歲歲年年“題”不同，年年歲歲“解”相似

不等式恒成立求參數問題既是高考熱點問題，也是重點問題．縱觀近年來高考試題都有考查，試題強調對知識的綜合運用和能力的綜合考查，有效地考查了學生對函數、不等式、導數知識的掌握情況，同時也考查了學生的轉化與化歸、數形結合、分類討論、極限等數學思想．試題具有創新性，重視體現思維過程，并且計算合理，有利于選拔創新性人才．下面以2023年與2024年新高考具有代表性的壓軸題為例，探究求解策略，深入研究與思考，以期拋磚引玉．

1 試題呈現

（2024全國甲卷＼521）已知函數f（x）=（1－ax）＼5ln（1+x）－x.

（1）當a=－2時，求f（x）的極值；

（2）當x≥0時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

簡析：（1）利用二階導函數，結合導數的單調性和零點可求函數的極值，這里解題過程省略.

（2）顯然f（0）=0，若當x≥0時，f（x）≥0，則函數在x=0的右鄰域（0，δ）內（范圍很小），f（x）必須遞增，即在區間（0，δ）上f′（x）大于或等于零，根據極限思想，只要f′（0）≥0.由于f′（0）=0，同理可得只要f″（0）≥0，解得a≤－12，顯然a≤－12是不等式恒成立的必要條件，再證充分性即可．此即為端點效應．

詳解：（2）因為f′（x）=－aln（1+x）+1－ax1+x－1，x≥0，所以f′（0）=0.

又f″（x）=－ax+1－a+1（1+x）2=－ax+2a+1（1+x）2，則f″（0）=－2a－1.

當a≤－12時，f″（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，故f′（x）>0在（0，+∞）上為增函數.

于是f′（x）>f′（0）=0， 所以f（x）在［0，+∞）上為增函數，從而f（x）≥f（0）=0．

當－12<a<0時，若0<x<－2a+1a，則f″（x）<0，故f′（x）在0，－2a+1a上為減函數.

所以在0，－2a+1a上f′（x）<f′（0）=0，即f（x）為減函數.

故在0，－2a+1a上f（x）<f（0）=0，不合題意.

當a≥0，此時f″（x）<0在（0，+∞）上恒成立，同理可得在（0，+∞）上f（x）<f（0）=0恒成立，不合題意.

綜上，a≤－12.

點評：導數背景下的不等式恒成立問題，往往需要利用導數分析函數在端點處或附近的函數值的符號，使問題得以解決，本題對邏輯推理能力的考查層次分明，區分度較高．

2 端點效應

命題1如果函數f（x）在區間［a，b］（a，b為常數）上f（x）≥0恒成立，且f（a）=0（或f（b）=0），則f′（a）≥0（或f′（b）≤0）.

命題2如果函數f（x）在區間［a，b］（a，b為常數）上f（x）≥0恒成立，且f（a）=0，f′（a）=0 （或f（b）=0，f′（b）=0），則f″（a）≥0（或f″（b）≤0）.

推廣如果函數f（x）在區間［a，b］（a，b為常數）上f（x）≥0恒成立，且f（a）=0，f′（a）=0，……，f（n－1）（a）=0 （或f（b）=0，f′（b）=0，……，f（n－1）（b）=0），則fn（a）≥0（或fn（b）≤0）， n∈N*．

設含參的可導函數f（x）對任意x∈D，都有f（x，a）≥0，通常有以下類型：

（1）形如開區間（m，+∞），那么就有x→m+，f（x）≥0，x→+∞，f（x）≥0.常考形式：如果f（m，a）≥0，則由f′（m，a）≥0得到必要條件，再證明必要條件也充分的（通常尋找矛盾區間）.

（2）若是形如［m，n］的閉區間，則就有f（m）≥0，f（n）≥0.常考形式：若f（m，a）≥0，則由f′（m，a）≥0得到必要條件，再證明必要條件也充分的（通常尋找矛盾區間）；若f（n，a）≥0，則由f′（n，a）≤0得到必要條件，再證明必要條件也充分的（通常尋找矛盾區間）．

3 應用舉例

題一（2024全國Ⅰ卷＼518）已知函數f（x）=lnx2－x+ax+b（x－1）3.

（1）若b=0，且f′（x）≥0，求a的最小值；

（2）證明：曲線y=f（x）是中心對稱圖形；

（3）若f（x）>－2，當且僅當1<x<2，求b的取值范圍．

簡析：（1）求出f′（x）min=2+a，或者分離參數a即可，詳解省略；

（2）設P（m，n）為y=f（x）圖象上任意一點，即證P（m，n）關于（1，a）的對稱點為Q（2－m，2a－n） 也在函數的圖象上，詳解省略；

（3）由題設可判斷a=－2，再根據f（x）>－2在（1，2）上恒成立，結合端點效應，由三階導數大于等于0，可求得b≥－23，然后用正常分類討論書寫過程．

詳解：（1）（2）問略.

（3）由（2）知f（x）的定義域為（0，2），且f（x）關于（1，a）中心對稱.

因為f（x）>－2當且僅當1<x<2，所以f（x）≤－2當且僅當0<x≤1，則f（1）=－2，即a=－2．

法一：因為1<x<2時，f（x）>－2恒成立， 即為lnx2－x+2（1－x）+b（x－1）3>0在（1，2）上恒成立.

設 h（x）=lnx2－x+2（1－x）+b（x－1）3=lnx－ln（2－x）+2（1－x）+b（x－1）3，注意到h（1）=0.

