巧借特殊思維，妙破解析幾何

一般思維與特殊思維是辯證思維模式中的兩種方式，二者之間又是辯證統(tǒng)一的.在解決一些客觀題時，特別是有確定答案的選擇題或填空題時，借助場景應用，合理選用特殊思維，使得一般性問題特殊化，從中尋找分析與研究問題的一般性規(guī)律，給問題的突破與求解開拓一個全新的局面.

在處理平面解析幾何問題時，借助直線、圓、圓錐曲線等相關曲線的內涵與實質，優(yōu)化其“數(shù)”的基本屬性與“形”的結構特征，以特殊思維巧妙切入，借助特殊元素、特殊關系、特殊位置或特殊性質等特殊形式來應用，有時可以簡單快捷處理一些相關的平面解析幾何問題.

1 特殊元素

在平面解析幾何中，通過特殊元素的合理應用，如特殊點、特殊線段、特殊角等的確定，化一般為特殊，化“動”為“靜”，優(yōu)化結構與過程，以特殊情況下所確定的結論來回歸一般性問題.

例1〔2024年江西省贛州市高三（上）期末考試數(shù)學試卷〕已知A（x1，y1），B（x2，y2）是圓O：x2+y2=2上兩個不同點.若x1x2+y1y2=－1，則x1+x2+y1+y2的取值范圍是（）.

A.－22，22

B.[－1，1]

C.[－2，2]

D.[－2，2]

分析：根據(jù)題設條件，通過點與圓的位置關系，結合相應關系式的結構特征，聯(lián)想并構建對應的平面向量的數(shù)量積，確定兩向量之間的夾角，而借助特殊思維，通過特殊點的選取，利用代數(shù)式的取值情況進行巧妙排除，處理起來更加簡單快捷.

解析：依題，可得OA·OB=x1x2+y1y2=－1，又|OA|=|OB|=2，

結合cos〈OA，OB〉=OA＼5OB|OA||OB|=－12，0≤〈OA，OB〉≤π，可得〈OA，OB〉=2π3.

選取特殊點A（2，0），此時可取點B，其坐標為2cos 2π3，2sin 2π3，即－22，62.

所以x1+x2+y1+y2=2－22+62=2+62>2.結合各選項中的數(shù)據(jù)信息，由此可以排除選項A，B，C，故選擇答案：D.

2 特殊關系

在求解平幾問題時，借助問題場景的變化情況，通過特殊關系的建立，如點的重合、線段長度相等的確定，優(yōu)化問題中相關要素之間的關系，使得問題更加清晰明了，給問題的解決提供明朗的方向，進而以特殊關系所確定的結論來解決一般性問題.

例2〔2024年廣東省普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬測試（一）（廣東一模）數(shù)學試卷〕已知直線l與橢圓C：x23+y22=1在第一象限交于P，Q兩點，l與x軸、y軸分別交于M，N兩點，且滿足|PM||QM|+|QM||PM|=|PN||QN|+|QN||PN|，則l的斜率為.

分析：根據(jù)直線與橢圓的位置關系，以及其中動點、動直線的變化情況，利用特殊關系的構建，或利用線段長度相等，或利用點的重合等，以特殊思維形式來確定對應問題成立時的條件，進而簡單直接處理與求解.

解法1：（特殊法1）

根據(jù)題設條件|PM||QM|+|QM||PM|=|PN||QN|+|QN||PN|，借助特殊關系取|QN|=|PM|.

設線段PQ的中點為H，則H也是線段MN的中點.

設直線PQ的方程為y=kx+m，可得點H的坐標為－m2k，m2，則有kOH=m2－m2k=－k.

由橢圓的中點弦定理可得，k·kOH=－b2a2=－23，即－k2=－23，解得k=－63（正值舍去）.

所以l的斜率為－63.故填答案：－63.

解法2：（特殊法2）借助極限思維可知，點P，Q無限接近時，假設此時P，Q兩點重合.

結合題設條件|PM||QM|+|QM||PM|=|PN||QN|+|QN||PN|，可知P（或Q）是線段MN的中點.

設直線MN的方程為xm+yn=1（m>0，n>0），可得P（或Q）的坐標為m2，n2.

