2024年高考題中的高階思維能力考查

在新教材（人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過）、新課程（《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂》）、新高考的“三新”背景下，高中數學教學與學習必須更多地去關注數學基礎知識的發生、經歷與發展過程，注重學生數學思維能力的發展，特別是高階思維能力，從而促進學生的深度學習，為學生的終生學習創造條件、奠定基礎.本文中結合2024年高考數學真題的剖析，從高考命題與考查方向等層面切入，剖析數學教學與學習過程中的數學思維的引導、分析、綜合、升華，引導數學高階思維能力的發展，進而依托數學知識與數學技能等的應用，引導學生開展深度學習，并且作一些合理的教學實踐與研究，拋磚引玉.

1 依托抽象場景的高階思維

基于抽象場景創設的高考命題與考查方向，通過選取一些較為抽象的問題，借助恰當數學思維的切入，進行合理分析與巧妙歸納，通過抽象與具體之間的辯證思維加以過渡與總結，實現高階思維，得以深度學習.

例1（2024年高考數學新高考Ⅱ卷·14）在如圖1所示的4×4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是.

解析：由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，所以共有4×3×2×1=24種選法.

每種選法可標記為（a，b，c，d），a，b，c，d分別表示第一、二、三、四列的數字，則所有的可能結果如下：（11，22，33，44），（11，22，34，43），（11，22，33，44），（11，22，34，42），（11，24，33，43），（11，24，33，42），

（12，21，33，44），（12，21，34，43），（12，22，31，44），（12，22，34，40），（12，24，31，43），（12，24，33，40），

（13，21，33，44），（13，21，34，42），（13，22，31，44），（13，22，34，40），（13，24，31，42），（13，24，33，40），

（15，21，33，43），（15，21，33，42），（15，22，31，43），（15，22，33，40），（15，22，31，42），（15，22，33，40）.

所以選中的方格中，（15，21，33，43）的4個數之和最大，最大為15+21+33+43=112.

故答案為：24；112.

點評：解決本題的關鍵是確定第一、二、三、四列分別有4，3，2，1個方格可選，基于表格問題，化抽象為具體，有效利用分析、決策、綜合等高階思維方式，通過列舉法寫出所有的可能結果，為問題的分析與解決創造條件，落實數學抽象和數據分析核心素養，也給此類問題的深度學習打下基礎.

2 依托現實場景的高階思維

基于現實場景創設的高考命題與考查方向，通過選取一些現實應用問題，借助合理數學思維的切入，進行合理分析與巧妙轉化，通過現實問題與數學知識之間的密切聯系加以過渡與總結，實現高階思維，得以深度學習.

例2（2024年高考數學新高考Ⅰ卷·9）（多選題）為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值x=2.1，樣本方差s2=0.01，已知該種植區以往的畝收入X服從正態分布N（1.8，0.12），假設推動出口后的畝收入Y服從正態分布N（x，s2），則（）.

（若隨機變量Z服從正態分布N（μ，σ2），則P（Z<μ+σ）≈0.841 3.）

A.P（X>2）>0.2

B.P（X>2）<0.5

C.P（Y>2）>0.5

D.P（Y>2）<0.8

解析：由于X～N（1.8，0.12），則有P（X>2）=P（X>μ+2σ）<P（X>μ+σ）≈1－0.841 3=0.158 7，故選項A錯誤，選項B正確.

又由于Y～N（2.1，0.12），于是可得P（Y>2）=P（Y>μ－σ）=P（Y<μ+σ）≈0.841 3，故選項C正確，選項D錯誤.

故選擇答案：BC.

點評：以現實應用場景來創設與考查正態分布的基本性質與應用.基于正態分布中普通區間與3σ區間之間的過渡與轉化，合理轉化與化歸，在此條件下通過數形結合，利用正態分布的對稱性和特殊區間的概率值來分析與求解，有效進行深度學習與應用.

3 交匯場景的高階思維

基于交匯場景創設的高考命題與考查方向，通過選取一些知識交匯問題，借助合理數學思維的切入，從中合理聯結與類比轉化，通過交匯知識與單一知識之間的包含與聯系加以過渡與總結，實現高階思維，得以深度學習.

