一道高考解析幾何壓軸題的探究

1 題目呈現

（2020全國卷）已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，AG·GB=8，P為直線l：x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點.

2 題目剖析

第（1）問直接運用題目條件可求出E的方程：

由橢圓方程E：x2a2+y2=1（a>1），可得A（－a，0），B（a，0），G（0，1），則

AG=（a，1），GB=（a，－1）.

所以AG·GB=a2－1=8，得a2=9.

故橢圓E方程為x29+y2=1.

第（2）問，證明直線過定點可用如下方法：

（ⅰ）聯立直線與圓錐曲線方程，利用直接法算出直線CD方程，找出定點；也可以先設出直線CD方程，再根據題目條件算出定點.

（ⅱ）圓曲不聯立，證明直線過定點.

3 第（2）問的探究

3.1 思維角度1：聯立之直接法

如圖1，設出點P，寫出直線AP和BP方程，分別與橢圓聯立求出點C，D，然后寫出直線CD，從而計算出直線CD過定點.由于此方法比較常規，證明過程只作簡要說明.

簡證：設P（6，y0），則AP：y=y09（x+3）.聯立直線AP與橢圓的方程，由（－3）·x=9y20－81y20+9，可得

x=－3y20+27y20+9，將其代入直線AP的方程中，可得y=6y0y20+9，所以點C－3y20+27y20+9，6y0y20+9.

同理，可得點D的坐標為3y20－3y20+1，－2y0y20+1.

所以當y20≠3時，可知

CD：y=4y03（3－y20）x－32，

則直線CD過定點32，0.

當y20=3時，直線CD方程為x=32.

綜上，直線CD過定點32，0.

3.2 思維角度2：聯立之韋達定理法

設出直線CD方程，然后根據題目條件計算出直線CD過定點.此思路消參過程中會出現x1y2和x2y1，直接運用韋達定理消參比較困難，可利用橢圓相關性質轉化直線斜率的表達式，最終利用韋達定理消參.

證明：設直線CD的方程為x=my+n，C（x1，y1），D（x2，y2）.聯立直線CD和橢圓E的方程，可以得到（9+m2）y2+2mny+n2－9=0，則

y1+y2=－2mn9+m2，y1y2=n2－99+m2.

直線AP方程為y=y1x1+3（x+3），直線BP方程為y=y2x2－3（x－3）.

由橢圓的性質可得kAD·kBP=-b2a2，即y2x2－3=-x2+39y2，則直線BP方程為y=-x2+39y2（x-3）.聯立直線AP和直線BP，得y1x1+3（x+3）=x2+3－9y2（x－3）.

由x=6，可得-27y1y2=（3+x1）（3+x2），即

（27+m2）y1y2+m（n+3）（y1+y2）+（n+3）2=0.

整理，得（27+m2）（n2－9）－2m（n+3）mn+（n+3）2（m2+9）=0，解

得n=32.

故直線CD的方程為x=my+32，直線CD過定點32，0.

3.3 思維角度3：圓曲不聯立之對偶式法

對于出現x1y2和x2y1不好直接運用韋達定理消參的題型，除思維角度2的方法外，通常還可以利用橢圓方程構造關于x1y2，x2y1的對偶式，通過圓曲不聯立消參.

證明：設C（x1，y1），D（x2，y2），CD過x軸上的點Q（n，0）.

由C，D，Q三點共線，可得y1x1－n=y2x2－n，即

x1y2－x2y1=n（y2－y1）.①

由已知條件易得x1y2+x2y1=x21y22－x22y21x1y2－x2y1=（9－9y21）y22－（9－9y22）y21x1y2－x2y1=9y22－9y21n（y2－y1）=9（y2+y1）n，再結合①可得

x1y2=129n+ny2+129n－ny1，②

x2y1=129n－ny2+129n+ny1.③

設P（6，y0），由A，C，P三點共線和B，D，P三點共線，可得

y1x1+3=y09，y2x2－3=y03，則y2x2－3=3y1x1+3.

整理，得x1y2+3y2=3x2y1－9y1.

將②和③代入，可得129n+ny2+129n－ny1+3y2=329n－ny2+329n+ny1－9y1，化簡得

（4n2+6n－18）y2=（4n2－18n+18）y1.

