全概率與貝葉斯公式解題策略探究

1 全概率公式

全概率公式主要是解決對某一個過程中已知條件求出最后結果的概率方法，在學習的過程中，可以結合古典概型來理解和運用全概率公式求解概率問題.該公式主要解決的問題：當某個事件的概率直接計算比較費勁的時候，可以用與該事件有聯系的n個兩兩互斥的事件將該事件進行分割，然后根據加法公式和乘法公式求出該事件的概率，這種解決問題的思想可以將事件化難為易，利用簡單事件的運算表示復雜事件，再根據概率公式求解概率.

例1“踩高蹺，猜燈謎”是我國元宵節傳統的文化活動.某地為了弘揚文化傳統，發展“地攤經濟”，在元宵節舉辦形式多樣的猜燈謎活動.

（1）某商戶借“燈謎”活動促銷，將燈謎按難易度分為B，C兩類，抽到較易的B類并答對購物打八折優惠，抽到稍難的C類并答對購物打七折優惠.抽取燈謎規則如下：在一不透明的紙箱中有8張完全相同的卡片，其中3張寫有A字母，3張寫有B字母，2張寫有C字母，顧客每次不放回從箱中隨機取出1張卡片，若抽到寫有A的卡片，則再抽1次，直至取到寫有B或C卡片為止，求該顧客取到寫有B卡片的概率.

（2）小明嘗試去找全街最適合他的燈謎，規定只能取一次，并且只可以向前走，不能回頭，他在街道上一共會遇到n條燈謎（不妨設每條燈謎的適合度各不相同），最適合的燈謎出現在各個位置上的概率相等，小明準備采用如下操作方法：忽略前面的k（1≤k<n）條燈謎，從第k+1條燈謎作為起始點，只要自己感覺合適的就摘取該條，否則就摘最后一條，設k=tn，記小明取到的最適合的那條燈謎的概率為P.

①試求當n=4，k=2時的概率P；

②利用極限思想，當n趨向于無窮大時，求P的最大值及此時t值.取1k+1k+1+…+1n－1=lnnk

解析：（1）根據已知條件，因為8張完全相同的卡片，3張寫有A字母，3張寫有B字母，2張寫有C字母，由規則可知，該顧客取到寫有B卡片的概率為P=38+38×37+38×27×36+38×27×16×35=35.

（2）①根據題意，這4條燈謎順序為從第1條到第4條所有的排列方法共A44=24種.要取最符合自己要求的燈謎，有兩種情況.最適合的為第3條，其余的隨意排列有A33=6種；最符合自己要求的燈謎是最后1條，其次符合的燈謎是第1或第2條，其他的隨機排列有2A22=4種.故所求概率為P=6+424=512.

②記事件A表示最適合的燈謎被摘到，事件Bj表示最適合的燈謎在燈謎中排在第j條，

因為最適合的燈謎出現在各個位置上的概率相等，所以P（Bj）=1n，以給定所在位置的序號作為條件，有P（A）=∑nj=1P（A|Bj）P（Bj）=1n∑nj=1P（A|Bj）.

當1≤j≤k時，最適合的燈謎在前k條燈謎之中，不會被摘到，此時P（A|Bj）=0;

當k+1≤j≤n時，最適合的燈謎被摘到，當且僅當前j－1條燈謎中的最適合的一條在前k條燈謎中時，

此時P（A|Bj）=kj－1.由全概率公式知，P（A）=1n∑nj=k+1kj－1=kn∑n－1j=k1j=knlnnk.

令g（x）=xnlnnx（x>0），則g′（x）=1nlnnx－1n.

令g′（x）=0，則x=ne.當x∈0，ne時，g′（x）>0；當x∈ne，n時，g′（x）<0.所以g（x）在0，ne上單調遞增，在ne，n上單調遞減.所以g（x）max=gne=1e.

所以當k=ne時，P（A）=knlnnk取得最大值，最大值為1e，此時t=1e.

故P的最大值為1e，此時t的值為1e.

點評：本題考查的是全概率公式，是將一個復雜事件的概率求解問題，轉化為在不同情況下發生的簡單事件的概率求和問題.其中第（1）問可以根據分類加法計數原理和分步乘法計數原理進行簡單的運算求解即可.對于第（2）問的第①小問，由題意可知，要摘到最適合他的燈謎，有兩種情況，最適合他的燈謎是第3條和最適合他的燈謎是最后1條，分情況分析兩種情況的可能性，結合古典概型即可求出結果；對于第②問，記事件A表示最適合的燈謎被摘到，根據條件概率和全概率公式求出P（A），再用導數求出最值即可.

