二次函數的圖象性質與零點分布

摘要：涉及二次函數的圖象性質與對應的零點分布問題，是二次函數、二次方程與二次不等式問題中最為常見的一類基本問題.結合二次函數的圖象性質與零點分布情況，通過不同類型就對應實例的剖析，挖掘問題的內涵與實質，歸納解題技巧與策略，有效指導數學教學與學習.

關鍵詞：二次函數；方程；不等式；圖象；性質

二次函數的零點分布問題，往往可以轉化為一元二次方程的根的分布問題，利用二次函數的圖象與x軸的交點情況來直觀分析與研究.一般從二次函數所對應的拋物線的開口方向、對稱軸位置、判別式Δ的符號以及端點處函數值的符號等方面加以分析與考慮，數形結合，直觀分析，實現問題的突破與解決.

1 “x1≤x2<k”型

例1若函數f（x）=x2+（m－2）x+（5－m）有兩個小于2的不同零點，則實數m的取值范圍為.

分析：根據題設條件，結合二次函數對應的一元二次方程的判別式正負情況、對稱軸的取值范圍以及對應函數值的正負等構建不等式組，通過不等式組的求解來確定參數的取值范圍問題，實現問題的突破與解決.

解析：依題，如圖1所示，可得Δ=（m－2）2－4（5－m）>0，－m－22<2，f（2）=m+5>0.

解得m>4，即實數m的取值范圍為（4，+∞）.

故填答案：（4，+∞）.

點評：從二次函數的“數”的基本屬性巧妙轉化為對應圖象的“形”的基本特征問題，由“數”轉“形”，再由“形”轉“數”，合理構建對應的不等式（組），結合不等式（組）的求解來達到目的.這里要注意的是，由“形”轉“數”構建不等式（組）時，要全面考慮，恒等轉化.

2 “k<x1≤x2”型

例2若函數f（x）=x2－2ax+4的兩個零點都大于1，則實數a的取值范圍為.

分析：根據題設條件，由二次函數的兩個零點都大于1確定對應的二次函數的圖象特征，由此構建對應的不等式（組），抓住二次函數對應的一元二次方程的判別式正負情況、對稱軸的取值范圍以及對應函數值的正負取值等情況來分析與處理.

解析：依題，如圖2所示，可得Δ=（2a）2－16≥0，－－2a2>1，f（1）=5－2a>0.

解得2≤a<52，即實數a的取值范圍為2，52.

故填答案：2，52.

點評：正確構建二次函數圖象的結構特征，由此通過“數”轉“形”，又由“形”抽象“數”，合理構建相應的的不等式（組），恒等變形與轉化相應的二次函數、一元二次方程等相關問題，實現參數取值的求解與應用.

3 “x1<k<x2”型

例3已知二次函數y=（m+2）x2－（2m+4）x+（3m+3）有兩個零點，一個大于1，一個小于1，則實數m的取值范圍為.

分析：根據題設條件，結合二次函數的二次項系數的正負取值情況加以分類討論，并利用對應函數值的正負取值來構建對應的不等式組.合理分類討論，分析與解決對應參數的取值問題.

解析：如圖3所示，可分為以下兩種情況.

第一種情況，有m+2>0，f（1）<0，解得－2<m<－12；

第二種情況，有m+2<0，f（1）>0，此不等式組無解.

綜上分析，可實數m的取值范圍為－2，－12.

故填答案：－2，－12.

點評：在解決含參的二次函數及其相關綜合問題時，要考慮二次項系數的正負取值情況，對應二次函數圖象的開口方向，以不同形式來確定二次函數圖象的結構特征，合理構建對應的不等式（組），實現問題的解決與突破.

4 “x1，x2∈（k1，k2）”型

例4方程8x2－（m－1）x+m－7=0兩實根都在區間（1，3）內，則實數m的取值范圍為.

分析：根據題設條件，由二次方程的根轉化為對應的二次函數的零點問題，綜合二次函數的開口方向、相應的判別式的正負、對稱軸的取值范圍以及區間端點函數值的取值情況等，

合理構建相應的不等式（組）來實現參數的分析與求解.

解析：設函數f（x）=8x2－（m－1）x+m－7，如圖4所示，

可得Δ≥0，f（1）>0，f（3）>0，1<m－116<3，即m≤9或m≥25，m∈R，m<34，17<m<49，解得25≤m＜34.

所以實數m的取值范圍為[25，34）.

故填答案：[25，34）.

點評：由一元二次方程根的分布情況對應二次函數圖象的結構特征，又由相應“形”的特征來構建“數”的基本屬性，合理構建相應的不等式（組），實現二者之間的等價轉化與合理過渡，“數”與“形”聯系，“數”與“形”結合.

5 “x1∈（k1，k2）和x2∈（k3，k4）”型

例5已知關于x的方程4x2－2（m+1）x+m=0，若該方程的一根在區間（0，1）上，另一根在區間（1，2）上，則實數m的取值范圍為.

分析：根據題設條件，由二次方程的根轉化為對應的二次函數的零點問題，通過零點的位置情況，合理構建相應的不等式（組），實現“數”與“形”之間的合理轉化與巧妙應用.

解析：設函數f（x）=4x2－2（m+1）x+m，如圖5所示，

可得

f（0）=m>0，f（1）=4－2（m+1）+m<0，f（2）=4×22－2×2（m+1）+m>0.

解得2＜m＜4，則實數m的取值范圍為（2，4）.

故填答案：（2，4）.

點評：借助二次方程的根與對應二次函數的零點之間的等價轉化，通過函數圖象，巧妙實現“數”與“形”之間的轉化，恒等變形與應用.

6 “x1<k1且x2>k2”型

例6方程x2－（m－1）x+m－7=0兩根x1，x2滿足x1<－1，x2>2，則實數m的取值范圍為.

分析：根據題設條件，由二次方程的根轉化為對應的二次函數的零點問題，數形結合構建涉及對應函數值的正負取值的不等式組，通過不等式組的求解來確定對應參數的取值范圍，得以轉化與解決問題.

解析：設函數f（x）=x2－（m－1）x+m－7，如圖6所示，

可得f（－1）<0，f（2）<0，即

（－1）2－（m－1）×（－1）+m－7<0，22－2（m－1）+m－7<0.

解得－1＜m＜72，則實數m的取值范圍為－1，72.

故填答案：－1，72.

點評：借助二次方程的根的取值情況，巧妙轉化為對應二次函數的零點問題，構建對應的二次函數及其相應的圖象，數形結合加以分析，合理構建對應的不等式組，實現“形”與“數”之間的過渡，“數”“形”結合，合理轉化，巧妙應用.

在解決一些相關的二次方程的根或二次函數的零點問題時，巧妙通過二次函數的圖象與性質，利用二次函數的零點的分布特征，“數”“形”結合，以“形”的結構特征來轉化為對應的“數”的基本屬性，合理構建對應的不等式（組），從而實現問題的轉化與求解.