數學解題教學中解題過程嚴謹性及規范性探究

摘要：在高中數學解題的過程中，不僅要確保解題過程正確、清晰、簡潔、完整，同時還必須要保證其規范性.規范性的解題，有助于學生建立起解題的思維框架，避免思維混亂和跳躍，能幫助學生培養邏輯思維和推理能力，提高解題的準確性.本文中以不等式證明為例，深入研究解題過程規范性的要求，結合實例分析給出了培養解題過程規范性的方法和技巧，最后對解題教學提出了一些啟示和建議.

關鍵詞：高中數學；規范性；不等式證明

數學是一門注重理論性的學科，具有很強的嚴謹性.學生在高考中能否拿到滿分，不僅和學生自身掌握的知識有關，還和解題書寫過程，解題是否規范有很大的關聯.在高考數學的評分標準中，已經對解題的規范性做出了明確的要求[1].解題的規范性對于高考數學成績的提升至關重要.學生需要在解題過程中注重嚴謹性和規范性，確保每一步的推導都清晰準確.通過高中數學解題教學中對解題過程規范性的探究，可以幫助學生提高解題質量，為他們在高考中取得好成績奠定基礎.

1 解題過程實例分析

結合學生對一道不等式的證明過程，探究高中數學解題教學中解題過程的規范性.

例若a3+b3=2，求證a+b≤2.

同學甲的證明過程如下：

證明：假設a+b>2，則

a3+b3=（a+b）（a2－ab+b2）>2（a2－ab+b2）.①

而a3+b3=2，故a2－ab+b2<1.

所以1+ab>a2+b2≥2ab.

于是ab<1.

所以a2+b2<1+ab<2.

所以（a+b）2=a2+b2+2ab<2+2ab<4.

∴a+b<2.②

這與假設矛盾，故a+b小于等于2.③

分析：本解法的失分點有如下四個方面.

（1）①式不嚴謹，漏掉了條件“因為a2－ab+b2>0，”應該加上；

（2）②式中將數學中表示邏輯關系的語言文字因為、所以和數學中的符號語言∵∴混用；

（3）②式的表達不嚴謹，應該是“－2<a+b<2”；

（4）③處的結論表達不規范，沒有使用特定的符號，即數學符號應用不規范，應該是“故a+b≤2”.

反思：數學題的解題過程需要使用特定的數學語言進行書寫和表達，包括符號語言、圖形語言和圖像語言[2].這些語言是數學學科的重要組成部分，能夠幫助學生準確地傳達他們的思想和推理過程.通過使用準確的數學符號和術語，學生可以避免語義模糊或誤解，確保解題過程的準確性和清晰性.

同學乙的證明過程如下：

證明：假設a+b>2，則a>2－b，所以

2=a3+b3>（2－a）3+b3.④

所以2>8－12b+6b2，即

（b－1）2<0.

這不可能，從而a+b＞2.⑤

分析：本解法的失分點有如下兩個方面.

（1）④式有誤，在（2－a）3中，誤將b表達成a，估計是粗心造成的，應該是（2－b）3.

（2）⑤式錯誤且不嚴謹，“大于”符號應該是“小于等于”符號≤，即應為“從而a+b≤2”.估計是學生粗心導致的.

反思：在高中數學的不等式證明中，通常會涉及到多個字母，這使得證明過程變得更加復雜.因此，學生在證明不等式時，需要格外細致.應該反復檢查每個推理步驟，確保沒有遺漏任何細節或者出現細節上的錯誤.需要仔細審查每個步驟中的運算符號、字母以及代數運算的正確性.任何一個細節上的錯誤都可能導致整個證明的錯誤.同時，還需要對推導的結論進行驗證，即使一個證明過程看起來很完整、很正確，但如果結論不正確，那么整個證明也是無效的.在不等式證明中，只需要將自己的結論和題目中的結論進行對比，就可以知道結論正確與否.

同學丙的證明過程如下：

證明：假設a+b>2，則有3ab（a+b）>6，所以ab（a+b）>2.

又a3+b3=（a+b）（a2－ab+b2）=2，可得

ab（a+b）>（a+b）（a2－ab+b2）.

所以a2－ab+b2<ab，即（a－b）2<0.

分析：本解法的失分原因在于學生丙的證明跳過了一些關鍵步驟，沒有書寫出3ab（a+b）>6的推導過程，導致步驟和步驟之間的依據和邏輯關系不夠清晰.同時，證明過程不夠完整.只推理到（a－b）2<0，是一個不完整的證明過程.

