抓住本質，從一般到特殊命制試題

摘要：圓錐曲線中有許多二級結論，這些結論是教材知識的進一步延伸，利用它們能快速解答問題，也可以利用它們引入特殊化思想命制試題.本文中以教材推導橢圓標準方程的過程為背景，分析推導過程中一些式子的幾何意義，得出結論，利用此結論命制了一個定值、定點問題.

關鍵詞：橢圓；斜率；定點；定值

1 試題呈現

原題（人教A版選擇性必修第一冊第108頁）設A，B兩點的坐標分別為（－5，0），（5，0）.直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是－49，求點M的軌跡方程.x225+9y2100=1（x≠±5）

命題已知橢圓C：x24+y23=1的左頂點為A，右焦點為F.

（1）（改編）設過橢圓中心的直線與橢圓的交點為M，N（與A不重合），記直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值.

（2）（原創）設過右焦點F的直線與橢圓的交點為P，Q（與A不重合），則在橢圓C上是否存在點T，使得TP和TQ的斜率之積為定值？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由.

2 命題過程

2.1 發現本質

教材（選擇性必修第一冊第106頁）在推導橢圓標準方程中得到（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2），即a2y2=（a2－c2）（a2－x2）.當x≠±a時，可以化簡為yx－a·yx+a=c2－a2a2，即yx－a·yx+a=－b2a2.這事實上給出了橢圓的一條性質：連接橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的點（長軸的端點除外）與長軸的兩個端點的兩條直線的斜率之積為定值－b2a2.聯系圓上一點與直徑兩端點的連線所成角為直角，對于上述性質，可以再做推廣：橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上任意一點P與過原點的弦AB的兩端點A，B的連線PA，PB（與坐標軸不平行）斜率之積為定值－b2a2.（證明：設點P（x，y），A（x1，y1），則B（－x1，－y1），所以x2a2+y2b2=1，x21a2+y21b2=1，兩式相減得y2－y21x2－x21=－b2a2，即kPAkPB=－b2a2，為定值.）

2.2 命制試題

結合上述結論，可以選擇橢圓上的一個定點和一條過原點的動直線命制一個定值的證明問題.根據本校學生實際情況，選擇左頂點為定點命制了問題（1）.

問題（1）中動直線經過橢圓的中心，若改為經過焦點，此時直線和橢圓的兩個交點和橢圓上與它們不重合的任意點的連線斜率之積還是定值嗎？計算發現只有左、右頂點滿足，據此特征命制了問題（2）.

上述兩個問題，圍繞斜率之積為定值展開，聯系數的運算，可以再命制兩直線斜率和、差、商為定值的問題，也可以把曲線變為雙曲線、拋物線命制問題.比如，在問題（2）中，可以命制過焦點的直線與橢圓的兩交點與左、右頂點連線斜率之比為定值.總之，在圓錐曲線問題中引入直線，與它產生交點，再把交點與其他特殊點相連形成新的直線，從而可以命制與此直線有關的問題（如2023年新課標Ⅱ卷第21題）.

3 試題分析

3.1 考查意圖

本題以橢圓為載體，考查圓錐曲線中的定值、定點問題，意在考查學生的邏輯推理能力、化歸與轉化能力、運算求解能力，特別體會到設點或設線不同會導致不同的運算量，應作出合理選擇.考查了邏輯推理、數學運算、數學抽象等核心素養.

3.2 試題分析

問題（1）：若把圖形變化的動因看成是直線MN繞坐標原點旋轉引起的，可考慮設直線MN或AM的方程，與橢圓方程聯立，求出點M，N的坐標，進而得出問題所需量解答問題；引起圖形變化的動因，也可看成是由點M的運動引起，可設點M的坐標為參數，由于點N與M對稱，則可得點N坐標，從而可表示“問題所需”.思維導圖如圖1所示.

問題（2）：存在性問題，應當先假設存在.圖形變化是由直線PQ繞焦點F旋轉而引起的，考慮設直線的的橫截距方程x=my+1，與橢圓方程聯立.本題的難點是對斜率乘積算式的化簡和分析，要使得斜率之積為定值，應當與m無關，得出對應方程，給出點的坐標，驗證此點在橢圓上.思維導圖如圖2所示.

4 規范解答

4.1 第（1）問的解答

法一（設線）：設直線MN的方程為x=ty，M（x1，y1），N（x2，y2）.