由橢圓的中點弦定理，可得kMN·kOP=－b2a2=－23，即n2m2=23，解得nm=63（負值舍去）.

所以l的斜率為－nm=－63.

解法3：（特殊法3）設橢圓C的右頂點為A，上頂點為B，借助極限思維可知點M，P（或Q）→A，點N，Q（或P）→B，滿足|PM||QM|+|QM||PM|=|PN||QN|+|QN||PN|，

此時kPQ=kAB=－23=－63.

3 特殊位置

有些解析幾何題，通過特殊位置的合理確定，如直線的平行或垂直、直線與圓或圓錐曲線相切等，聯(lián)系起相應的直線與圓、直線與圓錐曲線的位置，基于其中更加明了清晰的位置來實現(xiàn)問題的突破與求解，從而直觀形象地分析與解決問題.

例3（2024年湖北省高中畢業(yè)生4月模擬測試數(shù)學試卷）拋物線Г：x2=2y上有四點A，B，C，D，直線AC，BD交于點P，且PC=λPA，PD=λPB（0<λ<1）.過A，B分別作Г的切線交于點Q，若S△ABPS△ABQ=23，則λ=（）.

A.32

B.23

C.33

D.13

分析：題設條件中的點、線眾多，關系比較復雜，而借助特殊思維方法，通過兩平行弦與x軸平行這種特殊位置的選取，借助圖形的對稱性，給問題的突破與求解提供更加簡捷的應用場景.

解析：依題，由于PC=λPA，PD=λPB，可知AB∥CD.

又由選項可知λ為定值，因此可用特殊思維方法，考慮兩平行弦與x軸平行這種特殊位置情形，其中AB，CD與y軸的交點分別為M，N.

如圖1所示，設Aa，a22，P（0，t），由PC=λPA可得|NC|=λ|MA|，即xC=λa，則有yC=12x2C=12λ2a2.

由PC=λPA，得|PN|=λ|PM|，即12λ2a2－t=λa22－t，解得t=－12λa2.

而由y=x22求導可得y′=x，利用導數(shù)的幾何意義，可知點Aa，a22處的切線AQ的方程為y－a22=a（x－a），令x=0，解得y=－a22，則Q0，－a22.

所以S△ABPS△ABQ=|PM||QM|=a22+12λa2a22+a22=1+λ2=23，解得λ=13.故選擇答案：D.

4 特殊性質

有些解析幾何題，通過特殊性質，如曲線或圖形的對稱性、平行關系或垂直關系等，抓住相應的一些基本特殊性質直接切入，經(jīng)常可以給問題的解決“撕開”一道突破口.

例4〔2024屆廣東省高三（下）學期開學數(shù)學試卷〕過原點的直線l：y=kx與圓x2－6x+y2－6y+16=0交于A，B兩點，且|OA|=|AB|，則k=qjtB1EgpVLuRj47GBm0S1tSdeo060+xVpga1fhA8HTw=（）.

A.1

B.2

C.12

D.2

分析：根據(jù)題設條件，抓住直線與圓的位置關系及對稱思維，從特殊性質層面逆向思維切入，并結合單選題的特征，實現(xiàn)問題的巧妙突破，解答起來更加簡單快捷，甚至達到“稱殺”的效果.

解析：由圓x2－6x+y2－6y+16=0配方可得（x－3）2+（y－3）2=2，則圓心C（3，3），半徑r=2.

借助直線與圓的位置關系的特殊性質，若直線l：y=kx不過圓心C，根據(jù)直線與圓的位置關系的對稱性，可知這樣的直線有兩條，與條件中的單項選擇題不吻合，則只能是直線l：y=kx過圓的圓心C，所以k=kOC=1.故選擇答案：A.

依托平面解析幾何中一些不確定的量與場景，合理應用特殊思維，巧妙借助特殊元素、特殊關系、特殊位置或特殊性質等特殊形式來轉化，可以使得問題中的一些變化的量以一種特殊的形式出現(xiàn)，實現(xiàn)客觀性問題的突破與解決.特殊思維應用的本質就是“一般”中尋找“特殊”，“特殊”中呈現(xiàn)“一般”，減化推理論證步驟，優(yōu)化解題過程，減少數(shù)學運算，提升解題效益.