易得h′（x）=1x－1x－2－2+3b（x－1）2，則h′（1）=0；而h″（x）=－1x2+1（x－2）2+6b（x－1），則h″（1）=0.

由h″（x）=2x3－2（x－2）3+6b，得h（1）=4+6b.令h（1）≥0，得b≥－23，即為所求成立的必要條件．

下證充分性：

當b≥－23時，在（1，2）上，h（x）≥0成立，所以h″（x）在（1，2）上單調遞增，則h″（x）≥h″（1）=0.

同理有h′（x）在（1，2）上單調遞增，可知h′（x）≥h′（1）=0，則h（x）在（1，2）上單調遞增，所以h（x）≥h（1）=0.

充分性得證.

綜上，b≥－23．

法二：利用端點效應得到分界點，再分類討論.

設t=x－1∈（0，1），則f（x）＞-2在（1，2）上恒成立

等價于lnt+11－t－2t+bt3>0在（0，1）上恒成立.

設g（t）=lnt+11－t－2t+bt3，t∈（0，1），則

g′（t）=21－t2－2+3bt2=t2（－3bt2+2+3b）1－t2.

當b≥0時，－3bt2+2+3b≥－3b+2+3b=2>0，則g′（t）>0恒成立，可知g（t）在（0，1）上為增函數，故g（t）>g（0）=0，即f（x）>－2在（1，2）上恒成立.

當－23≤b<0時，－3bt2+2+3b≥2+3b≥0，則g′（t）≥0恒成立，可知g（t）在（0，1）上為增函數，

故g（t）>g（0）=0，即f（x）>－2在（1，2）上恒成立.

當b<－23時，0<t<1+23b<1，此時g′（t）<0，所以g（t）在0，1+23b上為減函數，故g（t）<g（0）=0，不合題意，舍去.

由上述過程可知，當且僅當b≥-32時，g（t）在（0，1）上單調遞增，故g（t）>0的解為（0，1），即f（x）>－2的解為（1，2）.

綜上，b的取值范圍是-23，+∞.

點評：本題重點突出，內容豐富，集理性思維深度、知識掌程度、運算求解嫻熟程度于一體，不同考生都能得到充分的展示，考查了考生進一步學習的潛能，對中學數學教學具有較好的引導作用．

題二（2023全國甲卷＼5理）已知f（x）=ax-sin xcos3x，x∈0，π2．

（1）若a=8，討論f（x）的單調性；

（2）若f（x）<sin 2x恒成立，求a的取值范圍．

簡析：本題第（2）問的思路與題一（3）如出一轍，設g（x）=f（x）－sin 2x，由于x∈0，π2，且g（0）=0，利用端點效應先找出g（x）<0恒成立的必要條件a≤3，然后證明充分性即可．

詳解：（1）略.

（2）（端點效應法）

設g（x）=f（x）－sin 2x，x∈0，π2，由于g（x）<0在0，π2上恒成立，又g（0）=0，

由端點效應可知g′（0）≤0，而g′（x）=a－3－2cos2xcos4x－2cos 2x，所以a≤3．

下證充分性：

當a≤3時，f（x）－sin 2x≤3x－sin xcos3x－sin 2x.

設h（x）=3x－sin xcos3x－sin 2x，

則h′（x）=3－3－2cos2xcos4x－2cos 2x=－4cos6x+5cos4x+2cos2x－3cos4x.

令t=cos2x，則t∈（0，1）.

令F（t）=－4t3+5t2+2t－3，則

F′（t）=－12t2+10t+2=2（1－t）（6t+1）.

當t∈（0，1）時，F′（t）>0，則F（t）在（0，1）上單調遞增．所以當t∈（0，1）時，F（t）<F（1）=0，即

當x∈0，π2時，－4cos6x+5cos4x+2cos2x－3<0，從而h′（x）<0.

所以h（x）在0，π2上單調遞減.故當0，π2時，h（x）<h（0）=0，即f（x）<sin 2x.

綜上，a的取值范圍是（－∞，3］.

點評：本題是三角函數與導數的綜合，作為壓軸題，難度很大，彰顯了綜合要求．端點效應為分類討論解題提供了參數的分界點.當然本題解法靈活多樣，可從不同角度思考轉化．

類似可以利用端點效應的高考題還很多，比如：

（1）（2023全國乙卷＼5理） 已知函數f（x）=1x+a＼5ln（1+x）．若函數f（x）在（0，+∞）單調遞增，求a的取值范圍．

（2）（2023全國甲＼5文）已知函數f（x）=ax－sin xcos2x，x∈0，π2．

（ⅰ）當a=1時，討論f（x）的單調性；

（ⅱ）若f（x）+sin x<0，求a取值范圍．

（3）（2022新高考Ⅱ卷＼522＼5節選）已知函數f（x）=xeax－ex．設n∈N*，證明：112+1+122+2+……+1n2+n>ln（n+1）．

需要指出的是，利用端點效應求出的范圍僅是必要條件，不一定是充分條件，還應代入驗證．對于無法直接求函數最值的不等式恒成立問題，以及無法應用參數分離的函數不等式恒成立問題，可考慮端點效應．有時候用端點效應得出的結果并非是最終答案，典型的例子比如2020年全國Ⅰ卷第21題 . 那么何時才能用端點效應呢？文中前面指出的端點效應的兩個命題的條件很重要，要注意檢驗．在實際解題中切不可過分依賴此類解法，雖然此類解法具備優越性，但也不是萬能的．只有當常規解法無從下手時，它才是我們嘗試選擇作為打開突破口的手段．