特殊思維巧應用，高考真題妙解答

摘要：特殊思維與方法是解決數學問題“通性通法”的升華與提升，成為快速簡捷處理數學客觀題的一種最為有效且靈活的基本思維方式.結合2024年高考真題中的幾個實例，借助特殊思維與方法的巧妙應用，從不同知識點與應用場面加以展開，優化過程提升效益，總結特殊思維與方法的解題技巧與規律，指導高考數學的復習備考與優化解題.

關鍵詞：高考數學；特殊思維；函數；數列

特殊思維與方法，是解決數學問題中最具特色的一種“巧技妙法”，是解決問題的“通性通法”的升華與提升.特別地，在歷年高考數學試卷的一些相應客觀題的解答中，經常可以借助特殊思維與方法（依托不同應用場景，對特殊思維可以有不同的類型與變化形式），巧妙利用特殊元素（數值、數列、點、向量、圖形等）的選取與應用，更加簡捷靈活地處理一些相關問題，真正達到“小題小做”“小題巧做”“小題快做”等良好解題效益，備受師生喜歡與追求.本文中結合2024年高考數學真題，就一些客觀題中特殊思維與方法的合理選用與巧妙應用加以實例剖析.

1 函數或不等式問題中的特殊值

在函數或不等式應用問題中，經常借助特殊數值的選取與應用，合理確定函數的取值、函數的圖象、不等式的關系等，給問題的突破與求解創造條件，更加簡捷有效地處理相關的函數或不等式問題.

例1（2024年高考數學北京卷·9）已知（x1，y1），（x2，y2）是函數y=2x圖象上不同的兩點，則下列正確的是（）.

A.log2y1+y22>x1+x22

B.log2y1+y22<x1+x22

C.log2y1+y22>x1+x2

D.log2y1+y22<x1+x2

分析：回歸函數與不等式問題的本質與內涵，由一般到特殊，利用對應函數的兩個特殊數值的選取與應用，以特殊性來解決一般性，是解決此類答案確定且唯一問題中比較常用的一種“巧技妙法”.

解析：選取特殊值x1=0，x2=1，可得y1=2x1=1，y2=2x2=2，此時x1+x2=1，x1+x22=12，y1+y22=32，可得log2y1+y22=log232∈12，1，由此可以排除選項B，C；

再選取特殊值x1=－1，x2=0，可得y1=2x1=12，y2=2x2=1，此時x1+x2=－1，x1+x22=－12，y1+y22=34，可得log2y1+y22=log234∈－12，0，由此進一步排除選項D.

故選：A.

點評：特殊數值的選取一般追求數字比較簡捷，方便進一步的求值與數學運算.同時注意的是，若一次特殊數值的選取無法直接確定答案，往往可以進一步地第二次或第三次選取特殊值，直至最后一個.特殊數值法是大部分考生所追求的一種比較方便且有效的解題技巧與方法，關鍵要結合題設條件加以合理且科學的特殊數值選取，才可以保證問題分析過程的簡捷有效.

2 數列問題中的特殊數列

在數列應用問題中，經常借助特殊數列的選取與應用，化一般數列問題為特殊數列（如常值數列、特殊的等差數列或等比數列等）問題，給數列中的通項、求和、參數等問題的應用提供條件，進而更加靈活快捷地處理相關的數列問題.

例2（2024年高考數學全國甲卷文·4）等差數列{an}的前n項和為Sn，若S9=1，a3+a7=（）.

A.－2

B.73

C.1

D.29

分析：解決此類問題時，挖掘題目條件與內涵，選取滿足條件的特殊數列——常值數列，進而利用常值數列的特征性質來分析、處理與解決問題，經常可以達到“秒殺”的良好效果.

解析：根據S9=1，不妨選取等差數列{an}為常值數列，此時等差數列的公差為d=0，an=a1.

結合S9=1=9a1，解得a1=19，則a3+a7=2a1=29.

故選：D.

點評：根據等差數列或等比數列的基本題設場景，依托特殊數列——常值數列的選取與應用，有時也是解決問題的一種“巧技妙法”.特殊思維場景下突出一般，充分體現辯證唯物主義思想.特殊數列的選取與應用，特殊思維下要滿足題設條件的一般性，不能脫離現實問題而進行盲目特殊化處理與應用.