例3（2024年高考數學新高考Ⅰ卷·8）已知函數f（x）的定義域為R，f（x）>f（x－1）+f（x－2），且當x<3時，f（x）=x，則下列結論中一定正確的是（）.

A.f（10）>100

B.f（20）>1 000

C.f（10）<1 000

D.f（20）<10 000

解析：依題可知，當x<3時，f（x）=x，則有f（1）=1，f（2）=2.

由f（x）>f（x－1）+f（x－2），令x=3，可得

f（3）>f（2）+f（1）=2+1=3=a4；①

令x=4，可得

f（4）>f（3）+f（2）>3+2=5=a5；②

令x=5，可得

f（5）>f（4）+f（3）>5+3=8=a6.③

觀察①②③式，及題設條件f（x）>f（x－1）+f（x－2），聯想到斐波那契數列{an}的遞推公式：an=an-1+an-2（n≥3，n∈N*），且a1=1，a2=1.

那么，不等式①②③右邊分別為斐波那契數列{an}的第4，5，6項，可歸納總結出規律：f（x）>ax+1（x≥3，x∈N*）.

列出斐波那契數列{an}的前17項：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1 597.

于是f（20）>f（16）>a17=1 597>1 000.

故選擇：B.

點評：根據抽象函數及其相應不等式的前若干項的分析，合理聯想到數列的一個重要模型——斐波那契數列{an}，實現知識的交匯與融合，依托斐波那契數列{an}的構建，綜合應用函數與不等式知識，也是解決問題的一個重要突破口.依托抽象函數與相應的不等式場景下，合理構建與之相吻合的數學模型，很好地體現了數學建模核心素養，以及函數、不等式等相關知識與數列的聯系與綜合應用.

4 技巧場景的高階思維

基于技巧場景創設的高考命題與考查方向，通過選取一些較為復雜、入口較寬、方法較多的問題（如各選項之間聯系緊密的多選題），借助合理數學思維的切入，進行合理對比、分析、舉例、排除、數形結合等，通過綜合問題與特例問題之間的合理轉化，用聯系與變化的觀點看問題，運用一定的解題技巧解決問題，事半功倍，發展批判與創造性高階思維，推動深度學習.

例4（2024年高考數學新高考Ⅱ卷·6）設函數f（x）=a（x+1）2－1，g（x）=cos x+2ax（a為常數），當x∈（－1，1）時，曲線y=f（x）與y=g（x）恰有一個交點，則a=（）.

A.－1

B.12

C.1

D.2

解析：依題可令f（x）=g（x），即a（x+1）2－1=cos x+2ax，整理為ax2+a－1=cos x.

如圖2所示，作出函數y=cos x，x∈（－1，1）的圖象.

設函數h（x）=ax2+a－1，x∈（－1，1）.

當a=－1時，h（x）max=h（0）=－2，此時函數h（x）的圖象與圖中的圖象沒有交點；

當a=12時，h（x）max=h（1）=0，此時函數h（x）的圖象與圖中的圖象沒有交點；

當a=1時，h（x）max=h（1）=1，結合對稱性，此時函數h（x）的圖象與圖中的圖象有兩個交點.

排除選項A，B，C，只能是選項D正確.其實，當a=2時，h（x）min=h（0）=1，此時函數h（x）的圖象與圖中的圖象有一個交點.

故選：D.

點評：根據題設條件構建兩函數相等的關系，合理分拆函數，轉化為一個熟知的余弦函數與一個含參的二次（或一次）函數，為數形結合直觀分析與解決問題創造條件.依托選項中具體數值的信息，分類討論，也是解決問題中非常不錯的一種技巧方法.合理數形結合直觀處理，巧妙排除，實現問題的突破.

從根本上說，數學高階思維是數學學習過程中的一種重要思維，而依托高考命題與考查方向進行教學研究與學習，更加有針對性，這樣可以更好地幫助學生全面理解并掌握數學基礎知識與數學基本技能等，從而提升數學思維能力，特別是高階思維能力與關鍵能力等，并在此基礎上提升問題解決能力與創新能力等，進行有效的深度學習.特別在“三新”背景下，全面落實“雙減”政策與新課改理念，更加關注學生的主體思維意識，不斷更新和發展學生的心智，有效提升學生的高階思維能力，給深度學習埋下伏筆，也為終生學習創造條件.