2 貝葉斯公式

隨著現代科學技術和信息的高速發展，貝葉斯公式已經廣泛應用于生活、生產、航天等領域，主要用來對于誘發某種結果的最可能的原因進行概率推理.在使用貝葉斯公式解決問題前，首先要根據加法公式將一個比較復雜的事件的概率轉化為多個簡單事件的概率之和的形式，然后再利用乘法公式得出在已知事件作為結果已經發生的情況下，其中某個原因發生的條件概率，這是一種“執果索因”的解決問題的策略.

例2為了增強學生的綜合素質，學校致力于為學生創造多樣化的成長平臺，鼓勵他們投身于豐富多彩的社團活動之中.在校園內活躍的辯論隊活動中，甲同學的表現尤為突出，他熱情洋溢地投身于每一場辯論.

為了更好地掌握每位辯論隊員的參與度和能力表現，學校對辯論隊的成員進行了細致的跟蹤記錄.據社團老師的統計，自甲加入辯論隊以來，他已經累計參與了整整100場辯論賽事.在這些比賽中，甲同學的角色多變，他作為一辯出場了20次，期間隊伍贏得了14場勝利；作為二辯，他出場30次，助力隊伍取得了21場勝利；作為三辯和四辯，他分別出場25次，均幫助隊伍贏得了20場勝利.

基于以上數據，我們可以嘗試用頻率來估算概率：

（1）當甲同學參加比賽時，求該辯論隊獲勝的可能性有多大？

（2）若學校組織了一場由6支辯論隊參與的單循環比賽，即每兩支隊伍之間都會有一場比賽.比賽規則規定，至少贏得3場比賽的隊伍才能晉級.社團老師決定在每場比賽中都讓甲同學上場.已知甲所在的辯論隊成功晉級，記其獲勝的場數為X，求X的分布列和數學期望.

解析：（1）根據題意可設A1=“甲擔任一辯”，A2=“甲擔任二辯”，A3=“甲擔任三辯”，A4=“甲擔任四辯”，B=“某場比賽中該辯論隊獲勝”，則P（A1）=20100=0.2，P（A2）=30100=0.3，

P（A3）=25100=0.25，

P（A4）=25100=0.25，

P（B|A1）=1420=0.7，

P（B|A2）=2130=0.7，

P（B|A3）=2025=0.8，

P（B|A4）=2025=0.8.

由全概率公式可得P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）+P（A4）＼5P（B|A4）=0.75.

所以甲參加比賽時，該辯論隊某場比賽獲勝的概率是0.75.

（2）設Ci=“5場中有i場獲勝”（i=3，4，5），D=“甲所在辯論隊順利晉級”，則有

P（C3D）=C35343142=2701 024，

P（C4D）=C45344141=4051 024，

P（C5D）=C55345=2431 024.

所以P（D）=9181 024，

P（X=3）=P（C3|D）=P（C3D）P（D）=270918=517，P（X=4）=P（C4|D）=P（C4D）P（D）=405918=1534，

P（X=5）=P（C5|D）=P（C5D）P（D）=243918=934.

所以X的分布列如表1所示.

點評：本題考查條件概率與全概率公式應用，以及貝葉斯公式求解離散型隨機變量的分布列和期望問題.其中第（1）問分甲擔任某種辯手的情況，依據條件概率與全概率公式計算即可；

第（2）問需要首先計算甲所在辯論對晉級的概率，然后再利用貝葉斯公式計算出獲勝場數X的分布列和期望.考查學生的數學推理能力、數學應用意識，以及統計與概率思想.

全概率公式和貝葉斯公式解決概率問題的核心是在于理解所給問題的深層內涵，合理劃分相應的事件與事件之間的聯系，在此基礎上結合前面學過的條件概率、互斥事件概率加法公式等知識點來分析和解決問題.由于在概率論中占據極其重要的地位，能夠解決生活中的很多問題，并且可以預測事物發展的方向，對于將來事件的走向有很大的借鑒意義，因此這兩個知識點在新課標和新高考中必然會居于重要地位，同學們要透徹理解公式，要學會靈活運用公式解決生活實際問題，不斷提高自己的數學建模、數學思維和數學運算等核心素養，不斷提高分析問題、解決問題的能力.