例談充分性在解題中的應(yīng)用

摘要：在進(jìn)行解題教學(xué)時(shí)要善于思考，弄清楚知識(shí)的來(lái)龍去脈，這樣才能讓學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)，從而達(dá)到“一覽眾山小”的教學(xué)境界，唯如此方是我們的教學(xué)之道.

關(guān)鍵詞：充分性；應(yīng)用；現(xiàn)象；本質(zhì)

匈牙利著名數(shù)學(xué)家G＼5波利亞有一句名言：掌握數(shù)學(xué)就意味著解題.在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生和老師每日都離不開(kāi)解題，但如何解答數(shù)學(xué)問(wèn)題成為當(dāng)下師生關(guān)心的共同話題.每次考完試，總會(huì)聽(tīng)到學(xué)生感嘆：這個(gè)題目我就差一步——檢驗(yàn)就正確了.常常為此懊悔不已.那么什么時(shí)候需要檢驗(yàn)，什么時(shí)候不需要檢驗(yàn)?zāi)兀肯旅嬉砸坏李}為例，探討一下.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題已知函數(shù)f（x）=ax3－3ax2+3ax－a+2在區(qū)間［2，+∞）上單調(diào)遞增，求參數(shù)a的取值范圍.

錯(cuò)解：f′（x）=3ax2－6ax+3a=3a（x－1）2.要使函數(shù)f（x）在區(qū)間［2，+∞）上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0在x∈［2，+∞）時(shí)恒成立，即3a（x－1）2≥0在x∈［2，+∞）時(shí)恒成立.因?yàn)楫?dāng)x∈［2，+∞）時(shí)，3（x－1）2>0，所以a≥0.

正解：f′（x）=3ax2－6ax+3a=3a（x－1）2.要使函數(shù)f（x）在區(qū)間［2，+∞）上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0在x∈［2，+∞）時(shí)恒成立，即3a（x－1）2≥0在x∈［2，+∞）時(shí)恒成立.因?yàn)楫?dāng)x∈［2，+∞）時(shí)3（x－1）2>0，所以a≥0.當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=2，為常函數(shù)，不具有單調(diào)性，與已知矛盾，所以a≠0.故a>0.

2 錯(cuò)因分析

本題正解與錯(cuò)解的區(qū)別就是一個(gè)驗(yàn)證了a能不能取等號(hào)，即a是否可以為0的情況，而一個(gè)沒(méi)有驗(yàn)證.顯然，上述問(wèn)題需要驗(yàn)證.為什么需要驗(yàn)證呢？

首先，舉一個(gè)大家熟悉的例子——分式方程的根，我們知道對(duì)于分式方程，求出根之后需要反過(guò)來(lái)驗(yàn)證，究其原因，下面就從一道題開(kāi)始：解方程x+1x－1－4x2－1=1.常規(guī)解法（解法1）是：由x+1x－1－4x2－1=1，得（x+1）2－4=（x+1）（x－1），于是x2+2x+1－4=x2－1，解得x=1.經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是原分式方程的增根，因此，原分式方程無(wú)解.

有學(xué)生可能會(huì)非常疑惑，明明解出來(lái)x=1，為什么原分式方程無(wú)解了呢？問(wèn)題出在哪里？上面的每一步是不是都無(wú)懈可擊？我們知道分式方程要有意義，分母不為0，分式方程的解是在其本身有意義的條件下求解出來(lái)的，并不一定是在實(shí)數(shù)集R范圍內(nèi)的解，因此，本題x－1≠0且x2－1≠0，即x≠±1.此分式方程是在集合{x|x≠±1}內(nèi)求解的.由x+1x－1－4x2－1=1，得（x+1）2－4=（x+1）（x－1）這一步是錯(cuò)誤的，原因有兩個(gè)：

（1）方程x+1x－1－4x2－1=1是在集合{x|x≠±1}內(nèi)求解的，而方程（x+1）2－4=（x+1）（x－1）是在R內(nèi)求解的，因此它們解不等價(jià)；

（2）因?yàn)榉匠蘹+1x－1－4x2－1=1的左邊可化為x+1x－1－4x2－1=（x+1）2x2－1－4x2－1=x2+2x－3x2－1=x2－1+2（x－1）x2－1=1+2x+1≠1，而右邊為1，左邊≠右邊，方程本身兩邊不相等，或者說(shuō)此時(shí)不能稱為方程.因?yàn)榉匠淌呛形粗獢?shù)的等式，連等式都談不上，更不能稱為方程.而根據(jù)結(jié)果x=1，即x2－1=0，由x+1x－1－4x2－1=1，得（x+1）2－4=（x+1）（x－1）這一步是方程兩邊同乘x2－1，即乘0，就相當(dāng)于把不等式變?yōu)榈仁剑?≠1，但是兩邊都乘以0，就變?yōu)榈仁?=0.依此類推，如果兩邊同乘x－a，最后一定會(huì)得到增根x=a.因此，這一步是錯(cuò)誤的.

上述分式方程的另一種解法（解法2）如下：

由x+1x－1－4x2－1=1，可得

x－1≠0且x2－1≠0，（x+1）2－4=（x+1）（x－1），

即x≠±1，x2+2x+1－4=x2－1，亦即x≠±1，x=1.

故原分式方程無(wú)解.

