有效提升解題經驗，拓展解題思維，提高解題能力.

三角形面積公式的向量形式是平面幾何知識與平面向量知識的交匯與綜合，也是三角形面積公式在平面向量場景中的具體體現，對于解決一些與之相關的問題，有很好的效果，可以在一定程度上優化解題過程，減少數學運算，開拓解題思維，很好提升數學能力并培養數學核心素養.