所以4n2+6n－18=0，4n2－18n+18=0，解得n=32.

故直線CD過定點32，0.

其實，利用思維角度3的方法深入研究，可以得到結論：當點P所在直線l的方程為x=m，橢圓E方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0）時，直線CD所過定點與直線l恰好是極點與極線的關系.

證明：設C（x1，y1），D（x2，y2），直線CD交x軸于點Q（n，0），n≠±a.

由C，D，Q三點共線，可得

y1x1－n=y2x2－n，即

x1y2－x2y1=n（y2－y1）.④

又容易得到x1y2+x2y1=x21y22－x22y21x1y2－x2y1=a2－a2b2y21y22－a2－a2b2y22y21x1y2－x2y1=a2y22－a2y21n（y2－y1）=a2（y2+y1）n，再結合④式可得

x1y2=12a2n+ny2+12a2n－ny1，⑤

x2y1=12a2n－ny2+12a2n+ny1.⑥

設P（m，y0），由A，C，P三點共線和B，D，P三點共線，得

y1x1+a=y0m+a，y2x2－a=y0m－a.

所以y2x2－a=m+am－a＼5y1x1+a，即

（m－a）x1y2+a（m－a）y2=（m+a）x2y1－a（m+a）y1.

將⑤⑥代入，整理得［mn2+a（m－a）n－a3］y2=［mn2－a（m+a）n+a3］y1.

所以mn2+a（m－a）n－a3=0，mn2－a（m+a）n+a3=0，即

（mn－a2）（n+a）=0，（mn－a2）（n－a）=0.

解得mn=a2，則m=a2n.

而由橢圓方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）可得點Q（n，0）所對應的極線為xQxa2+yQyb2=1，即n·xa2+0·yb2=1，所以x=a2n=m，這正是直線l的方程.

所以，直線CD所過定點與點P所在直線l恰好是極點與極線的關系.

這也說明，這道高考題的第（2）問本質是一個橢圓的極點與極線問題.當x=m給定時，由nm=a2，可得n=a2m，即直線CD恒過定點Qa2m，0.

3.4 思維角度4：圓曲不聯立之曲線系法

由A，B，C，D四點中寫出曲線系方程和橢圓對比，從而算出定點.

證明：設P（6，y0），直線CD方程為x=my+n.因為直線AC方程為y=y09（x+3），直線BD方程為y=y03（x-3），直線AB方程為y=0，

所以，過A，B，C，D的曲線系可設為（y0x-9y+3y0）＼5

（y0x-3y－3y0）+λy（x－my－n）=0.與橢圓x2+9y2－9=0對比系數，得

－12y0+λ=0，18y0－nλ=0，解得n=32.

故直線CD的方程為x=my+32.

所以直線CD過定點32，0.

思維角度3和思維角度4提供的方法，不僅適用于橢圓，也適用于其他圓錐曲線，尤其在證明有關圓錐曲線的極點極線問題[1-2]上非常有優勢.

4 總結

本題主要考查了橢圓性質及方程思想，還考查了計算能力及轉化思想、推理論證能力，屬于偏難題，其中證明直線過定點是難點，本文中給出了四種思路.直接設點求出相關直線，然后與橢圓方程聯立，求出所求直線的方程，進而求出定點；另一個方法是設出所求直線，利用韋達定理算出定點.這兩種方法屬于常規方法，易于掌握.本文中還提供了另外兩種方法，一種是利用橢圓方程構造對偶式，通過圓曲不聯立消參，巧妙地優化了計算；另一種是靈活運用二次曲線系方程表示含有公共交點的圓錐曲線，可以快速解答四點共圓、定值定點問題，以及有關斜率問題.在平時教學中，教師應多給學生總結一些解題規律，讓學生見到更多的解題方法，開闊思路，提升解題能力.

參考文獻：

[1]王慧興.強基計劃數學備考系列講座（15）——圓錐曲線的極點、極線基本理論與應用[J].高中數理化，2023（7）：18-23.

[2]沈海英，王樹文.圓錐曲線的極點與極線——2020高考北京卷解析試題背景探究[J].中學生數學，2021（5）：41-42.