由于上面每一步都是經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理論證得到的，因此此時(shí)不需要回頭驗(yàn)證.即p1p2p3……pnq，有p1，一定可推出p2;有p2，一定可推出p3;……；直到有pn，一定可推出q.每一步充分性都成立，根據(jù)充分性具有傳遞性，最后得出的結(jié)論q就不再需要驗(yàn)證.整式方程不需要驗(yàn)證，原因也是這個(gè).而本題，若記p1：x+1x－1－4x2－1=1，p2：（x+1）2－4=（x+1）（x－1），r：x－1≠0且x2－1≠0，p3：x2+2x+1－4=x2－1，p4：x=1，

解法1中由p1不能推出p2，p1不是p2的充分條件，所以最后求出的方程的解必須驗(yàn)證，而解法2中p1rp2rp3rp4，每一步充分性都成立，所以最后求出的分式方程的解不必驗(yàn)證.

3 問(wèn)題解決

回到文章開(kāi)頭的問(wèn)題，大家必須厘清函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系：

在某區(qū)間上，函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增f′（x）≥0一定成立；但是反過(guò)來(lái)，不一定成立.

因?yàn)閒′（x）≥0包含f′（x）>0和f′（x）=0兩種情況，如果f′（x）≡0，則原函數(shù)y=f（x）是常函數(shù)，不具有單調(diào)性，就不能說(shuō)函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增.

怎樣才能說(shuō)明函數(shù)單調(diào)遞增呢？只要函數(shù)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)不恒為0，允許有限個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0，其余的點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)大于0，就可以了.

結(jié)論：在某區(qū)間上，f′（x）≥0且只在有限個(gè)點(diǎn)處為0，則函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增.

記p：f′（x）≥0，r：f′（x）只在有限個(gè)點(diǎn)處為0，q：函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增.

上述結(jié)論的符號(hào)語(yǔ)言為prq.

前述問(wèn)題的解答是在缺少條件r的情況下由f′（x）≥0，得出函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增，即由pq，進(jìn)而求出a的范圍，邏輯不嚴(yán)格，不具有充分性，因而最后必須驗(yàn)證a能不能取等號(hào)，即f′（x）=0是不是恒成立.

本題還可不需要驗(yàn)證而這樣解：f′（x）=3ax2－6ax+3a=3a（x－1）2.要使函數(shù)f（x）在區(qū)間［2，+∞）上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0在x∈［2，+∞）時(shí)恒成立，且f′（x）不恒為0，即3a（x－1）2≥0在x∈［2，+∞）時(shí)恒成立，且3a（x－1）2不恒為0.因?yàn)楫?dāng)x∈［2，+∞）時(shí)，3（x－1）2>0，所以a>0.

最后，大家最關(guān)心的是解題時(shí)什么時(shí)候需要驗(yàn)證，什么時(shí)候不需要驗(yàn)證.

當(dāng)p1p2p3……pnq，每一步充分性都成立，不需要驗(yàn)證q；否則，只要中間有一步充分性不成立，最后都需要驗(yàn)證q.

在數(shù)學(xué)中隨處可見(jiàn)這種情況.如解三角形中多解取舍問(wèn)題，原理就是大邊對(duì)大角、大正弦值對(duì)大角.還有一個(gè)就是三角形是否存在的問(wèn)題，計(jì)算出來(lái)的邊或者角一定要檢驗(yàn)是否使三角形存在.對(duì)于數(shù)列，一是等比數(shù)列的首項(xiàng)不能為0，二是在算出數(shù)列的通項(xiàng)或者前n項(xiàng)和后一定要檢驗(yàn)對(duì)于n=1這種情況是否成立.對(duì)于圓錐曲線，一是利用韋達(dá)定理時(shí)一定要檢驗(yàn)Δ≥0是否成立，二是利用點(diǎn)差法解決弦中點(diǎn)問(wèn)題時(shí)一定要判斷弦中點(diǎn)是否在曲線內(nèi)，等等.

4 問(wèn)題思考

數(shù)學(xué)解題之所以會(huì)產(chǎn)生增根，主要因?yàn)槭窃诨?jiǎn)變形過(guò)程中使用的是必要條件而非充分條件，導(dǎo)致轉(zhuǎn)化不等價(jià).這就需要我們有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，理性地去認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì).

當(dāng)下，素養(yǎng)導(dǎo)向下的課程改革開(kāi)展得如火如荼，其中注重強(qiáng)化學(xué)生的思維能力培養(yǎng)是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵，對(duì)此，上級(jí)教育主管部門(mén)已明確提出，數(shù)學(xué)教學(xué)要摒棄“機(jī)械刷題”的教學(xué)模式.如何克服機(jī)械刷題？這是我們一線教師面臨的焦點(diǎn)話題，也是我們目前必須研究的課題；否則，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)就是無(wú)源之水、無(wú)本之末.筆者認(rèn)為，在解題教學(xué)中，如果只告訴學(xué)生解決問(wèn)題的操作過(guò)程，而不幫助學(xué)生分析解題過(guò)程背后的原理，學(xué)生就只能機(jī)械地照貓畫(huà)虎，這樣一來(lái)，當(dāng)題目條件稍微一變，學(xué)生就無(wú)所適從了.出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因就是教師在教學(xué)中只是復(fù)制粘貼“解題過(guò)程”的行家里手，而不是教書(shū)育人的教學(xué)能手.在這樣的教育教學(xué)環(huán)境下，學(xué)生缺乏創(chuàng)新思維意識(shí)，這顯然與國(guó)家的教育方針背道而馳.因此，在解題教學(xué)時(shí)要善于思考，弄清楚知識(shí)的來(lái)龍去脈，才能讓學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)，從而達(dá)到“一覽眾山小”的教學(xué)境界，唯如此方是我們的教學(xué)之道.