上述例題正確的規范解法如下：

證明：假設a+b>2，則（a+b）3>8，即

a3+b3+3ab（a+b）>8.

由a3+b3=2，得3ab（a+b）>6，即ab（a+b）>2.

又a3+b3=（a+b）（a2－ab+b2）=2，

所以

ab（a+b）>（a+b）（a2－ab+b2）.

所以a2－ab+b2<ab，即（a－b）2<0.

這不可能，從而a+b≤2.

反思：在證明過程中，學生一定要注意證明過程的邏輯性和完整性，切勿出現遺漏步驟的情況.應詳細展示每個步驟和推理，包括中間結果和推導過程.這樣可以讓讀者或評卷人清楚地理解解題思路和推理過程.此外，通過展示中間結果和推導過程，學生還可以自我檢查解題的正確性和邏輯性，及時發現和糾正錯誤.因此，詳細展示每個步驟和推理是解題過程中必不可少的一步，有助于提高學生解題質量和數學表達能力.

2 培養學生規范性解題的對策

2.1 重視教師解題的嚴謹性與規范性

在教學過程中，教師可以通過展示規范的解題過程，發揮自身的引導作用，幫助學生形成良好的書寫習慣.在解題過程中，教師要注意解題內容的條理性、邏輯性和系統性，不放過任何的解題步驟.尤其在進行例題講解時，要從“解”字開始，一步一步地書寫，給學生良好的示范，這才是例題的功能.如果在講解例題時，教師只通過多媒體進行演示或者隨意板書，學生就只能“知其意而不知其形”，認為書寫過程不重要，只有內容是重要的.在書寫時，要注意格式和數學符號的正確應用.需要作圖時，盡量使用作圖工具，規范作圖，并詳細講解步驟.如使用多媒體教學而不進行板書時，應利用畫筆工具，對每個解題步驟進行標注.教師的板書是學生書寫的重要參考之一，教師規范性的板書能夠培養學生良好的學習習慣，幫助學生正確書寫解題步驟.

2.2 重視學生平時訓練的嚴謹性和規范性

在平時的教學過程中，教師要注意強調學生平時訓練的嚴謹性與規范性，在日常練習中不斷培養學生的嚴謹性和規范性.對于一些典型的題目，教師可以讓學生在黑板上完成解題過程.這種學生板演的方式可以幫助教師了解學生對知識點的掌握情況，同時也能夠發現學生的共性問題.通過發現這些共性問題，教師可以有針對性地進行講解，促使學生的解題過程具有條理性、邏輯性和系統性，確保學生不會遺漏任何步驟.在學生板演過程中，教師可以巡視其他同學的解題過程，發現他們可能存在的問題，并及時點撥.學生板演和教師巡視點撥的過程是互動的，通過學生的演示和教師的指導，可以促進學生之間的合作和交流.學生也可以通過觀察其他同學的解題過程，了解不同的解題思路和方法，從中獲得啟發和借鑒.此外，在平時的作業中，教師需要不斷強調作業的嚴謹性和規范性，改正學生對作業的“隨意”態度.教師應按照考試要求，對平時的作業作出要求：批改作業時，應按照標準步驟進行評價.只有在日常中融入嚴謹性與規范性觀念，學生才能夠更好地理解并掌握解題的規范步驟，才會逐漸明白，解題不僅僅是寫出答案，更重要的是要按照一定的步驟和要求進行書寫.

2.3 重視對嚴謹性和規范性的評價反饋

在教學過程中，教師要對學生作業中或者試卷中出現的規范性問題及時給予反饋.如果學生在解題過程中出現錯誤，但沒有及時得到指導和糾正，錯誤可能會一直延續下去.教師的反饋應該包括對解題過程嚴謹性與規范性的評價和指導.評價要客觀公正，準確指出學生在解題過程中存在的問題；指導要具體明確，給出具體改進的建議和方法.通過及時的反饋，教師可以幫助學生糾正書寫錯誤，提高解題過程的嚴謹性和規范性.學生在得到反饋后，可以對自己的解題過程進行反思和改進，從而不斷提高解題的準確性和效率.同時，及時的反饋也能夠增強學生的學習動力和自信心，激發他們對學習的興趣和熱情.

參考文獻：

[1]李慧.如何培養高中數學解題的規范性[J].數理化解題研究，2021（18）：14-15.

[2]孟令輝.高中生數學解題規范性錯誤研究[J].考試周刊，2017（14）：56.