3 平面幾何問題中的特殊點

在平面幾何、解三角形、平面向量、平面解析幾何等應用問題中，經常借助特殊點的選取與應用，以特殊點帶動相關平面幾何圖形的變化，可以更加簡捷創新地處理相關的平面幾何問題.

例3（2024年高考數學新高考Ⅱ卷·5）已知曲線C：x2+y2=16（y>0），從C上任意一點P向x軸作垂線段PP′，P′為垂足，則線段PP′的中點M的軌跡方程為（）.

A.x216+y24=1（y>0）

B.x216+y28=1（y>0）

C.y216+x24=1（y>0）

D.y216+x28=1（y>0）

分析：抓住選擇題的結構特征，合理選取曲線上特殊動點，借助特殊點的選取與應用，回歸問題中相應動點軌跡方程問題，結合選擇題中各選項的具體情況來合理排除與驗證.

解析：依題，取特殊點P（0，4），依題可知，此時點M（0，2），將點M（0，2）代入各選項中的軌跡方程，只有選項A滿足，其他選項都不滿足.

故選：A.

點評：這里利用特殊點的巧妙選取與應用，更加簡單快捷地確定正確的選擇項，靈活解決問題.特殊思維與方法，對于一些選擇題的解答起到非常好的效果，有時可以達到“秒殺”.在實際操作中，由于特殊值選取的不同，有時只要一次即可達到目的，有時要兩到三次才能加以合理排除與驗證，關鍵在于對數字的敏感性.

4 幾何圖形問題中的特殊形狀

在解三角形、平面向量、立體幾何等問題中，經常借助圖形特殊形狀的選取與應用，以特殊的平面圖形（如直角三角形、矩形等）、特殊的立體圖形等形式來代表一般形狀，進而更加靈活多變地處理相關的幾何圖形問題.

例4（2024年高考數學天津卷·9）一個五面體ABC-DEF，已知AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1.如圖1所示，已知AD=1，BE=2，CF=3.則該五面體的體積為（）.

A.36

B.334+12

C.32

D.334－12

分析：結合空間幾何體的結構特征，利用祖暅原理，可以將一般性的五面體以特殊的形式出現，而所對應的體積是一致的.不妨設AD⊥底面ABC，此時AB=BC=CA=1.這樣操作起來就更加簡捷有效，給問題的突破與求解創造更多的機會，也減少數學運算，優化解題過程.

解析：依題，借助特殊形狀的立體幾何圖形的選取來分析與處理，不妨設AD⊥底面ABC，此時AB=BC=CA=1，如圖2.

在BE，CF上分別取點M，N，使得BM=CN=1，連接DM，MN，ND.

結合空間幾何體的基本性質，有

VABC-DEF=VABC-DMN+VD-MNFE.

結合AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1，AD=1，BE=2，CF=3，可知

VABC-DMN=34×12×1=34，

VD-MNFE=13×12（1+2）×1×32=34.

所以VABC-DEF=34+34=32.

故選：C.

點評：依托立體幾何的結構特征與祖暅原理，合理加以特殊圖形的選取與應用，給問題的分析與求解創造更加靈活有效的場景.當然，基于特殊圖形的選取，對于此類不規則的空間幾何體的體積求解問題，比較常見的思維方式就是借助割補法來處理.其實，割補法可分為“補形法”與“分割法”這兩種不同的處理方式，有時也采用“割補相結合”的求解思維方式.

巧妙利用特殊思維與方法來破解一些相關的數學客觀題，是夯實數學基礎知識與提升數學基本技能的綜合體現，有其特殊的優勢與美妙的體驗，是數學“四基”落實并上升到一定程度的靈活、創新“產物”.

基于特殊思維與一般思維的轉化與升華，特殊思維與方法在一定程度上可以簡化繁雜的邏輯推理與復雜的數學運算等，將復雜問題簡單化，將繁雜過程簡捷化，從而全面強化數學思想與技巧方法，優化數學解題過程，提升數學解題效益，節省寶貴的考試時間.