聯立方程組x=ty，3x2+4y2=12，消去x，得

（3t2+4）y2=12.

解得y1=233t2+4，y2=－233t2+4.

所以k1·k2=y1x1+2·y2x2+2=233t2+42t33t2+4+2·－233t2+4－2t33t2+4+2=－1212t2－12t2+16=－34，為定值.

法二（設線）：設直線AM的方程為y=k1（x+2），M（x1，y1），N（x2，y2）.

聯立方程組y=k1（x+2），3x2+4y2=12，消去y，得

（3+4k21）x2+16k21x+16k21－12=0.①

因為方程①的一個根為－2，所以－2·x1=16k21－123+3k21，則x1=6－8k213+4k21.

同理，可得x2=6－8k223+4k22.

由點M，N關于原點對稱，可以得到6－8k213+4k21=－6－8k223+4k22，整理得（k1k2）2=916.

因為k1k2<0，所以k1k2=－34，為定值.

法三（設點）：設M（x0，y0），又點N與點M關于原點對稱，所以N（－x0，－y0）.

所以k1=y0x0+2，k2=－y0－x0+2，則

k1k2=y0x0+2·－y0－x0+2=－y204－x20.

又點M（x0，y0）在橢圓上，所以x204+y203=1，即

y20=34（4－x20）.

故k1k2=－y204－x20=－34（4－x20）4－x20=－34，為定值.

法四（設點）：根據橢圓方程可以設M的坐標為（2cos θ，3sin θ），則N（－2cos θ，－3sin θ）.

所以k1=3sin θ2cos θ+2，k2=－3sin θ－2cos θ+2，故k1k2=3sin θ2cos θ+2·－3sin θ－2cos θ+2=－3sin 2θ4（1－cos 2θ）=－34，為定值.

4.2 第（2）問的解答

法一（設線）：設存在定點T（x0，y0）滿足題意，即kPTkQT為定值.

設直線PQ的方程為x=my+1，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

聯立方程組x=my+1，3x2+4y2=12，消去x，得

（3m2+4）y2+6my－9=0，

則y1+y2=－6m3m2+4，y1y2=－93m2+4.

結合x1=my1+1，x2=my2+1，得

kPTkQT

=y1－y0x1－x0·y2－y0x1－x0

=y1y2－y0（y1+y2）+y20x1x2－x0（x1+x2）+x20

=y1y2－y0（y1+y2）+y20m2y1y2+m（1－x0）（y1+y2）+x20－2x0+1

=－9+6my0+y20（3m2+4）3m2（x20－4）+4（x0－1）2.

所以，當y0=0且x20－4=0時，此時，點T為橢圓的左、右頂點，kPTkQT為定值.

若T（－2，0），則kPTkQT=－14；若T（2，0），則kPTkQT=－94.

法二（極點極線）：

如圖3，設橢圓的右頂點為B，連接AQ，BP.

根據題意，可得kAQkBP=13，kAPkBP=－34，則kAPkAQ=－14.

同理，可得kBPkBQ=－94.

所以，若T（－2，0），則kPTkQT=－14；若T（2，0），則kPTkQT=－94.

5 實測情況

本題滿分12分，每小題6分，全班共52人參加測試，用時15分鐘，平均得分為4.2分，滿分僅有2人.第（1）問大多數學生選擇設直線方程解答，少有學生抓住對稱性特征通過設點解答問題；第（2）問學生能完成一些運算，但大多數不能堅持下去，還有一部分學生無法分析斜率之積的算式，找出定值需要滿足的條件.

6 命題感悟

命題是為選拔人才服務，因此所命試題要符合課程標準要求，體現高中數學的育人價值和學科價值，培養科學精神和創新意識.

命題要精選素材，好的素材是命制好試題的基礎.教材和高考真題是選擇好素材的重要依據，對于其中的一些典型問題，應抓住其本質特征，發現變化中的不變性，通過特殊化、替換等思想命制試題，同時兼顧素養導向和能力考查.

命題要符合學情.命題要考慮到不同知識對應核心素養的考查內容及水平要求，符合學生的實際認知能力，通過一定的情境，融合相應的數學知識，注重基礎性和應用性，兼顧綜合性和創新性，難度恰當，盡量做到入口寬、方法多樣.